28.2 解直角三角形及其应用

28．2.1 解直角三角形

01 基础题

知识点1 已知两边解直角三角形

如图，已知两边：

(1)已知a，b，则c＝a2＋b2，sinA＝cosB＝ac，sinB＝

cosA＝b，tanA＝a，tanB＝bcba；

(2)已知a，c，则b＝c2－a2，sinA＝cosB＝a，sinB＝cosA＝b，tanA＝a，tanB＝bccba. 1．在△ABC中，∠C＝90°，AC＝3，AB＝4，欲求∠A的值，最适宜的做法是(C)

A．计算tanA的值求出 B．计算sinA的值求出 C．计算cosA的值求出

D．先根据sinB求出∠B，再利用90°－∠B求出

2．在Rt△ABC中，∠C＝90°，a＝4，b＝3，则cosA的值是(A)

A.35 B.45 C.43 D.54

3．在Rt△ABC中，∠C＝90°，a＝20，c＝202，则∠A＝45°，∠B＝45°，b＝20.

4．如图，在Rt△ABC中，∠C＝90°，已知BC＝26，AC＝62，解此直角三角形．

解：∵tanA＝BCAC＝

2662＝33， ∴∠A＝30°. ∴∠B＝90°－∠A＝90°－30°＝60°，AB＝2BC＝46.

知识点2 已知一边一锐角解直角三角形

如图，已知一边一角：

(1)已知a，∠A，则∠B＝90°－∠A，c＝

asinA，b＝atanA；

13

(2)已知c，∠A，则∠B＝90°－∠A，a＝c·sinA.

5．(沈阳中考)如图，在Rt△ABC中，∠C＝90°，∠B＝30°，AB＝8，则BC的长是(D)

A.43

3

B．4 C．83 D．43

4

6．在Rt△ABC中，∠C＝90°，tanA＝，BC＝8，则△ABC的面积为(C)

3

A．12 B．18 C．24 D．48

7．(新疆中考)如图，在Rt△ABC中，∠C＝90°，∠B＝37°，BC＝32，则AC＝24.(参考数据：sin37°≈0.60，cos37°≈0.80，tan37°≈0.75)

8．(教材9下P73例2变式)如图，在Rt△ABC中，∠C＝90°，∠B＝55°，AC＝4，解此直角三角形．(结果保留小数点后一位)

解：根据题意，∠A＝90°－∠B＝90°－55°＝35°. 根据正弦定义，sinB＝，则 ACABAC4AB＝＝≈4.9. sinBsin55°根据正切的定义，tanB＝，则 ACBCAC4BC＝＝≈2.8. tanBsin55°所以△ABC的另一个锐角度数为35°，另一条直角边长为2.8，斜边长为4.9. 易错点 忽视钝角三角形而致错

14

9．在△ABC中，AB＝23，AC＝2，∠B＝30°，则BC的长为2或4.

02 中档题

3

10. 如图，在△ABC中，∠C＝90°，AC＝8 cm，AB的垂直平分线MN交AC于D，连接BD，若cos∠BDC＝，则BC

5的长是(A)

A．4 cm B．6 cm C．8 cm D．10 cm

11．(牡丹江中考)在△ABC中，AB＝122，AC＝13，cosB＝

2

2

，则BC边长为(D) A．7 B．8

C．8或17 D．7或17

12.(河池中考)如图，在△ABC中，AC＝6，BC＝5，sinA＝243，则tanB＝3.

第12题图 第13题图

13．(攀枝花中考)如图，在菱形ABCD中，DE⊥AB于点E，cosA＝3

5，BE＝4，则tan∠DBE的值是2.

14．(柳州中考)如图，在△ABC中，BD⊥AC，AB＝6，AC＝53，∠A＝30°.

(1)求BD和AD的长； (2)求tanC的值．

解：(1)∵BD⊥AC， ∴∠ADB＝∠BDC＝90°. 在Rt△ADB中，AB＝6，∠A＝30°， ∴BD＝12AB＝3.∴AD＝3BD＝33. (2)CD＝AC－AD＝53－33＝23， 15

在Rt△BDC中，tanC＝＝

BD33＝. CD232

15．(包头中考)如图，在四边形ABCD中，∠ABC＝90°，∠ADC＝90°，AB＝6，CD＝4，BC的延长线与AD的延长线交于点E.

(1)若∠A＝60°，求BC的长；

(2)若sinA＝4

5

，求AD的长．

解：(1)∵在Rt△ABE中，∠ABE＝90°，∠A＝60°，AB＝6，tanA＝BEAB， ∴BE＝6·tan60°＝63. ∵在Rt△CDE中，∠CDE＝90°，∠E＝90°－60°＝30°， CD＝4， ∴CE＝2CD＝8. ∴BC＝BE－CE＝63－8. (2) ∵在Rt△ABE中，∠ABE＝90°，sinA＝45， ∴BE4AE＝5. 设BE＝4x，则AE＝5x(x＞0)． ∵AE2－BE2＝AB2， ∴(5x)2－(4x)2＝62.∴x＝2. ∴BE＝8，AE＝10. ∵在Rt△CDE中，∠CDE＝90°，CD＝4，tanE＝CDAB63ED，而在Rt△ABE中，tanE＝BE＝8＝4， ∴CD3ED＝4. ∴ED＝43CD＝163. ∴AD＝AE－ED＝143.

03 综合题

16. 如图，在△ABC中，CD是边AB上的中线，∠B是锐角，且sinB＝

22，tanA＝1

2

，AC＝35. (1)求∠B的度数与AB的长； (2)求tan∠CDB的值．

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