第一章 波浪理论
1.1 建立简单波浪理论时，一般作了哪些假设?
【答】：（1）流体是均质和不可压缩的，密度ρ为一常数；
（2）流体是无粘性的理想流体；
（3）自由水面的压力均匀且为常数； （4）水流运动是无旋的； （5）海底水平且不透水；
（6）作用于流体上的质量力仅为重力，表面张力和柯氏力可忽略不计； （7）波浪属于平面运动，即在xz水平面内运动。
1.2 试写出波浪运动基本方程和定解条件，并说明其意义。
?2??2??2?022??x?z【答】：波浪运动基本方程是Laplace方程：或写作：??0。该方程属二元
二阶偏微分方程，它有无穷多解。为了求得定解，需有包括初始条件和边界条件的定解条件：
初始条件：因波浪的自由波动是一种有规则的周期性运动，初始条件可不考虑。 边界条件：
（1）在海底表面，水质点垂直速度应为0，即
或写为在z=-h处，
wz??h?0
???0 ?z（2）在波面z=η处，应满足两个边界条件，一是动力边界条件、二是运动边界条件
?? A、动力边界条件
?tz??221??????????????????2????x???z???z???g??0
221?????????? 由于含有对流惯性项???????，所以该边界条件是非线性的。
2????x???z???B、运动边界条件，在z=η处
???????????0 。该边界条件也是非线性的。 ?t?x?x?z （3）波场上下两端面边界条件 ?(x,z,t)??(x?ct,z) 其中c为波速，x-ct表示波浪沿x正向推进。
1.3 试写出微幅波理论的基本方程和定解条件，并说明其意义及求解方法。
2?【答】：微幅波理论的基本方程为：??0
定解条件：z=-h处，
???0 ?z?2???z=0处，2?g?0
?z?t- 1 -
1????z=0处，?????
g??t??(x,z,t)??(x?ct,z)
求解方法：分离变量法 1.4 线性波的势函数为??证明上式也可写成??gHcosh?k?h?z????sin?kx??t?， 2?cosh?kh?Hccosh?k?h?z????sin?kx??t? 2sinh?kh?2?2?, k? TL【证明】： 由弥散方程：?2?gk?tanh?kh?以及波动角频率?和k波数定义: ??可得：??2?2?Tsinh?kh??g?tanh?kh?， 即 ??g??
TLLcosh?kh?L 故：??cosh?kh??g?sinh?kh?c T由波速c的定义：c?将上式代入波势函数： ??gHcosh?k?h?z????sin?kx??t? 2?cosh?kh?得： ??Hccosh?k?h?z????sin?kx??t? 即证。
2sinh?kh?1.5 由线性波势函数证明水质点的轨迹速度u??Hcosh?k?h?z??T?sinh?kh??cos?kx??t?, ?sin?kx??t?
w??Hsinh?k?h?z??T?sinh?kh?并绘出相位?kx??t?=0~2π时的自由表面处的质点轨迹速度变化曲线以及 相位=0,
?2?,和2π时质点的轨迹速度沿水深的分布. 23Hccosh?k?h?z????sin?kx??t? 2sinh?kh?解：(1)证明: 已知势函数方程??则u?L2???Hckcosh?k?h?z?????cos?kx??t? 其中: c?,k?
TL?x2sinh?kh??u??Hcosh?k?h?z??T?sinh?kh??cos?kx??t?.
- 2 -
同理: w???Hcksinh?k?h?z?????sin?kx??t? ?z2sinh?kh???Hsinh?k?h?z??T?sinh?kh??sin?kx??t?
(2) 自由表面时z=0，则u??HTtanh(kh)?cos?kx??t?,w??HT?sin?kx??t?
质点轨迹速度变化曲线见图.1kx-?t
?HTtanh(kh)u w ?HT kx-?t kx-?t 图.1
相位不同时速度由水深变化关系见下，其中水深z由-h到0。 当?kx??t?=0时u??HTsinh(kh)cosh[k(z?h)],w?0曲线见图.2
当?kx??t?=???时u?0,w??HTsinh(kh)sinh[k(z?h)]曲线见图.3
当?kx??t?=??时u???HTsinh(kh)cosh[k(z?h)],w?0曲线见图.4
当?kx??t?=3???时u?0,w???HTsinh(kh)sinh[k(z?h)]曲线见图.5
当?kx??t?=???时u??HTsinh(kh)cosh[k(z?h)],w?0同图.2
u ?HTtanh(kh) w? HT z -h 0 ?H?Tsinh(kh)?z -h 0 ?H ?T 图.2 ?HTsinh(kh)z -h 0 z -h 0 图.3 图.4 ?HTtanh(kh)u 图.5 w
1.6 试根据弥散方程，编制一已知周期函数T和水深h计算波长，波速和波数
的程序，并计算T=9s，h分别为25m和15m处的波长和波速。
解：该程序用c++语言编写如下：
- 3 -
#include \#include
const double pi=3.1415926,g=9.8; void main( ) { double x0,x,L,k,c,h; int i,T;
cout<<\ cin>>T; cout<<\ cin>>h; x0=1.0e-8;
x=(4*pi*pi*h)/(g*T*T*tanh(x0)); for(i=1;(fabs(x-x0)>1.0e-8);i++) { x0=x;
x=(4*pi*pi*h)/(g*T*T*tanh(x0));
} L=2*pi*h/x; k=2*pi/L; c=L/T;
cout<<\
}
运算可得 当T=9s,h=25m时,L=111.941m,c=12.4379m/s
当T=9s,h=15m时,L=95.5096m,c=10.6122m/s
1.7 证明只有水深无限深时，水质点运动轨迹才是圆。
(x?x0)2(z?z0)2??1 【证明】：微幅波波浪水质点运动轨迹方程为：22ab式中a(?Hcosh[k(z0?h)]Hsinh[k(z0?h)])b为垂直短半轴。 )为水平长半轴，b(?2sinh(kh)2sinh(kh)在深水的情况下，即h→无穷大，
11有：sinh[k(z0?h)]?ek(z0?h)?e?k(z0?h)?ek(z0?h)，
2211sinh(kh)??ekh?e?kh??ekh，
22??- 4 -
cosh[k(z0?h)]?1k(z0?h)1e?e?k(z0?h)?ek(z0?h) 22??Hcosh[k(z0?h)]Hek(z0?h)Hekz0ekhHkz0那么，水平长半轴a????e
2sinh(kh)2ekh2ekh2Hsinh[k(z0?h)]Hek(z0?h)Hekz0ekhHkz0垂直短半轴b????e khkh2sinh(kh)2e2e2所以当水深无限深时，长半轴a与短半轴b相等，水质点运动轨迹是圆。问题得证。
11.8 证明线性波单位水柱体内的平均势能和平均动能为?gh2
1611?g2【证明】： 单位水柱体内的平均势能????gzdxdz????dx
LL00L02 其中: ??hcos?kx??t? 2Epl?l?
