（六）计算题
【1101】一圆轮以匀速v0沿直线作纯滚动，如图所示，设初始时刻P点与坐标原点O重合，轮半径为r，求轮缘上一点P的运动学方程以及P点的速度、加速度大小。
2y P θ C V0 O A x ??kx,k为常数，且?【1201】质点沿x轴运动，加速度?xt?0时,x?b,x?0,，求质
点的运动学方程。
【1202】质点作平面运动时，其速率v为常数C，位矢旋转的角速度??为常数?，设t?0时，r?0和?＝0求质点的运动学方程和轨道方程。
【1301】某人以一定的功率划船，逆流而上，当船经过一桥时，船上的鱼竿不慎掉入河中。两分钟后，此人才发觉，立即返棹追赶。追到鱼竿之处是在桥的下游600米的地方，问河水的流速是多大？
【1302】一人手持5cm成和两端开口的管子在雨中站立，管顶向北倾斜4ccm，雨点直线穿过此管；如此人向南以1.4m/s的速度行走，则管顶向北倾斜3cm就可以使雨点穿过，求雨点速度。
mk2【1501】一质点受力F??3，此力指向坐标原点O，试求质点沿x轴从距原
x点为l处由静止开始运动，达到原点所需要的时间。
【1502】有孔小珠穿在光滑的抛物线形钢丝上且能自由滑动，抛物线的正交弦为4a，其轴沿铅直方向而顶点位于下方，小珠从顶点开始运动时具有某一速率，这个速率使它恰能达到过焦点的水平面，试求小珠在顶点上方高为y（ 【1503】船在水中航行，停机时的速度为v0，水的阻力为f?kmv2，问经过多少时间后航速减至 v0。 2【1504】质量为m的小球，在重力的作用下，在空气中竖直下落，其运动规律为s?At?B(1?e?3t)，求空气阻力（以v的函数表示之） 【1901】求质量为m的质点在反立方引力场中的运动轨道。 【1902】质点在有心力的作用下作双纽线r2?a2cos2?运动，试求有心力。 【2101】求半径为R的均质半球体的质心。 【2701】总长度为a的均质链条的一段b (0 【2702】雨滴下落时其质量增加率与雨滴的表面积成正比，求雨滴速度与时间的关系。 【2703】长为l的均匀细链条伸直地平放在水平光滑桌面上，其方向与桌边缘垂直，此时链条的一半从桌上下垂。开始时，整个链条是静止的，试以变质量方法来求此链条的末端滑到桌子的边缘时，链条的速度v。 【2704】长为l的均匀细链条盘成一团放在水平光滑桌面上，链条的一半从桌上下垂。开始时，整个链条是静止的，试求此链条的末端滑到桌子的边缘时，链条的速度v。 【3501】质量为m1和m2的两质点相距为l，求其中心主转动惯量。 m1 x1 x2 m2 mx y y mh c mb （题【3501】图） （题【3502】图） 【3502】由轻杆连成的刚性等腰三角形，高为h，底边长为a，在三角形三个顶点上分布有三个质点，上顶点质点的质量为m2，底边上两质点质量均为m1，求系统的中心主转动惯量I1,I2及I3。 【3503】半径为R的非均质圆球，在距中心r处的密度可以用下式表示 r2???0(1??2),式中?0 及?是常数。试求圆柱绕直径转动时的回转半径。（已 R知球壳绕直径的转动惯量为 I?22mr） 3【3601】通风机的转动部分以某一初角速度?0绕其轴转动，空气阻力矩与角速度成正比，比例常数为k，如转动部分对其轴的转动惯量为I，问经过多少时间后其转动的角速度为初角速度的一半。 【3602】质量为M，半径为R的圆环放在光滑水平面上，可以绕过环边上一点 O的铅直轴转动，若环开始时处于静止状态，有一质量为m的小虫自O点出发，沿圆环以相对匀速度v0爬行，当小虫爬了半圈时，环的转动角速度是多少？ （题【3602】图） （题【3603】图） 【3603】质量为m的平板放在两个圆柱体上，圆柱体质量都是m，半径均为R，若在板上加一水平力F，求平板的加速度。设平板与圆柱，圆柱与地面之间均是纯滚动。 【3701】长为2a的均质棒，以铰链悬挂于A点上，在起始时，棒自水平位置无初速地运动，并且当棒通过竖直位置时，铰链突然松脱，棒成为自由体，试证在以后运动中，棒以质心轨迹为一抛物线，并求当棒的质心下降h距离后，棒一共转了几圈？ 【3702】一端固结于天花板上的细绳缠绕在一个半径为r，重为w的圆盘上。求圆盘中心向下运动的加速度a，圆盘的角加速度β和绳的张力T。