x2y224.【2015高考天津，理19】（本小题满分14分）已知椭圆2+2=1(a>b>0)的左焦点为F(?c,0),离心

abb434322率为，点M在椭圆上且位于第一象限，直线FM被圆x+y=截得的线段的长为c，|FM|=.

334(I)求直线FM的斜率； (II)求椭圆的方程；

(III)设动点P在椭圆上，若直线FP的斜率大于2，求直线OP（O为原点）的斜率的取值范围.

x2y23??1 ；(III) 【答案】(I) ； (II)

332?23??223?,???,??U??.

333????c21【解析】(I) 由已知有2?，又由a2?b2?c2，可得a2?3c2，b2?2c2，

a3设直线FM的斜率为k(k?0)，则直线FM的方程为y?k(x?c)，由已知有

?kc??c??b?3k???，解得. ?2?????322?k?1?????222x2y2(II)由(I)得椭圆方程为2?2?1，直线FM的方程为y?k(x?c)，两个方程联立，消去y，整理得

3c2c?23?53x2?2cx?5c2?0，解得x??c或x?c，因为点M在第一象限，可得M的坐标为?c,c?，由

3?3??23?x2y243??1 ，解得c?1，所以椭圆方程为FM?(c?c)??c?0??3233??y(III)设点P的坐标为(x,y)，直线FP的斜率为t，得t?，即y?t(x?1)(x??1),与椭圆方程联立

x?122?y?t(x?1)26?2x?2222?2，解得 ，消去y，整理得2x?3t(x?1)?6，又由已知，得t??xy223(x?1)??1?2?3?3?x??1或?1?x?0， 2设直线OP的斜率为m，得m?y22，即y?mx(x?0)，与椭圆方程联立，整理可得m2?2?. xx3?223?22?，得m??,? x2333???3?①当x???,?1?时，有y?t(x?1)?0，因此m?0，于是m??2?

②当x???1,0?时，有y?t(x?1)?0，因此m?0，于是m???2223??，得m???,??? x233??综上，直线OP的斜率的取值范围是???,???23??223?,?U??

3??33?【考点定位】1.椭圆的标准方程和几何性质；2.直线和圆的位置关系；3.一元二次不等式.

【名师点睛】本题主要考查椭圆的定义、标准方程及几何性质，直线与圆锥曲线的位置关系.由勾股定理求圆的弦长，体现数学数形结合的重要数学思想；用数字来刻画几何图形的特征，是解析几何的精髓，联立方程组，求出椭圆中参数的关系，进一步得到椭圆方程；构造函数求斜率取值范围，体现函数在解决实际问题中的重要作用，是拨高题.

x2y225.【2015高考重庆，理21】如题（21）图，椭圆2?2?1?a?b?0?的左、右焦点分别为F1,F2,过F2ab的直线交椭圆于P,Q两点，且PQ?PF1yP[来源:Z,xx,k.Com]

F1OF2xQ

（1）若PF1?2?2,PF2?2?2，求椭圆的标准方程

e. （2）若PF1?PQ,求椭圆的离心率

x22+y=1；【答案】（1）（2）6?3 4【解析】

试题解析：（1）本题中已知椭圆上的一点到两焦点的距离，因此由椭圆定义可得长轴长，即参数a的值，而由PQ?PF1，应用勾股定理可得焦距，即c的值，因此方程易得；（2）要求椭圆的离心率，就是要找到

关于a,b,c的一个等式，题中涉及到焦点距离，因此我们仍然应用椭圆定义，设PF则PF2?2a?m，1?m，

QF2?PQ?PF2?m?(2a?m)?2m?2a，于是有QF1?2a?QF2?4a?2m，这样在Rt?PQF1中

求得m?2(2?2)a，在Rt?PF1F2中可建立关于a,c的等式，从而求得离心率. (1)由椭圆的定义，2a=|PF1|+|PF2|=(2+2)+(2-2)=4，故a=2.

设椭圆的半焦距为c，由已知PF1?PF2，因此

2c=|FF2212|=|PF1|+|PF2|=(2+2)2+(2-2)2=23，即c=3. 从而b=a2-c2=1

故所求椭圆的标准方程为x24+y2=1. (2)解法一：如图(21)图，设点P(x0,y0)在椭圆上，且PF1?PF2，则

x20a2+y20b2=1,x20+y20=c2 求得xc20=?aa2?2b2,yb0??c. 由|PF1|=|PQ|>|PF2|,得x0>0,从而

?c?2?22|PF222b2+c???b?21|=?aa???c???2?a2?b??2aa2?2b2??a?a2?2b2??2.

由椭圆的定义，|PF1|+|PF2|=2a,|QF1|+|QF2|=2a,从而由|PF1|=|PQ|=|PF2|+|QF2|，|QF1|=4a-2|PF1|

又由PF1?PF2，|PF1|=|PQ|知|QF1|=2|PF1|，因此(2+2)|PF1|=4a 于是(2+2)(a+a2-2b2)=4a.

解得e?1??42?2??1??2?2?1????????6?3. ?有

【考点定位】考查椭圆的标准方程，椭圆的几何性质.，直线和椭圆相交问题，考查运算求解能力． 【名师点晴】确定圆锥曲线方程的最基本方法就是根据已知条件得到圆锥曲线系数的方程，解方程组得到系数值．注意在椭圆中c＝a－b，在双曲线中c＝a＋b.圆锥曲线基本问题的考查的另一个重点是定义的应用；求椭圆与双曲线的离心率的基本思想是建立关于a，b，c的方程，根据已知条件和椭圆、双曲线中a，b，c的关系，求出所求的椭圆、双曲线中a，c之间的比例关系，根据离心率定义求解．如果是求解离心率的范围，则需要建立关于a，c的不等式．

2

2

2

2

2

2

x2y2226.【2015高考四川，理20】如图，椭圆E：2+2?1(a?b?0)的离心率是，过点P（0,1）的动

2ab直线l与椭圆相交于A，B两点，当直线l平行与x轴时，直线l被椭圆E截得的线段长为22. (1)求椭圆E的方程；

（2）在平面直角坐标系xOy中，是否存在与点P不同的定点Q，使得点Q的坐标；若不存在，请说明理由.

QAPA恒成立？若存在，求出?QBPB

x2y2??1；【答案】（1）（2）存在，Q点的坐标为Q(0,2). 42【解析】（1）由已知，点(2,1)在椭圆E上.