EpL??gH2l18L?0?2??1?cos2?kx??t??dx
2?gH8L11?1?2???ghx?sin2kx??t = ??4k?2?016LEk1l0?2单位水柱体内的平均动能???u?w2dxdz
LL0?h2??其中: u??Hcosh?k?h?z??T?sinh?kh??cos?kx??t?
w??Hsinh?k?h?z??T?sinh?kh?2?sin?kx??t?
u?w?22?2H2T22?cosh?k?h?z??cos?kx??t??sinh?k?h?z??sin?kx??t??sinh?kh?222222
??2H2T2?sinh?k?z?h???cos?kx??t??
sinh?kh?l0Ek??2H222????kx??t??dxdz ???sinhkz?h?cos?22??L2LTsin?kh?0?h??sinh[k(z?h)]dxdz???cosh(kx??t)dxdz? ??2LTsin?kh???2H222l02l020?h0?h- 5 -
l0?Lkz?khLh?1???)?sinh(2kz?2kh)?sinh(kx?t?)?(kx??t)?? ?(?22?24k2k?22LTsin?kh???0??h?k???2H2?L?sinh(2kh)
2LT2sin2?kh?4k???2H2L2???2?sinh(kh)cosh(kh) 222LTsin?kh?4?2???2H2?=
?gH2L16?2?
gT2tanh(kh)1?gH2 161.9 在水深为20m处,波高H=1m,周期T=5s,用线性波理论计算深度
z=-2m,-5m,-10m处水质点轨迹直径.
【解法1】：由弥散方程：?2?gk?tanh?kh? ??利用题1.6可得L=38.8m k=0.162m-1
h/L=20/38.8=0.515>0.5 为深水波 故此时质点运动轨迹为一直径D为Hekz0的圆 不同z0值下的轨迹直径可见下表：
Z0 D -2 0.723 -5 0.445 -10 0.198 2?2?, k? TL【解法2】：将弥散方程?2?gk?tanh?kh? 可写成?2?gk?tanh?kh??0
编制Excel计算表格如下，通过变化波长L的值，满足方程=0的L值即为所求波长。
周期T 5 频率=2PI/T 1.2566372 水深h 20 波长L 10 20 25 30 35 38 38.5 38.91 39 波数k=2PI/L 0.6283 0.3142 0.2513 0.2094 0.1795 0.1653 0.1632 0.1615 0.1611 kh 12.5664 6.2832 5.0265 4.1888 3.5904 3.3069 3.2640 3.2296 3.2221 tanh（kh） 1.0000 1.0000 0.9999 0.9995 0.9985 0.9973 0.9971 0.9969 0.9968 方程=0？ -4.5847 -1.5027 -0.8862 -0.4745 -0.1793 -0.0386 -0.0172 0.0000 0.0037 经试算得L=38.91m，那么，h/L=20/38.91=0.514>0.5 为深水波 后续计算与解法1相同。
- 6 -
1.10 在水深为10m处，波高H=1m,周期T=6s,用线性波理论计算深度z=-2m、
-5m、-10m处水质点轨迹直径。
解：将弥散方程?2?gk?tanh?kh? 可写成?2?gk?tanh?kh??0
编制Excel计算表格如下，通过变化波长L的值，满足方程=0的L值即为所求波长。
周期T 6 频率=2PI/T 1.047197667 水深h 10 波长L 10 20 30 40 48 48.1 48.2 48.3 48.4 48.5 波数k=2PI/L 0.6283 0.3142 0.2094 0.1571 0.1309 0.1306 0.1304 0.1301 0.1298 0.1296 kh 6.2832 3.1416 2.0944 1.5708 1.3090 1.3063 1.3036 1.3009 1.2982 1.2955 tanh（kh） 1.0000 0.9963 0.9701 0.9172 0.8640 0.8633 0.8626 0.8619 0.8613 0.8606 方程=0？ -5.0671 -1.9738 -0.8966 -0.3167 -0.0129 -0.0097 -0.0065 -0.0033 -0.0002 0.0029 经试算得L=48.4m，那么，h/L=10/48.4=0.207<0.5 为浅水波 那么，水平长半轴a?Hcosh[k(z0?h)]Hsinh[k(z0?h)]，垂直短半轴b?b。
2sinh(kh)2sinh(kh)cosh[k(z0?h)]?1k(z0?h)1e?e?k(z0?h)?e0.1298(?2?10)?e?0.1298(?2?10)221 ?e1.0384?e?1.0384?1.5892以z=-2m为例，分别计算：
??????1k(z0?h)e?e?k(z0?h)?1.2352 11sinh(kh)?ekh?e?kh??e1.298?e?1.298?1.69422
所以z=-2m时的水平向的长轴2a=1.287m；垂直向的短轴2b=1.372m。
sinh[k(z0?h)]??????? 不同z0值下的轨迹直径可见下表：
Z0 D -2 0.723 -5 0.445 -10 0.198
1.11在某水深处的海底设置压力式波高仪,测得周期T=5s,最大压力
pmax=85250N/m2(包括静水压力,但不包括大气压力),最小压力pmin=76250N/ m2,问当地水深波高值.
