cosh[k(z0?h)]?1k(z0?h)1e?e?k(z0?h)?ek(z0?h) 22??Hcosh[k(z0?h)]Hek(z0?h)Hekz0ekhHkz0那么，水平长半轴a????e
2sinh(kh)2ekh2ekh2Hsinh[k(z0?h)]Hek(z0?h)Hekz0ekhHkz0垂直短半轴b????e khkh2sinh(kh)2e2e2所以当水深无限深时，长半轴a与短半轴b相等，水质点运动轨迹是圆。问题得证。
11.8 证明线性波单位水柱体内的平均势能和平均动能为?gh2
1611?g2【证明】： 单位水柱体内的平均势能????gzdxdz????dx
LL00L02 其中: ??hcos?kx??t? 2Epl?l?
EpL??gH2l18L?0?2??1?cos2?kx??t??dx
2?gH8L11?1?2???ghx?sin2kx??t = ??4k?2?016LEk1l0?2单位水柱体内的平均动能???u?w2dxdz
LL0?h2??其中: u??Hcosh?k?h?z??T?sinh?kh??cos?kx??t?
w??Hsinh?k?h?z??T?sinh?kh?2?sin?kx??t?
u?w?22?2H2T22?cosh?k?h?z??cos?kx??t??sinh?k?h?z??sin?kx??t??sinh?kh?222222
??2H2T2?sinh?k?z?h???cos?kx??t??
sinh?kh?l0Ek??2H222????kx??t??dxdz ???sinhkz?h?cos?22??L2LTsin?kh?0?h??sinh[k(z?h)]dxdz???cosh(kx??t)dxdz? ??2LTsin?kh???2H222l02l020?h0?h- 5 -
l0?Lkz?khLh?1???)?sinh(2kz?2kh)?sinh(kx?t?)?(kx??t)?? ?(?22?24k2k?22LTsin?kh???0??h?k???2H2?L?sinh(2kh)
2LT2sin2?kh?4k???2H2L2???2?sinh(kh)cosh(kh) 222LTsin?kh?4?2???2H2?=
?gH2L16?2?
gT2tanh(kh)1?gH2 161.9 在水深为20m处,波高H=1m,周期T=5s,用线性波理论计算深度
z=-2m,-5m,-10m处水质点轨迹直径.
【解法1】：由弥散方程：?2?gk?tanh?kh? ??利用题1.6可得L=38.8m k=0.162m-1
h/L=20/38.8=0.515>0.5 为深水波 故此时质点运动轨迹为一直径D为Hekz0的圆 不同z0值下的轨迹直径可见下表：
Z0 D -2 0.723 -5 0.445 -10 0.198 2?2?, k? TL【解法2】：将弥散方程?2?gk?tanh?kh? 可写成?2?gk?tanh?kh??0
编制Excel计算表格如下，通过变化波长L的值，满足方程=0的L值即为所求波长。
周期T 5 频率=2PI/T 1.2566372 水深h 20 波长L 10 20 25 30 35 38 38.5 38.91 39 波数k=2PI/L 0.6283 0.3142 0.2513 0.2094 0.1795 0.1653 0.1632 0.1615 0.1611 kh 12.5664 6.2832 5.0265 4.1888 3.5904 3.3069 3.2640 3.2296 3.2221 tanh（kh） 1.0000 1.0000 0.9999 0.9995 0.9985 0.9973 0.9971 0.9969 0.9968 方程=0？ -4.5847 -1.5027 -0.8862 -0.4745 -0.1793 -0.0386 -0.0172 0.0000 0.0037 经试算得L=38.91m，那么，h/L=20/38.91=0.514>0.5 为深水波 后续计算与解法1相同。
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1.10 在水深为10m处，波高H=1m,周期T=6s,用线性波理论计算深度z=-2m、
-5m、-10m处水质点轨迹直径。
解：将弥散方程?2?gk?tanh?kh? 可写成?2?gk?tanh?kh??0
编制Excel计算表格如下，通过变化波长L的值，满足方程=0的L值即为所求波长。
周期T 6 频率=2PI/T 1.047197667 水深h 10 波长L 10 20 30 40 48 48.1 48.2 48.3 48.4 48.5 波数k=2PI/L 0.6283 0.3142 0.2094 0.1571 0.1309 0.1306 0.1304 0.1301 0.1298 0.1296 kh 6.2832 3.1416 2.0944 1.5708 1.3090 1.3063 1.3036 1.3009 1.2982 1.2955 tanh（kh） 1.0000 0.9963 0.9701 0.9172 0.8640 0.8633 0.8626 0.8619 0.8613 0.8606 方程=0？ -5.0671 -1.9738 -0.8966 -0.3167 -0.0129 -0.0097 -0.0065 -0.0033 -0.0002 0.0029 经试算得L=48.4m，那么，h/L=10/48.4=0.207<0.5 为浅水波 那么，水平长半轴a?Hcosh[k(z0?h)]Hsinh[k(z0?h)]，垂直短半轴b?b。
2sinh(kh)2sinh(kh)cosh[k(z0?h)]?1k(z0?h)1e?e?k(z0?h)?e0.1298(?2?10)?e?0.1298(?2?10)221 ?e1.0384?e?1.0384?1.5892以z=-2m为例，分别计算：
??????1k(z0?h)e?e?k(z0?h)?1.2352 11sinh(kh)?ekh?e?kh??e1.298?e?1.298?1.69422
所以z=-2m时的水平向的长轴2a=1.287m；垂直向的短轴2b=1.372m。
sinh[k(z0?h)]??????? 不同z0值下的轨迹直径可见下表：
Z0 D -2 0.723 -5 0.445 -10 0.198
1.11在某水深处的海底设置压力式波高仪,测得周期T=5s,最大压力
pmax=85250N/m2(包括静水压力,但不包括大气压力),最小压力pmin=76250N/ m2,问当地水深波高值.
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解：分析压力公式pz??gz??g?Hcosh?k?z?h????cos?kx??t? 2cosh?kh? cos?kx??t?＝0时压力最小,即:pmin??gz?＝76250N/m2 (1)
cos?kx??t?＝1时压力最大,
即:pmax??gz??g?Hcosh?k?z?h??＝85250 N/m2 (2) ?2cosh?kh? 由（1）式可得z=－7.8m 故h=－z=7.8m
2?2?由弥散方程：?2?gk?tanh?kh? ??, k? T=5s,h=7.8m
TL利用题1.6可得L=36.6m kh=0.181*7.8=1.412 代入（2）式可得 H=4.0m.
1.12 若波浪由深水正向传到岸边，深水波高H0=2m,周期T=10s，问传到1km
长的海岸上的波浪能量（以功率计）有多少？设波浪在传播中不损失能量。
解：通过1km（单宽）波峰线长度的平均能量传输率，即波能流P，假设波浪在传播中不损失能量时，浅水区等于深水区，即Ps = P0，有：
（Ecn）0=（Ecn）s
11?2kh?12??gH02c0?1???gHscs??82?sinh(2kh)?081?2kh??? 1???2?sinh(2kh)?s11因深水时sinh（2kh）>>2kh，则上式左边=?gH02c0
821浅水时sinh（2kh）≈2kh，则上式右边=?gHs2cs
81那么，Ps=（Ecn）s =?gHs2cs
8111gT=（Ecn）0=?gH02c0=?gH02
82162?1?g22210=38310.55（N/s） =32?
线性波近底水质点速度u??H1cos(kx??t)
Tsinh(kh)斯托克斯波近底水质点速度
?
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