（已知圆盘对过 1中心且垂直于盘面的轴的转动惯量为mr2） 2 T w O r A O V F 【3703】一矩形板ABCD在平行于自身的平面内运动，其角速度为定值?，在某一瞬时已知A点的速度为v0，方向沿对角线AC，试求此瞬时B点的速度量值vB，其中矩形边长AB?a,BC?b为已知。 【3704】如图所示，一圆轮沿水平轨道向右作纯滚动，AB杆在A端铰链在轮缘上，B端可沿斜面滑动，已知圆轮中心O的速度为v0当AB杆在水平位置时， （1）标出圆轮及AB杆的转动瞬心的位置； （2）求A、B两点的速率。 （题【3704】图） （题【3801】图） 45o B A 60o VO A E ω2 D θ B C ω1 【3801】转轮AB，绕OC轴转动的角速度为?1，而OC绕竖直直线OE转动的角速度则为 ?2。如AD?DB?a,OD?b,?COE试求转轮最低点B的速度。 ??， 【4101】一直线以匀角速度?在一固定平面内绕其一端转动，当其直线位于ox的位置时，有一质点P开始从O点沿该直线运动，如欲使此点的绝对速度v的量值为常数，问此点应按何种规律沿此直线运动？ 【4102】一等腰直角三角形OBA在其自身所在的平面内以等角速度?绕顶点O转动，某点M以不变的相对速度沿AB边运动，当三角形转一周时，M点正好走过AB，已知AB=b，求M点在A点时的绝对速度和绝对加速度的量值。 x O ω y z 【5201】质量为m，长为2l的均质棒，A端抵在光滑墙上，而棒身斜靠在与墙相距为d （d?lcos?）的光滑棱角上，棒的B端固定一质量为m的质点，试用虚功原理求平衡时棒与水平面所成的角?。 C A θ B A θ B (题【5201】图) (题【5202】图) 【5202】两根均质棒AB、BC在B处刚性联结在一起，且?ABC形成一直角，如图，将棒的A点用绳系于固定点上，棒AB长为a，BC长为b，线密度均为?，用虚功原理求平衡时AB和竖直方向所成?角。 【5203】半径为r的光滑半球形碗，固定在水平面上。一均质棒斜靠在碗缘，一端在碗内，令一端在碗外，在碗内的长度为c，试求证棒的全长为 4c2?2r2 c??【5301】利用拉格朗日方程推导平面极坐标系下质点运动方程。 θ r m ωO j i P O （题【5301】图） （题【5302】图） 【5302】一光滑细管可在竖直平面内绕通过其一端的水平轴以匀角速度?转动，管中有一质量为m的质点，开始时细管取水平方向，质点距转动轴的距离为a，质点相对于管的速度为v0，试由拉格朗日方程求质点相对管的运动微分方程。 【5303】质量为m1的质点，沿倾角为α的光滑直角劈滑下，劈的质量为m2，可在光滑水平面上自由滑动，用拉格朗日方程求质点在水平方向的加速度和劈的加速度。 y o x θ （题【5303】图） （题【5501】图） m 【5304】匀质棒AB，质量为m ,长为2a，其A端可在光滑水平导槽上运动。而棒本身又可在竖直面内绕A端摆动。除受重力外，B端还受有一水平力F的作用。试用拉格朗日方程求其运动微分方程。 【5501】试用哈密顿正则方程导出单摆作微振动时的运动微分方程，设单摆的摆长为l。 【5601】试求由质点组动量P?及动量矩J?的直角坐标分量Jx与px，Jx与py所组 成的泊松括号。 【5602】试求质点组动量矩J?的笛卡儿分量Jx与Jx，Jx与Jy所组成的泊松括号。 【5701】试通过哈密顿原理求复摆作微振动时的周期。设复摆对定点O的转动惯量为I0，质量为m，质心到点O的距离为l。 【5702】半径为a的光滑圆形金属丝圈，以匀角速ω绕竖直直线转动，圈上套着质量为m的小环，起始时小环自圆圈最高点无初速地沿着圆圈滑下当环和圈中心的连线与铅直直径成y θ角时，用哈密顿原理求出小环的运动微分方程。 x ω O m θ θ a （题【 C 5701】图） （题【5702】图） 【5zh1】考虑水平面上不受外力作用的自由质点（取该水平面势能为零），设广义坐标取为直角坐标x、y，试写出系统的哈密顿函数、正则方程、及其首次积分。 【5zh2】一质点m在固定光滑平面上运动，其势能为V?12kr（k为负数），若2以r,?为广义坐标，写出其哈密顿函数和正则方程，并指出其循环坐标及循环积分。