- 7 -
解：分析压力公式pz??gz??g?Hcosh?k?z?h????cos?kx??t? 2cosh?kh? cos?kx??t?＝0时压力最小,即:pmin??gz?＝76250N/m2 (1)
cos?kx??t?＝1时压力最大,
即:pmax??gz??g?Hcosh?k?z?h??＝85250 N/m2 (2) ?2cosh?kh? 由（1）式可得z=－7.8m 故h=－z=7.8m
2?2?由弥散方程：?2?gk?tanh?kh? ??, k? T=5s,h=7.8m
TL利用题1.6可得L=36.6m kh=0.181*7.8=1.412 代入（2）式可得 H=4.0m.
1.12 若波浪由深水正向传到岸边，深水波高H0=2m,周期T=10s，问传到1km
长的海岸上的波浪能量（以功率计）有多少？设波浪在传播中不损失能量。
解：通过1km（单宽）波峰线长度的平均能量传输率，即波能流P，假设波浪在传播中不损失能量时，浅水区等于深水区，即Ps = P0，有：
（Ecn）0=（Ecn）s
11?2kh?12??gH02c0?1???gHscs??82?sinh(2kh)?081?2kh??? 1???2?sinh(2kh)?s11因深水时sinh（2kh）>>2kh，则上式左边=?gH02c0
821浅水时sinh（2kh）≈2kh，则上式右边=?gHs2cs
81那么，Ps=（Ecn）s =?gHs2cs
8111gT=（Ecn）0=?gH02c0=?gH02
82162?1?g22210=38310.55（N/s） =32?
线性波近底水质点速度u??H1cos(kx??t)
Tsinh(kh)斯托克斯波近底水质点速度
?
- 8 -
1.14 如果二阶斯托克斯波η的附加项（非线性项）的振幅小于线性项的5%时，
可以略去附加项而应用线性波理论，问在深水处应用线性波理论的最大允许波陡是多大？在相对水深h/L=0.2处应用线性波理论的最大允许波陡又是多大？
解：（1）深水区的二阶斯托克斯波η的附加项（非线性项）为：
?HH4(L)cos2(kx??t)
由题意知，附加项（非线性项）的振幅小于线性项的5%，即
?HHH()cos2(kx??t)?0.05cos(kx??t) 4L2根据振幅定义，可知余弦项应为1，那么上式变为
?HHH()?0.05 4L2则在深水处应用线性波理论的最大允许波陡波陡
HH40.1?(?)?0.05??0.0318L2?H?
2?2?h?2L?4?，并考虑振幅定义，余弦项（2）在相对水深h/L=0.2处，即h=2L，kh=LL应为1，那么，附加项（非线性项）的振幅：
?HHcosh(kh)?[cosh(2kh)?2]8(L)sinh3(kh)??HHcosh(4?)?[cosh(8?)?2]?HH?HH()?()2?() 38L8L4Lsinh(4?)
HHcos(kx??t)? 22?HHH()?0.05 依题意，有
4L2则在相对水深h/L=0.2处应用线性波理论的最大允许波陡
HH40.1?(?)?0.05??0.0318L2?H?
线性波理论的振幅：??1.15 在水深为5m处，H=1m，T=8s，试计算斯托克斯质量输移速度沿水深的
分布并计算单位长度波峰线上的质量输移流量。
gT29.81?822?3.1431.4tanh(kh)?tanh(?5)?99.97?tanh() 解：计算波长L，L?2?2?3.14LL利用试算法，计算得L=53.083m，因σ=2π/T=0.785，k=2π/L=0.1183
根据下式（即教材公式（1-118））、针对不同水深z可计算斯托克斯质量输移速度沿水深的分布，如下表及下图所示。
2?????z??H2?kz?z2??sinh(2kh)3??z???U??2cosh2kh?1?3?kh?sinh(2kh)3()?4()?1?3??1??????h2??????hhh2kh216sinh2(kh)????????????
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水深z -0.5 -1 -1.5 -2 -2.5 -3 -3.5 -4 -4.5 -5 sigema 0.785 0.785 0.785 0.785 0.785 0.785 0.785 0.785 0.785 0.785 k 0.1183 0.1183 0.1183 0.1183 0.1183 0.1183 0.1183 0.1183 0.1183 0.1183 z/h -0.1 -0.2 -0.3 -0.4 -0.5 -0.6 -0.7 -0.8 -0.9 -1 kh 0.5915 0.5915 0.5915 0.5915 0.5915 0.5915 0.5915 0.5915 0.5915 0.5915 0.014783 0.014783 0.014783 0.014783 0.014783 0.014783 0.014783 0.014783 0.014783 0.014783 F -0.67052 -0.26316 0.423032 1.394941 2.660429 4.228414 6.10901 8.313659 10.8553 13.74854 -0.00991 -0.00389 0.006254 0.020621 0.039328 0.062507 0.090308 0.122898 0.160471 0.203241 -20-0.5-1-1.5-2-2.5-3-3.5-4-4.5-50246810 H2?k质量输移速度的垂直分布（横轴：/;纵轴：z/h）
4T单位长度波峰线上的质量输移流量
q??H24T??*124*8?0.098m3/sm。
1.16 试述波浪频谱和波浪方向谱的意义。
答： 波浪谱可以用来描述波浪的内部结构，说明海浪内部由哪些部分所构成及其内在关
系。海浪的总能量由Δσ间隔内不同频率的组成波所提供，也即海浪的总能量就是全部组成波的能量和。所谓频谱就是波能密度（单位频率间隔内的平均波能量）在组成波频率范围内的分布。波浪谱只能描述某一固定点的波面，不能反映波浪内部相对于方向的结构，也不足以描述大面积的波面。
实际上，波能密度（单位频率间隔内的平均波能量）在组成波的频率范围Δσ内和方向范围Δθ内均有分布。如果给定了频率时，只描述不同方向间隔的能量密度，反映海浪内部方向结构的能谱叫做方向谱。方向谱对于研究海浪预报、波浪折射、绕射以及波浪作用下的泥沙运动具有重要的意义。
1.17 已知一波浪系列的有效波高Hs为4.7m，有效波周期为4.7m，问：该波列
- 10 -
的平均波高是多少?大于6m的波高出现的机率是多少?
