课时作业47 两条直线的位置关系与距离公式
[基础达标]
一、选择题
1．[2020·天津七校联考]经过点(0,1)与直线2x－y＋2＝0平行的直线方程是( ) A．2x－y－1＝0 B．2x－y＋1＝0 C．2x＋y＋1＝0 D．2x＋y－1＝0
解析：设所求直线的方程为2x－y＋a＝0，将(0,1)代入直线方程，得－1＋a＝0，所以
a＝1，故所求直线方程为2x－y＋1＝0.故选B.
答案：B
2．[2020·湖南省邵阳市高三大联考]过点(2,1)且与直线3x－2y＝0垂直的直线方程为( )
A．2x－3y－1＝0 B．2x＋3y－7＝0 C．3x－2y－4＝0 D．3x＋2y－8＝0
解析：由题意，设直线方程为2x＋3y＋b＝0，把(2,1)代入，则4＋3＋b＝0，即b＝－7，则所求直线方程为2x＋3y－7＝0.
答案：B
3．[2020·广东江门一模]“a＝2”是“直线ax＋3y＋2a＝0和2x＋(a＋1)y－2＝0平行”的( )
A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件
D．既不充分也不必要条件
解析：直线ax＋3y＋2a＝0和2x＋(a＋1)y－2＝0平行的充要条件为
??a×???a×
a＋1＝2×3，
－2≠2a×2，
即a＝2或a＝－3.又“a＝2”是“a＝2或a＝－3”的充分不必
要条件，所以“a＝2”是“直线ax＋3y＋2a＝0和2x＋(a＋1)y－2＝0平行”的充分不必要条件，故选A.
答案：A
4．经过点P(－2，m)和Q(m,4)的直线平行于斜率等于1的直线，则m的值是( ) A．4 B．1 C．1或3 D．1或4
1
解析：由题意，知答案：B
4－m＝1，解得m＝1.
m－－2
5．[2020·宁夏银川模拟]若直线l1：x＋ay＋6＝0与l2：(a－2)x＋3y＋2a＝0平行，则l1与l2间的距离为( )
82
A.2 B.
383
C.3 D.
3
解析：由l1∥l2得(a－2)a＝1×3，且a×2a≠3×6，解得a＝－1， 2
∴l1：x－y＋6＝0，l2：x－y＋＝0，
3
∴l1与l2间的距离d＝故选B. 答案：B
?6－2??3???
1＋－1
2
2
＝
82
， 3
32
6．若直线l1的斜率k1＝，直线l2经过点A(3a，－2)，B(0，a＋1)，且l1⊥l2，则实
4数a的值为( )
A．1 B．3 C．0或1 D．1或3
解析：∵l1⊥l2，∴k1·k2＝－1，
3a＋1－－2即×＝－1，解得a＝1或a＝3. 40－3a答案：D
7．[2020·四川凉山模拟]若点A(－3，－4)，B(6,3)到直线l：ax＋y＋1＝0的距离相等，则实数a的值为( )
71A. B. 93
7171C.或 D．－或－ 9393
|6a＋3＋1||－3a－4＋1|解析：由点A和点B到直线l的距离相等，得＝，化简得6aa2＋1a2＋171
＋4＝－3a－3或6a＋4＝3a＋3，解得a＝－或a＝－.故选D.
93
答案：D
2
2
8．已知点P(－1,1)与点Q(3,5)关于直线l对称，则直线l的方程为( ) A．x－y＋1＝0 B．x－y＝0 C．x＋y－4＝0 D．x＋y＝0
解析：线段PQ的中点坐标为(1,3)，直线PQ的斜率kPQ＝1， ∴直线l的斜率kl＝－1，∴直线l的方程为x＋y－4＝0. 答案：C
9．直线l1的斜率为2，l1∥l2，直线l2过点(－1,1)且与y轴交于点P，则P点坐标为( ) A．(3,0) B．(－3,0) C．(0，－3) D．(0,3)
解析：因为l1∥l2，且l1的斜率为2， 所以l2的斜率为2. 又l2过点(－1,1)，
所以l2的方程为y－1＝2(x＋1)， 整理即得：y＝2x＋3， 令x＝0，得y＝3， 所以P点坐标为(0,3)． 答案：D
10．直线l通过两直线7x＋5y－24＝0和x－y＝0的交点，且点(5,1)到直线l的距离为10，则直线l的方程是( )
A．3x＋y＋4＝0 B．3x－y＋4＝0 C．3x－y－4＝0 D．x－3y－4＝0
?7x＋5y－24＝0，?解析：由?
