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11.如图,在长方形ABCD中,AB=2,BC=1,E为CD的中点,F为AE的中点.现在沿AE将△ADE向上折起,在折起的图形中解答下列问题:
(1)在线段AB上是否存在一点K,使BC∥平面DFK?若存在,请证明你的结论;若不存在,请说明理由; (2)若平面ADE⊥平面ABCE,求证:平面BDE⊥平面ADE.
12.已知正三棱柱ABC-A1B1C1中,AB=2,AA1=(1)当AE∶EA1=1∶2时,求证:DE⊥BC1;
(2)是否存在点E,使三棱锥C1-BDE的体积恰为三棱柱ABC-A1B1C1体积的?若存在,求AE的长,若不存在,请说明理由.
13.如图,在四边形ABCD中(如图①),E是BC的中点,DB=2,DC=1,BC=折起,使二面角A-BD-C为60°(如图②).
,AB=AD=,点D为AC的中点,点E在线段AA1上.
.将△ABD(如图①)沿直线BD
(1)求证:AE⊥平面BDC;
(2)求异面直线AB与CD所成角的余弦值; (3)求点B到平面ACD的距离.
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专题能力训练14 空间中的平行与垂直
一、能力突破训练
1.D 解析 易知A1C1⊥平面BB1D1D.
∵B1O?平面BB1D1D,∴A1C1⊥B1O,故选D.
2.A 解析 如图,易知PA,PE,PF两两垂直,
∴PA⊥平面PEF,从而PA⊥EF,
而PO⊥平面AEF,则PO⊥EF,
∴EF⊥平面PAO,∴EF⊥AO.
同理可知AE⊥FO,AF⊥EO,
∴O为△AEF的垂心.
3.②③④ 解析 对于①,若m⊥n,m⊥α,n∥β,则α,β的位置关系无法确定,故错误;对于②,因为n∥α,所以过直线n作平面γ与平面α相交于直线c,则n∥c.因为m⊥α,所以m⊥c,所以m⊥n,故②正确;对于③,由两个平面平行的性质可知正确;对于④,由线面所成角的定义和等角定理可知其正确,故正确的命题有②③④. 4
解析
如图,取CD的中点F,SC的中点G,连接EF,EG,FG.
设EF交AC于点H,连接GH,易知AC⊥EF. 又GH∥SO,
∴GH⊥平面ABCD, ∴AC⊥GH.
又GH∩EF=H,∴AC⊥平面EFG.
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故点P的轨迹是△EFG,其周长为
5.②③④ 解析 ①中也可以α与γ相交;②作平面与a,b,c都相交;③中可得球的半径为r=a;④中由PA⊥BC,PB⊥AC得点P在底面△ABC的射影为△ABC的垂心,故PC⊥AB. 6.证明 (1)连接A1B,设A1B交AB1于点E,连接DE.
∵点D是BC的中点,点E是A1B的中点, ∴DE∥A1C.
∵A1C?平面AB1D,DE?平面AB1D, ∴A1C∥平面AB1D.
(2)∵△ABC是正三角形,点D是BC的中点,
∴AD⊥BC.
∵平面ABC⊥平面B1BCC1,平面ABC∩平面B1BCC1=BC,AD?平面ABC, ∴AD⊥平面B1BCC1.
∵BC1?平面B1BCC1,∴AD⊥BC1. ∵点D是BC的中点,BC=∴BD=BB1.
,∴Rt△B1BD∽Rt△BCC1,
BB1,
∴∠BDB1=∠BC1C.
∴∠FBD+∠BDF=∠C1BC+∠BC1C=90°. ∴BC1⊥B1D.
∵B1D∩AD=D,∴BC1⊥平面AB1D.
7.(1)证法一 取AD的中点O,连接OP,OC,AC,依题意可知△PAD,△ACD均为正三角形,
所以OC⊥AD,OP⊥AD.
又OC∩OP=O,OC?平面POC,OP?平面POC, 精品
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所以AD⊥平面POC.
又PC?平面POC,所以PC⊥AD.
证法二 连接AC,依题意可知△PAD,△ACD均为正三角形.
因为M为PC的中点,所以AM⊥PC,DM⊥PC. 又AM∩DM=M,AM?平面AMD,DM?平面AMD, 所以PC⊥平面AMD.
因为AD?平面AMD,所以PC⊥AD.
(2)证明 当点Q为棱PB的中点时,A,Q,M,D四点共面,证明如下:
取棱PB的中点Q,连接QM,QA. 因为M为PC的中点,所以QM∥BC.
在菱形ABCD中,AD∥BC,所以QM∥AD,所以A,Q,M,D四点共面. (3)解 点D到平面PAM的距离即点D到平面PAC的距离.
由(1)可知PO⊥AD,又平面PAD⊥平面ABCD,平面PAD∩平面ABCD=AD,PO?平面PAD, 所以PO⊥平面ABCD,即PO为三棱锥P-ACD的高. 在Rt△POC中,PO=OC=在△PAC中,PA=AC=2,PC=所以△PAC的面积S△PAC=,PC=,
,
,边PC上的高AM=PC·AM=S△PAC·h=h=
设点D到平面PAC的距离为h,由VD-PAC=VP-ACD,得因为S△ACD=2=2
S△ACD·PO.
,解得h=,
,所以
所以点D到平面PAM的距离为8.(1)证明 由已知可得,BF⊥PF,BF⊥EF,
所以BF⊥平面PEF.
又BF?平面ABFD,所以平面PEF⊥平面ABFD. 精品