解：由已知有效波高H1/3=1.6H =4.7m 故平均波高H=2.94m
由于大波特征值和累积特征值可以相互转换，有H1/10≈H4％ 而H1/10＝2.03H=5.97≈6m 故 大于6m的波高出现的机率为4％.
第二章 波浪的传播、变形与破碎
2.1 试述波浪守恒和波能守恒的意义？何谓波浪浅水变形？
答： 波浪守恒：波数向量随时间的变化必为角频率的局部变化所平衡。在稳定波场，因
波数向量不随时间变化，使得浅水区周期不随水深变化而变化，周期不变的特性不但为分析波浪浅水变形提供了方便，而且为实验模拟实际波浪提供了理论依据。
波浪正向行进海岸传播时，单宽波峰线上的波能流保持不变，即为波能守恒。这为研究波浪的浅水变形提供了理论依据。
当波浪传播至水深约为波长的一半时，波浪向岸传播时，随着水深的变化其波速、波长、波高及波向都将发生变化，此现象即为浅水变形。
2.2 何谓波浪折射？斯奈尔折射定律意义何在？
答：当波浪斜向进入浅水区后，同一波峰线的不同位置将按照各自所在地点的水深决定其波
速，处于水深较大位置的波峰线推进较快，处于水深较小位置的推进较慢，波峰线就因此而弯曲并渐趋于与等深线平行，波峰线则趋于垂直于岸线，这种波峰线和波向线随水深变化而变化的现象就是波浪折射。斯奈尔定律就是对波峰线和波向线随水深变化而变化这一现象的数学描述。按此定律即可绘制波浪折射图。
2.3 若深水波高H0=1m,周期T=5s,深水波向角α0=45°,等深线全部平行,波浪在
传播中不损失能量,计算水深h=10m,5m,2m处的波高.(用线性波理论)
解：由弥散方程?2?gk?tanh?kh? ??2?2?, k? TL利用题1.6可得当T=5s,h=10m时,L=36.563m,c=7.313m/s,kh=1.72,h/L=0.27<0.5
h=5m时,L=30.289m,c=6.058m/s,kh=1.035,h/L=0.165<0.5 h=2m时,L=20.942m ,c=4.188m/s,kh=0.600,h/L=0.095<0.5
故h/L<0.5，均视为浅水区，应考虑波浪的浅水变形和折射影响。 当水深h=10m时
- 11 -
浅水变形系数ks?其中c0?c0 2cinigT9.8?5?=7.8m/s ci＝7.313m/s 2?2*3.14ni?3.44?1?2kh?1?==0.61 1?1?????2?sinh(2kh)?2?15.577? 故 ks?7.8＝0.935
2*7.313*0.61 波浪折射系数kr?cos?0 cos?i 有
sin?ici? 可得?i＝41.5 ° sin?0c0
cos45?故 kr?＝0.97 ?cos41.5 则 Hi?kskrH0＝0.935×0.97×1＝0.907m
同理 当水深h=5m时，c0=7.8m/s ci＝6.058m/s ni＝0.765 ?i＝33.31°
7.8cos45?＝0.917 kr?＝0.92 ks??2*6.058*0.765cos33.31Hi?kskrH0＝0.917×0.92×1＝0.844m
当水深h=2m时，c0=7.8m/s ci＝4.188m/s ni＝0.897 ?i＝22.31°
7.8cos45?＝1.019 kr?＝0.87 ks??2*4.188*0.897cos22.31Hi?kskrH0＝1.019×0.87×1＝0.886m
2.4 上题中求水深h=10m、5m、2m处底部水质点轨迹速度的最大值及床面剪
切应力的最大值，假定床面平坦，泥沙粒径D=0.01mm。
解：因z=-h时，Ub??Hcosh[k(z?h)]Tsinh(kh)cos(kx??t)z??h??H1cos(kx??t)
Tsinh(kh) 当cos(kx??t)?1时，Ub= Um最大，Um??H1?2a1a???
Tsinh(kh)Tsinh(kh)sinh(kh)- 12 -
同时可得，Am?Um??a
sinh(kh)根据上题中的L、H、T可计算h=10m时的
Um?a?1/2*6.283/5=0.232（m/s） ?sinh(kh)sinh(1.72)a1/2??0.185(m)，
sinh(kh)sinh(1.72)Am?那么，Re=
UmAm??0.232*0.185=4.292*104>1.26*104，判断底层水流为紊流状态。 ?610因相对粗糙度
AmAm0.185=18500>1.57,用（2-99a）式计算fw ??dsD0.01*10?3A11?log??0.28?logm→fw=0.00526
D4fw4fw 则?m?12fw?Um=0.142（N/m2） 2
h=5m、2m时的可按同样的过程计算而得。如下表所示。 水深h 10 5 2 Um 0.233 0.511 0.987 Am 0.185 0.407 0.785 Re 43006 207668 775053 Am/D fw τm 0.14 0.58 1.89 18500 0.00526 40652 0.00443 78536 0.00388
2.5 若深水波高H0=1m,周期T=10s,等深线全部平行,波浪正向入射,波浪在传播
中不损失能量, 分别用线性波理论及考虑非线性影响求水深h=2m处的波高.
