圆锥曲线常见题型归纳

一、基础题

涉及圆锥曲线的基本概念、几a,b,c,e,p何性质，如求圆锥曲线的标准方程，求准线或渐近线方程，求顶点或焦点坐标，求与有关的值，求与焦半径或长（短）轴或实（虚）轴有关的角和三角形面积。此类题在考试中最常见，解此类题应注意：

（1）熟练掌握圆锥曲线的图形结构，充分利用图形来解题；注意离心率与曲线形状的关系； （2）如未指明焦点位置，应考虑焦点在x轴和y轴的两种（或四种）情况；

（3）注意a,2a,a2，b,2b,b2，c,2c,c2，2p,p,p2的区别及其几何背景、出现位置的不同，椭圆中

c2?a2?b2，双曲线中c2?a2?b2，离心率e?ca，准线方程x??a2c；

例题：

（1）已知定点F1(?3,0),F2(3,0)，在满足下列条件的平面上动点P的轨迹中是椭圆的是 （ ）

A．PF B．PF C．PF D．PF11?PF2?101?PF2?41?PF2?62?PF22 ?12（答：C）；

（2）方程(x?6)2?y2?(x?6)2?y2?8表示的曲线是_____ （答：双曲线的左支）

x2（3）已知点Q(22,0)及抛物线y?上一动点P（x,y）,则y+|PQ|的最小值是_____ （答：2）

41x2y2（4）已知方程??1表示椭圆，则k的取值范围为____ （答：(?3,?)3?k2?k21(?,2)）； 22xx2y25（5）双曲线的离心率等于，且与椭圆? ?1有公共焦点，则该双曲线的方程_______（答：?y2?1）；

4294（6）设中心在坐标原点O，焦点F1、F2在坐标轴上，离心率e?_______（答：x2?y2?6）

2的双曲线C过点P(4,?10)，则C的方程为

二、定义题

对圆锥曲线的两个定义的考查，与动点到定点的距离（焦半径）和动点到定直线（准线）的距离有关，有时要用到圆的几何性质。此类题常用平面几何的方法来解决，需要对圆锥曲线的（两个）定义有深入、细致、全面的理解和掌握。常用到的平面几何知识有：中垂线、角平分线的性质，勾股定理，圆的性质，解三角形（正弦余弦定理、三角形面积公式），当条件是用向量的形式给出时，应由向量的几何形式而用平面几何知识；涉及圆的解析几何题多用平面几何方法处理；

圆锥曲线的几何性质：

x2y2（1）椭圆（以2?2?1（a?b?0）为例）：

ab①范围：?a?x?a,?b?y?b； ②焦点：两个焦点(?c,0)；

③对称性：两条对称轴x?0,y?0，一个对称中心（0,0），四个顶点(?a,0),(0,?b)，其中长轴长为

a22a，短轴长为2b； ④准线：两条准线x??；

cc⑤离心率：e?，椭圆?0?e?1，e越小，椭圆越圆；e越大，椭圆越扁。

a25x2y210例：（1）若椭圆?，则m的值是__（答：3或）； ?1的离心率e?535m（2）以椭圆上一点和椭圆两焦点为顶点的三角形的面积最大值为1时，则椭圆长轴的最小值为__（答：

22）

x2y2（2）双曲线（以2?2?1（a?0,b?0）为例）：

ab①范围：x??a或x?a,y?R；②焦点：两个焦点(?c,0)；

③对称性：两条对称轴x?0,y?0，一个对称中心（0,0），两个顶点(?a,0)，其中实轴长为2a，虚轴长为2b，特别地，当实轴和虚轴的长相等时，称为等轴双曲线，其方程可设为x2?y2?k,k?0；a2b④准线：两条准线x??； ⑤两条渐近线：y??x。

cac⑥离心率：e?，双曲线?e?1，等轴双曲线?e?2，e越小，开口越小，e越大，开口越大；

a例：（3）双曲线的渐近线方程为y=±3x/4,则双曲线的离心率为______

122ax?by?1的离心率为5，则a:b= （答：4或4）； （4）双曲线

x2y2（5）设双曲线2?2?1（a>0,b>0）中，离心率e∈[2,2],则两条渐近线夹角θ的取值范围是

ab________（答：[,]）； 32（3）抛物线（以y2?2px(p?0)为例）：

p①范围：x?0,y?R；②焦点：一个焦点(,0)，其中p的几何意义是：焦点到准线的距离；

2③对称性：一条对称轴y?0，没有对称中心，只有一个顶点（0,0）；

cp④准线：一条准线x??； ⑤离心率：e?，抛物线?e?1。

a222x0y0x2y2 （4）点P(x0,y0)和椭圆2?2?1（a?b?0）的关系：（1）点P(x0,y0)在椭圆外?2?2?1；

abab2222x0y0x0y02）点P(x0,y0)在椭圆上?2?2＝1；（3）点P(x0,y0)在椭圆内?2?2?1

ababx2y21例：（6）??1设a?0,a?R，则抛物线y?4ax2的焦点坐标为________（答：(0,)）；

251616a??35）； 3（8）已知抛物线方程为y2?8x，若抛物线上一点到y轴的距离等于5，则它到抛物线的焦点的距离等于____；

（9）若该抛物线上的点M到焦点的距离是4，则点M的坐标为_____（答：7,(2,?4)）；

（7）已知椭圆上一点P到椭圆左焦点的距离为3，则点P到右准线的距离为____（答：

x2y2（10）点P在椭圆??1上，它到左焦点的距离是它到右焦点距离的两倍，则点P的横坐标为

259_______（答：

25）； 12三、直线与圆锥曲线的关系题

（1）写直线方程时，先考虑斜率k存在，把直线方程设为y?kx?b的形式，但随后应对斜率k不存在的情况作出相应说明，因为k不存在的情况很特殊，一般是验证前面的结论此时是否成立； （2）联立直线方程和圆锥曲线方程，消去x或消去y，得到方程ax2?bx?c?0 ①或ay2?by?c?0 ②，此方程是后一切计算的基础，应确保不出错。