??x－y＝0
得交点坐标为(2,2)，
当直线l的斜率不存在时，易知不满足题意． ∴直线l的斜率存在．
设直线l的方程为y－2＝k(x－2)，即kx－y＋2－2k＝0， ∵点(5,1)到直线l的距离为10， ∴
|5k－1＋2－2k|
＝10，解得k＝3.
k2＋－12
∴直线l的方程为3x－y－4＝0. 答案：C 二、填空题
11．平行于直线3x＋4y－2＝0，且与它的距离是1的直线方程为____________________．
3
|－2－c|
解析：设所求直线方程为3x＋4y＋c＝0(c≠－2)，则d＝＝1， 22
3＋4∴c＝3或c＝－7，
即所求直线方程为3x＋4y＋3＝0或3x＋4y－7＝0. 答案：3x＋4y＋3＝0或3x＋4y－7＝0
12．[2020·山东夏津一中月考]过直线2x＋y－1＝0和直线x－2y＋2＝0的交点，且与直线3x＋y＋1＝0垂直的直线方程为________．
??2x＋y－1＝0，解析：由?
?x－2y＋2＝0?
得交点坐标为(0,1)．因为直线3x＋y＋1＝0的斜率为－3，
1
所求直线与直线3x＋y＋1＝0垂直，所以所求直线的斜率为，则所求直线的方程为y－1＝
31
x，即x－3y＋3＝0. 3
答案：x－3y＋3＝0
13．[2020·广东广州模拟]若直线l1：y＝k(x－4)与直线l2关于点(2,1)对称，则直线
l2过定点________．
解析：由题意知直线l1过定点(4,0)，则由条件可知，直线l2所过定点关于点(2,1)对称的点为(4,0)，故可知直线l2所过定点为(0,2)．
答案：(0,2)
14．设直线l经过点A(－1,1)，则当点B(2，－1)与直线l的距离最远时，直线l的方程为____________．
解析：设点B(2，－1)到直线l的距离为d， 当d＝|AB|时取得最大值， 此时直线l垂直于直线AB，kl＝－
3＝， kAB21
3
∴直线l的方程为y－1＝(x＋1)，即3x－2y＋5＝0.
2答案：3x－2y＋5＝0
[能力挑战]
15．已知直线l：x－2y＋8＝0和两点A(2,0)，B(－2，－4)． (1)在直线l上求一点P，使|PA|＋|PB|最小； (2)在直线l上求一点P，使||PB|－|PA||最大． 解析：(1)设A关于直线l的对称点为A′(m，n)，
4
n－0??m－2＝－2，则?m＋2n＋0
－2·＋8＝0，??22
解得?
??m＝－2，??n＝8，
故A′(－2,8)．
P为直线l上的一点，则|PA|＋|PB|＝|PA′|＋|PB|≥|A′B|，当且仅当B，P，A′三
点共线时，|PA|＋|PB|取得最小值，为|A′B|，则点P就是直线A′B与直线l的交点，解
??x＝－2，
?
?x－2y＋8＝0，?
??x＝－2，
得?
?y＝3，?
故所求的点P的坐标为(－2,3)．
(2)A，B两点在直线l的同侧，P是直线l上的一点，则||PB|－|PA||≤|AB|，当且仅当A，B，P三点共线时，||PB|－|PA||取得最大值，为|AB|，则点P就是直线AB与直线l的交点，又直线AB??y＝x－2，的方程为y＝x－2，解?
?x－2y＋8＝0，?
??x＝12，
得?
?y＝10，?
故所求的点P的坐标为(12,10)．
5