解：由弥散方程：?2?gk?tanh?kh? ??2?2?, k?, T=10s,h=2m TL利用题1.6可得L=43.677 m ci=4.368m/s kh=0.288
此时h/L=0.045<0.05为浅水 用线性波理论，即：浅水变形系数ks? 深水时：c0?而 ni?c0 2cinigT9.8?10??15.6m/s L0?c0T=15.6×10=156m 2?2?3.141?2kh?1?0.576?1??=2?1?0.608?=0.974 2?sinh(2kh)????- 13 -
则 ks?c0?2cini15.6?1.354
2?4.368?0.974Hi?ks?H0=1.354×1=1.354m
?h? 考虑非线性影响，即：浅水变形系数ks?kso?0.0015???L??2.8?H0??L?0??? ?1.2 其中：kso?ks
?2?故：ks?1.354?0.0015????43.677??2.8?1????=1.374 ?156?1.2 Hi?ks?H0=1.374×1=1.374m
2.6 若波浪由深水正向传到浅水，深水波高为H0，周期为T，海床底坡为m
波浪没有折射，但必须考虑底部摩阻损失，已知摩阻系数为fw，试编制一计算浅水中任一点的波高的程序。
解：数学模型的建立
2.7 当波浪斜向进入浅水区时，若海底等深线平行，证明：两相邻波向线在任意水深处所截的等深线段为常数，由此证明任意点的折射系数
kr?cos?0 cos? 其中α0为深水波向角，α为该点的波向角。
【证明】：当波浪正向行进海岸时，单宽波能流在传播时保持不变，即，
?Ecn?0??Ecn?i （1）
而题目为当波浪斜向进入浅水区，那么该波浪在正向上的单宽波能流在传播时也应保持不变，即， ?Ec? ns0??Ec?nsi （2）0co?ico?根据波能守恒定律，相邻两波向线之间单位时间平均向前传播的波能不变，
nn ?Ec?0b0??Ec?ibi （3）
bi?sicos?i（3）式可写成： 根据几何关系b0?s0cos?0, ?Ecn?0s0cos?0??Ecn?isicos?i （4）
式中s0、si为两相邻波向线在深水、任意水深处所截的等深线段，那么，由（2）式和（4）式可知，
- 14 -
s0?si?b0 （5） cos?0因波浪折射系数kr?b0bi?sicos?i以及（5）式，有： ,考虑几何关系b0?s0cos?0, bikr?b0scos?0cos?0 ?0?bisicos?icos?i得证。
2.8 在深水中,1s,5s,10s周期的波浪不破碎可能达到的最大波高是多大？在水深
为10m处及水深为1m处可能达到的最大波高各为多大？设海滩坡度极为平缓.
解：（1）深水时极限波陡δ为一常数0.142 即H0＝0.142L0
gT2=1.56m H0＝0.142×1.56=0.22m 当T=1s L0?2?gT2=39.01m H0＝0.142×39.01=5.54m 当T=5s L0?2?gT2=156.05m H0＝0.142×156.05=22.16m 当T=10s L0?2?（2）水深h为10m处，
由弥散方程?2?gk?tanh?kh? ??2?2?, k? TL利用题1.6可得当h=10m,T=1s时,L=1.56m,c=1.56m/s.
T=5s时,L=36.56m,c=7.31m/s,kh=1.7. T=10s时,L=92.32m ,c=9.23m/s,kh=0.7.
T=1s时,h/L=6.41>0.5为深水情况，
故极限波陡δ为一常数0.142,即H＝0.142L=0.142*1.56=0.22m
T=5s时,h/L=0.27∈(0.05，0.5),为有限水深情况，
故极限波陡δ=0.142tanh(kh)=0.133
则H＝δL =0.133*36.56=4.86m
T=10s时,h/L=0.11∈(0.05，0.5),为有限水深情况，
故极限波陡δ=0.142tanh(kh)=0.086
则H＝δL =0.086*92.32=7.94m
水深h为1m处，
- 15 -
同理由弥散方程?2?gk?tanh?kh?,可得：
当h=1m,T=1s时,L=1.56m,c=1.56m/s.
T=5s时,L=15.23m,c=3.05m/s,kh=0.41. T=10s时,L=31.09m ,c=3.11m/s.
T=1s时，h/L=6.41>0. 5,为深水情况，H＝0.142L=0.142*1.56=0.22m
T=5s时，h/L=0.066∈(0.05，0.5),为有限水深情况，
δ=0.142tanh(kh)=0.055 H＝δL =0.055*15.23=0.84m
T=10s时，h/L=0.032<0.05,为浅水情况，
δ=
2?h12?h H0＝δLb==0.897m
77Lb2.9 若海滩坡度为1/20, 深水波高H0=1m,周期T=5s,等深线完全平行, 求波浪
正向入射时，波浪在海滩上破碎时破碎水深及破波高.
解：由tg??=1/20=0.05<0.07 则：?b=(1.4-6.85tg??)-1=0.946 有Hb/hb=0.946
查课本图2-12（破碎指标与破碎水深和波长之比关系曲线）
得hb/Lo=0.021
而深水波长Lo=gT2/2?=39.01m
? hb=0.021*39.01=0.819m Hb=0.946*0.819=0.775m
2.10 上题若波浪斜向入射，深水波向角α0=45o，求破波水深及破波高。
解：按教材公式（2-51）即下式可计算波浪破碎处的破波角。
gT9.81*5gT29.81*25??7.81m/s ??39.05m，波速c0?因深水波长L0?2?6.282?6.28?b??0(0.25?5.5H0/L0)?45*(0.25?5.5*1/39.05)?17.59?
