第2章 粒子滤波技术及其收敛性分析证明
?kN|k?dxk??1N?i?dxk? ?i?1xkNii算法C，(4)中，之所以令xk?xk,i?1,,N，因为经过第(3)步的测试后，样本是重新获取
的。对于这种修正，无疑在一定程度上能够抑制算法的发散，使算法的鲁棒性得到保证。而且，这种改进与粒子权值的退化是相关联的，能够改善粒子权值的退化。
其实阈值?k的选择并不繁琐，若?k选的太大(比真实的条件期望大)，算法C的步骤2和步骤3之间的循环是无穷的。而当?k选择合适的情况下，并不会陷入无限的循环中。因此?k的选取只需测试几组数就行。
经过改正后的算法，样本{xk}i?1的联合密度变为
?1?1,?1?1,,?NiN?,?N?1??NI?i?1?(yk|si)??k?????(yk|si)??k??i?1?NN???1?1,,?N?1??NIds1:N
原来的联合密度是
ijN?p?x?s,i?1,2,,N??Ks|x?????ijik?1???1,iki?1j?1NN,?N
以上量测值都是已知的。
接下来再定义如下条件：
H0. 给定z1:s,s?1,,k，(?s|s?1,?)?0，对于?s，满足0??s?(?s|s?1,?),s?1,,k
H1. (?s|s?1,?)?0,?(zs|xs)??,K(xs|xs?1)??，在给定z1:s的前提下，s?1,2,,k，K,?都是有界的。
nH2. 函数?:???满足sup|?(xs)|4?(zs|xs)??，s?1,2,,k。
xxs 结论2：
显然，H1中(?s|s?1,?)?0是贝叶斯理论的基本要求，在这样的条件下最优滤波估计
E(?(xk)|z1:k)是存在的。
结论3：
若(?s|s?1,?)?0且|?(xs)|4?(zs|xs)??，则有
?(xs)??zs|xs???4??n这里的?:???满足H2。
xs|s,?4????4(?s|s?1,??)s|s?14,????
命题1：在H1和H2的前提下，若有??Lk(?)，则存在一常量Ck|k，使得
E??kN|k,?????k|k,???Ck|k19
4?N4k,42
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这里，?4k,41/4max{1,(?kN|k,?),s?0,,k}，?kN|k由粒子滤波算法B更新得到。
4NN由波莱尔-泰利引理，可得到以下推论。
推论1：在H1和H2的前提下，若有??Lk(?)，limN??(?k|k,?)?(?k|k,?)是几乎确定收敛的。 命题2：若联合概率密度zs，s?1,2,,k存在，对于(?s|s?1,?)?0，s?1,2,,k条件下得到的所有的量测量{zs}s?1，其期望值概率为0。
在命题1、命题2和推论1下，定理1很容易实现。
k2.3.5命题1的证明
在命题1证明之前，先看看以下的引理。
4 引理1：令{?i,i?1,2,,n}为一组独立的随机变量，且E?i?0,E?i??，则有
n?4?E??i??E?i???E?i2?
i?1i?1?i?1?p引理2：若E???，则对于任意的p?1有，E??E??2E?。
rrr1/r1/r1?r?rE???E??E?引理3：若12且，则。
21122n4n2ppp基于引理1、引理2、引理3，我们得到引理4。
4引理4：令{?i,i?1,2,,n}为一组独立的随机变量，且E?i?0,E?i??，则有
2max1?i?nE?i41nE??i? ni?1n24再定义?(x)?max{1,sup?(x)}，则??0,4???0,4。
引理5：令随机变量?的概率密度函数为p(x)，随机变量?的概率密度函数为
p(x)IA
?p(y)IAdy 这里IA为集合A的指示函数，如下
p?????A????1
2令?为满足E?(?)??的量测函数，那么E?(?)?1??，则
E?(?)2E?2(?)E?(?)?E?(?)?? 1?? 下面开始命题1的证明： (1)初始化：
令{xo}i?1为独立随机变量集，其分布为?0(dx0)，则根据引理4和引理2，显然有以下的式
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iN第2章 粒子滤波技术及其收敛性分析证明
子
E(?0N,?)?(?0,?)4N1ii?4E???(x0)?E[?(x0)]?Ni?142ii4E?(x)?E[?(x00)]2N324?2?0,4N?C0|0 (2.11)
?N40,42同样地，
E?0N,??4???()?0,?4?1Ni?E???x0?E???x0i?????Ni?1??4441Nii?E???x0??E??x0? Ni?1i?2E??x0?4??注意到对于所有的i来说，x0是同分布的，所以期望值不仅仅是依赖于i，而且
E?,?i?N04??3E?(x)i40?M0|0?0,4 (2.12)
4(2)预测：
基于(2.11)、 (2.12)，???L4t(?)，在k?1时刻，有
E(?kN?1|k?1,?)?(?k?1|k?1,?)?4Ck?1|k?1?N4k?1,424k?1,4 (2.13)
E(?kN?1|k?1,|?|4)?Mk?1|k?1?N (2.14)
44这里Ck?1|k?1?0,Mk?1|k?1?0。下面着重分析下E??k?1|k?1,?????k?1|k?1,??和E??kN?1|k?1,?令F为{xk?1?。
iNk?1i?1}产生的?代数，通过x的更新
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()??kN?1|k?1,???()??k?1|k?1,??1N??i????kN?1|k?1,????E[??xk|Fk?1]??Ni?1??1N?1N?ii???[E??xk|F]??kN?,1???k?1|k?1,K??Ni?1?Ni?1?
?1N?i????kN?,1?|k?1,K????k|k?1,????Ni?1???????1??2??3这里
?1?2?3N,?i其中，?k?1|k?1??j?1?j?xi1N?N?i???,??E?(x)|F???k?1|k?1?kk?1??Ni?1???1N?1N?N,?ii??(x)|F??,K???E???k?1?k?1|k?1?kNi?1?Ni?1?
?1N?N,????k?1|ki?1,K????k|k?1,????Ni?1?????Njt?1?dxt?1?。
N,?ii令xk为从分布(?k?1|k?1,K)中采样的样本，那么
N,?ii??E??(x)|F??kk?1k????1|k?1,K???
ii注意xk与xk是不同的概念。在算法C中，步骤(3)的实现还要基于以下的条件：
N事件 Ak???k?1|k?1,K????k
?? 因为由
1N???K(dxiji?1j?1NNkN,?ii|xkj?1)?(?kN?1|k?1,K)和E???(x)|F??kk?1k?1|k?1,K?易知 ?????1N?E????zs|xki?|Fk?1????kN?1|k?1,K?? ?Ni?1?所以
?1N?N?P????zs|xki???k|Fk?1??P???k?1|k?1,K????k? ?N?i?1?NE??k?1|k?1,?????k?1|k?1,???根据
4Ck?1|k?1?N24k?1,4，得到
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