（3）当方程①或②的二次项系数a?0时,方程是一次方程，只有唯一解，不能用判别式，这种情况是直线与双曲线的渐近线平行或直线与抛物线的对称轴平行； （过抛物线外一点作与抛物线只有一个公共点的直线有三条，

过双曲线含中心的区域内一点（不在渐近线上）作与双曲线只有一个公共点的直线有四条；） （4）当方程①或②的二次项系数a?0时，判别式△?0、△?0、△?0，与之相对应的是，直线与圆锥曲线分别相离、相切、相交。如直线与圆锥曲线有公共点，应用△?0来求斜率k的范围； 例题：

（1）过点(2,4)作直线与抛物线y2?8x只有一个公共点，这样的直线有______（答：2）；

x2y2（2）过点(0,2)与双曲线??1有且仅有一个公共点的直线的斜率的取值范围为______（答：

916??445????,??）；

3???3?x2y2?1恒有公共点，则m的取值范围是_______（答：[1，5）∪（5，（3）直线y―kx―1=0与椭圆?5m+∞））；

x2y2??1的右焦点直线交双曲线于A、（4）过双曲线B两点，若│AB︱＝4，则这样的直线有_____12条（答：3）；

（5）直线与圆锥曲线相交成弦（前提a?0，△?0），记为AB，其中A(x1,y1)，B(x2,y2)，AB的坐标可由方程①或②求得，一般是由方程①求出x1,x2，再代入直线方程求y1,y2，或由方程②求出

y1,y2，再代入直线方程求x1,x2。

（6）涉及弦长问题，可用韦达定理，由方程ax2?bx?c?0 ①求出x1?x2,x1x2，

? A(x1,y1)，B(x2,y2)在直线y?kx?b上，∴y1?kx1?b，y2?kx2?b，

y1?y2?k(x1?x2),∴AB?(x1?x2)2?(y1?y2)2?(1?k2)(x1?x2)2

?(1?k2)[(x1?x2)2?4x1x2]?(1?k2)?。

a 请注意，如果联立直线和圆锥曲线方程，消去x，得到ay2?by?c?0 ②，继而用韦达定理，求出

y1?y2,y1y2，?x1?x2?(1??1(y1?y2),∴AB?k(1?1?)2ak(x1?x2)2?(y1?y2)2?(1?1)(y1?y2)22k

1)[(y1?y2)2?4y1y2]?k2；

（6）若抛物线y2?2px(p?0)的焦点弦为AB，A(x1,y1),B(x2,y2)，则①|AB|?x1?x2?p；②

p2x1x2?,y1y2??p2

4（7）若OA、OB是过抛物线y2?2px(p?0)顶点O的两条互相垂直的弦，则直线AB恒经过定点(2p,0)

（7）涉及弦中点问题，可用韦达定理，由方程ax2?bx?c?0 ①求出x1?x2，设弦A(x1,y1)B(x2,y2)的中点为M(x0,y0)，则x0?x1?x2，?M点也在直线y?kx?b上，∴y0?kx0?b。 2如果问题仅仅与弦中点和弦的斜率k有关，而不涉及弦长，则可把弦AB的坐标(x1,y1)，(x2,y2)直接代入曲线方程，然后相减，因式分解，所得的式子中只有(x1?x2)、(x1?x2)、(y1?y2)、(y1?y2)，这些都与弦中点坐标和弦的斜率k有关。（点差法）

（8）弦AB满足有关的向量的条件，如OA?OB?0（O为原点），则x1x2?y1y2?0，? y1?kx1?b，

y2?kx2?b，∴x1x2?(kx1?b)(kx2?b)?(1?k2)x1x2?kb(x1?x2)?b2?0.

又如过椭圆x2?2y2?2的右焦点F1的直线l与该椭圆交于M,N两点，且F1M?F2M?2263，求直线l的方程。

特别提醒：因为??0是直线与圆锥曲线相交于两点的必要条件，故在求解有关弦长、对称问题时，务必别忘了检验??0！ 例：（1）抛物线y2?2x上的两点A、B到焦点的距离和是5，则线段AB的中点到y轴的距离为______（答：2）；

x2y2?1弦被点A（4，2）平分，那么这条弦所在的直线方程是 （答：（2）如果椭圆?369x?2y?8?0）；

x2y2（3）已知直线y=－x+1与椭圆2?2?1(a?b?0)相交于A、B两点，且线段AB的中点在直线L：

ab2x－2y=0上，则此椭圆的离心率为_______（答：）；

2

2222（1）双曲线x2?y2?1的渐近线方程为x2?y2?0；

abab2222b（2）以y??x为渐近线（即与双曲线x2?y2?1共渐近线）的双曲线方程为x2?y2??(?为参

aabab数，?≠0）。

x2y2如（4）与双曲线??1有共同的渐近线，且过点(?3,23)的双曲线方程为_______（答：

9164x2y2??1） 94y22?1的右焦点F2作倾斜角为30°的弦AB， （5）．经过双曲线x?3