那么波浪折射系数kr为：kr?cos?0?0.861 cos?bcb2?)?sin?0tanh(hb) c0Lb由公式（2-14）可求得破波出的水深hb和波速cb：
sin?b?sin?0(cb?c0(sin?b)?3.34m/s， sin?0- 16 -
由cb?2khb?gT2?2?1?tanh(hb)可得khb?(hb)?0.457，进而，n??1??0.9366，所以 ?2?LbLb2?sinh(2kh)?根据（2-13）式可计算破波处的波高Hb?H0c0kr?2.601m
2(cn)b又因Hb/hb=0.946，所以破波水深hb=Hb/0.946=2.75m。
2.11 一个波流共存场，已知水深h=20m，无流时的波周期Ts=10s，波高Hs=2m，波浪传播方向与水流方向的夹角为150o，试求出波流共存时的波长、波速和波高。
解：波浪传播方向与水流方向的夹角为150o，
那么，波峰线与水流方向的夹角α=150o-90o=60o
gT22?首先计算无流时的波浪要素：Ls?tanh(h)?121.255m
2?LsgT22?tanh(h)?121.255m 有流时的波浪要素：L?2?L那么无流时的波向角：?s?arcsin[
Lssin?]? L第三章 近岸波浪流
3.1 近岸流方程是如何得到的?简述方程中各项的物理意义。
答：将流体力学的质量守恒方程和水平向两个动量方程沿水深积分，并进行波周期平均。在流体不可压缩、忽略柯氏力、不计近岸流对波浪的反作用的假定下，得到近岸时均流场的平面二维近岸流方程如下：
?η????U(h?η)???V(h?η)??0 （1） ?t?x?y?Tyx????η?T(?)(b) （2） [?UD]?(?U2D?Sxx)?(?UVD?Syx)???gD?xx???x??x?t?x?y?x?x?y????η?Txy?Tyy2(?)(b) （3） [?VD]?(?UVD?Sxy)?(?VD?Syy)???gD????y??y?t?x?y?y?x?y在实际应用中可引入一些简化假定。
假定1：波浪恒定，即近岸流也是恒定的。则方程中对时间的偏导项均为0
(?)(?)假定2：自由表面的应力为0，即?x=?y=0
那么，方程（1）-（3）可简化为：
- 17 -
??U(h?η)????V(h?η)??0 （4） ?x?y???η??Sxx?Syx???Txx?Tyx?(b)???(?U2D)?(?UVD)???gD??????????x?x （5） ?x?y?x??x?y?y???????η??Sxy?Syy???Txy?Tyy?(b)?(?UVD)?(?V2D)???gD????????x??y????y （6） ?x?y?y??x?y????方程（5）-（6）中，等号左端为惯性项；右端第1项为水面坡降力项；右端第2项为波浪辐射应力梯度
项，该项是驱动时均流动和时均水面变化的主导作用力；右端第3项为紊流应力，属于扩散项；右端第4
项为床面切应力，属于阻力项。
3.2 简述辐射应力在浅水区和破波带的变化规律。
答：考虑波浪正向入射、岸线平直、等深线与岸线平行的一维情况，则辐射应力的表达式为
?112kh?Sxx??gH2???
82sinh(2kh)??在浅水区，水深沿程减小，即h→0时，sinh（kh）→kh，那么，上式变为Sxx?又由于在浅水区，随着水深的逐渐变小，波高H在逐渐增大，则Sxx沿程增大；
在破波带，波浪破碎发生能量损失，破碎后波高衰减，破后波波高H随着水深h的减小而减小，则Sxx沿程变小。
31?gH2 283.3 波浪增减水是如何发生的?
答：波浪传到浅水区发生浅水变形，波高增大直至破碎，破碎后波高衰减。波高的这种先增大再减小的变化，势必引起辐射应力的沿程变化。
考虑波浪正向入射、岸线平直、等深线与岸线平行的一维情况，此时时均流速为0，底摩阻和紊动应力消失，那么，x向的动量方程变为：
?Sxx?η???g(h??) ?x?x在破波带外的浅水区，波高随水深减小而增大，因而辐射应力也沿程增大，即上式可知，
?Sxx?0，那么，由?x?η?0，即η随x的增大而减小，发生减水现象。 ?x?Sxx?η?0，那么，由式可知，?0，?x?x在破波带内，波浪破碎发生能量损失，辐射应力沿程减小，即即η随x的增大而增大，引起增水现象。
3.4 波浪斜向入射平直海滩时沿岸流的生成机理是什么?
答：一般情况下，波浪斜向入射时，波浪动量流（辐射应力）沿岸分量在通过破波带时的变化不不能由
平均水面坡降力所平衡。在沿岸方向，需要有底部剪切应力来平衡辐射应力梯度。而时均剪切应力只有在发生时均流动时才存在，因此处于衰减中的表面波，将沿岸波动动量（辐射应力）转化为时均沿岸流
- 18 -
动。
3.5 假定波浪斜向入射平直海岸，等深线相互平行，深水波角为α0，深水波高为H0，试根据能量守恒和snell定律导出破波带外平均水位?(x)的表达式。
1H2k解：在破波带外的浅水区，波浪发生减水现象，且减水公式为 ???
8sinh?2kh?
在浅水区上式简化为
1H2 ???16h波浪发生浅水变形和折射，则
H?kskrH0
c0gT， c0?， c?gh， n?1，kr?2cn2?其中ks?
?c?cos?0， sin?i?sin?0??c?? cos?i?0?由以上各式进行计算
?2?h??c??? sin?i?sin?0??c???sin?0???0??gT?cos?i?1?sin2?i?gT2?4?2hsin2?0
gT2
故
kr?cos?0gT2 ?cos?0cos?igT2?4?2hsin2?021H21ks2kr2H0?????16h16h
1 ??162cos?0gT2H01ghT2?4?2h2sin2?04?h
3.6 波浪斜向入射平直海岸，等深线相互平行，试证明破波带外从深水到浅水
Sxy沿程不变。
n证明：根据p.20（1-83）式可知，Sxy?Esin2?
2?sin??可将之改写为Sxy?Ensin?cos???Ecncos????
?c?因破波带外，波能守恒，且等深线相互平行，故有：?Ecncos??0??Ecncos??i，
- 19 -
即?Ecncos??=常数
又等深线相互平行时，斯奈尔定律可写为：
sin??sin??????常数 cc??0因此，在破波带外，波浪由深水到浅水的传播过程中Sxy始终不变，即
?dSxydx?0
3.7 若等深线平行，深水波高H0=2m，周期T=8s，深水波角α0=30o，海滩坡
度m=1/30，问碎波带内平均沿岸流流速有多大？
gT29.81?64??99.97 解：深水波波长L0?2?6.28 根据勒梅沃特计算破波角公式（p.56式2-51）可得：
?b??0?0.25?5.5H0/L0??30???0.25?5.5?2/99.97??10.83?
由于m=tgβ=1/30=0.033，由高尔文公式（p.56式2-49a）可得：γb=0.853
用γb=0.853查图2-12（p.56），可得hb/L0=0.025，那么hb =0.025*L0=2.5m 由?b?Hb?0.853以及hb =2.5m，可得Hb=2.13m hb由p.77公式（3-31）可得碎波带内平均沿岸流流速：
Vl?20.7?gHb?tg?sin2?b?20.7??9.81?2.13?1/21/2?1?sin2*10.83? 30 ?1.164(m/s)3.8 上题若取P?N?(1?K)m?0.35，摩阻系数Cf=0.01，若考虑侧向混合影响，
?Cf计算沿岸流流速在海滩横断面上的分布。
解：由于P?N?(1?K)m?0.35?0.4，可采用3-40式来计算。
?Cf3?91?p1??????4?16P?3?91?p2??????4?16P?1/21/23?91???????4?160.35?1/2?1.10
?1?13?91???????4?160.35?1/2?5??5???2.60, A??1?P???1??0.35??8,
?2??2?B1?A?p2?1?/?p1?p2??8??2.6?1?/?1.1?2.6???7.78
- 20 -
B2?A?p1?1?/?p1?p2??8?1.1?1?/?1.1?2.6??0.22
p11.1??BX?AX?7.78X?8X 0?X?1??1*?? 所以，V??p2?2.6?? 1?X???0.22X ?B2XX 0.00 0.05 0.10 0.15 0.20 0.25 0.30 0.35 0.40 0.45 V* 0.00 0.11 0.18 0.23 0.28 0.31 0.33 0.35 0.36 0.37 X 0.50 0.55 0.60 0.65 0.70 0.75 0.80 0.85 0.90 0.95 V* 0.37 0.37 0.36 0.36 0.34 0.33 0.31 0.29 0.27 0.25 X 1.00 1.05 1.10 1.15 1.20 1.20 1.25 1.30 1.35 1.40 V* 0.22 0.19 0.17 0.15 0.14 0.14 0.12 0.11 0.10 0.09 X 1.45 1.50 1.55 1.60 1.65 1.70 1.75 1.80 1.85 1.90 V* 0.08 0.08 0.07 0.06 0.06 0.06 0.05 0.05 0.04 0.04 V*X 1.95 2.00 3.00 4.00 5.00 6.00 7.00 8.00 9.00 10.00 0.40.350.30.250.20.150.10.05V* 0.04 0.04 0.01 0.01 0.00 0.00 0.00 0.00 0.00 0.00 X121086420考虑侧向混掺的P=0.35时的沿岸流理论解0 3.9 假定海滩坡度均匀一致，岸线平直，波浪正向入射，沿岸方向波高不等，破波高度的沿岸梯度
?Hb为已知。垂直于岸线的流速可忽略不计，不考虑侧向?y掺混。试根据沿岸流控制方程，导出沿岸流速度表达式。 解：
第四章 海岸带潮波运动
4.1 平衡潮理论和实际潮汐的差异是由哪些因素造成的?
答：平衡潮理论是在过分简化的假定条件下得到的，其结果与实际潮汐有很大的差异。其原因为：
（1） 地球表面水体运动必须满足连续性和动量平衡；而实际的海底地形、岸线形状多样，
- 21 -
使潮波在传播中发生反射、共振，导致潮差增大，底摩阻使潮差减小等；
（2） 赤道上相对于月球的线速度为449m/s。为了使平衡潮与月球运行同步，就要求波速
达到449m/s，由v?gh可知，水深需20km。而实际的水深远小于20km，造成实际
潮汐滞后于平衡潮汐；
（3） 水体运动受到柯氏力的影响，造成潮流偏转。
4.2 简述地球自转对外海潮流的影响。
答：在宽阔的海域中，地球自转的柯氏力使北半球的潮流向右偏转，导致潮波波峰常常绕一中心点旋转，表现为旋转潮波。
4.3 简述地转力对河口潮汐和潮流的影响。
答：潮流受地转偏向力的作用形成旋转流，在北半球按顺时针方向旋转，南半球按逆时针
方向旋转。在河口、海峡等狭窄水道，因受地形影响无法旋转而变为一来一往的往复流。
4.4 潮波进入河口后会发生哪些变化?
答：海洋潮波进入河口区后，由于水深变小、河口平面形态、底摩阻、浅滩及端部反射、河流径流等的影响，潮波的波面形态、波动类型及潮差将沿程变化。
作为前进波的潮波遇到河口浅滩、河岸和河口顶端会发生反射，特别是平面呈喇叭形、水深急剧变小的河口中，潮波反射强烈，近于驻波的性质。此时，高低潮位时潮流速度为0，中潮位时流速最大且比潮位变化提前π/2相位。
波面形态的变化取决于水深的变化，形成了波峰（高水位）速度大于波谷（低水位），使得潮波曲线形状不对称；潮位上升快回落慢；涨潮历时短落潮历时延长；涨潮流速大于落潮流速。
河道截面积的向陆沿程减小会引起能量的汇聚，使潮差增大，形成了“喇叭”效应；潮波在河口浅滩和边界的反射可形成驻波，使潮差增大；底部摩阻消耗潮波能量，使潮差减小。
4.5 简述潮波在大陆架的传播特征。
答：海洋潮波进入大陆架后，其波向已基本与等深线垂直，如此正向入射的潮波遇到大陆架边缘地形突变处，会产生部分反射和透射现象，剩余的60%的入射波能透过大陆架边缘传入大陆架。这些透射波能仍能在浅水大陆架产生放大因子为1.64的潮差，大陆架的潮流速度也相应增大。且流速的放大因子大于潮差的放大因子。
此外，大陆架潮流还受地转力影响，形成旋转潮流系统，在港湾有时会形成潮汐共振现象。进入水深小于20m的近海区，流速会大大增加。
4.6 无潮点是如何形成的?
答：考虑地转影响时，当潮波进入一端封闭的矩形水域形成凯尔文波与封闭端反射回来的方
1(2n?1)?向相反的凯尔文波相叠加形成的合成波，在水域中心线上x=处，该波波高（潮
k2差）为0，故称无潮点。
4.7 半封闭狭长海湾发生共振的条件是什么?如湾口开边界处外海潮波周期为
- 22 -
12.4h，海湾水深为50m，那么海湾长度为多大时会发生共振？简述共振时海湾内水面变化特征。
解：半封闭狭长海湾发生共振的条件是：港湾长度Lc≥1/4L（L为口门处潮波波长）。
利用Tc?4Lc，将T=12.4h，h=50m代入，可得247.163Km，所以海湾长度为247.163Km
gh时会发生共振。
共振发生时，振幅向陆方向沿程增大，至封闭端振幅最大。
4.8 河口的宽度和深度向口门方向呈线性缓慢增加，在口门x=l处，h=h0，B=B0，
?(t)?Hcos?t，试确定河口水面的沿程变化。 21/4解：由于河口的宽度和深度向口门方向呈线性缓慢增加，所以在任意x处的宽度B=B0x/l，
?h0?由格林定律Hx?H0??h???x??b0???b???x?1/2?h0??l?可知，在任意x处Hx?H0???h???x?x???1/41/2
因为在口门处?(t)?Hcos?t，假定潮波无反射，波动保持前进波形式，那么根据（4-18）式2可得任意x处的波面为：
?(x,t)?H2lcos[k(l?x)??t] x该式表明当潮波传播进入收缩型河口，不考虑反射和底摩阻时潮差呈沿程增大的变化趋势。
4.9 有一狭长海峡，宽为30km，长为766km，水深沿程不变为30m，海峡地处北纬35o，该处潮汐为正规半日潮，周期为12h25min，潮波振幅η0=1.5m，传播方向自海峡左端传向右端。若将x轴置于海峡中心线，原点置于海峡左端，试求该自由潮波(不考虑摩阻影响)受地转影响后，在y=0，±7.5，±15km处的凯尔文波的振幅及潮流速最大值。
解：图示海峡如下：
y o 30km x
766km - 23 -
fc?2?sin??2?7.29?10?5?sin35??8.36?10?5(rad/s)
c?gh?9.81*30?17.16(m/s)，波高H=2*振幅=3m，
k??c?2?/T2?6.28???8.19?10?6rad/m ccT17.16?12.417?3600c由公式??He?fy/ccos(kx??t)可知，当t=0时，x=0、100、200、300、383、500、600、766km
2时，在y=0，±7.5，±15km处的凯尔文波的振幅如下表所示。
X(km) Y=-15km Y=-7.5km Y=0km Y=7.5km Y=15km 0 1.61 1.56 1.50 1.45 1.39 100 1.10 1.06 1.02 0.99 0.95 200 -0.11 -0.10 -0.10 -0.10 -0.09 300 -1.25 -1.21 -1.16 -1.12 -1.08 383 -1.61 -1.56 -1.50 -1.45 -1.39 500 -0.93 -0.90 -0.87 -0.84 -0.81 600 0.32 0.31 0.30 0.29 0.28 700 1.38 1.33 1.28 1.23 1.19 766 1.61 1.56 1.50 1.45 1.39 潮流速最大值可由公式u?Hc?fcy/ccecos(kx??t)??知，最大振幅处的潮流速最大，即， 2hhc17.16umax????1.61?0.92(m/s)
h304.10 上题中如果将海峡在右端(x=766km)处封闭，试绘出海峡内的同潮时线及等振幅线。
解：由于海峡在右端(x=766km)处封闭，从左端入射的与右端反射而来的凯尔文波相叠
加。叠加后，在海峡中线上
x0? n?0时?191.697km 1(2n?1)1(2n?1)处为无潮点。 ??????6k228.19?10 n?1时?575.092km 无潮点附近的等振幅线方程为：
'2'222x'2y'2(x?191.697)2y2xy(x?575.092)y????常数，2?2???常数 m2k22.37?10?116.71?10?11mk2.37?10?116.71?10?111?同潮时线属于双曲线型，其方程为：???mk?xy?常数
???1?1????6?6?8??mk?xy???4.87?10?8.19?10mk?xy??2.829?10xy?常数 ?4????1.41?10?
4.11 海峡中自由潮波考虑摩阻(不考虑地转影响)时，达西一韦斯巴赫摩阻系数
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为0.25×10-5，用题4.9中的数据，计算：
(a)在x=766km处的潮波振幅及潮流流速最大值； (b)潮流和潮位的相位差；
(c)潮波波长及传播速度。
解：（a）由题4.9中的数据可知无摩阻时的波速c0=17.16m/s，波数k0=8.19×10-6rad/s，最大
2?6.28潮流速度um=0.92 m/s，????1.44?10-4，
T12.147*3600L0?2?6.28??0.77?106m ?6k08.19?10fum0.25?10-5?0.92??8.14?10-9 那么，线性化摩阻系数s?3?h3?3.14?302?k0?s??1????1?衰减模数??2????????1/22???8.14?10?9?8.19?10???1??1???4????2?1.44?10????61/2
?2.24?10?102?k0?s??以及有摩阻时的波数k?2?1?????1???????1/22???8.14?10?9?8.19?10???1??1???4????2?1.44?10????61/2
?8.19?10?6由公式??H??xecos(kx??t)可知，当t=0时，在x=766km处的潮波振幅 2???10H??xecos(kx)?1.5?e?2.24?10?766000cos(8.19?10?6*766000) 2 ?1.4997m
潮流流速最大值
umax?6k0H??x?c0??17.16?8.19?10?2.24?10?10?766000?e???1.5?e???222h30??6.708?10?11 ????k?0.572m/s(b) 最大潮流速度与最大振幅出现的时刻不同，最大潮流速度比最大振幅提前了
2.24?10?10??arctg()?arctg()?0.001567??5.74秒
k8.19?10?6?(c)潮波波长及传播速度
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考虑摩阻后的波速c?c01?(?/k0)2?17.16?2.24?10?10?1???8.19?10?6????2?17.16m/s
考虑摩阻后的波长L?L01?(?/k0)2?0.77?106?2.24?10?10?1???8.19?10?6????2?0.77?106m
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