2018年高考数学数列专题复习通项与前n项和通法

2018年高考数学数列专题复习通项与前n项和通法

一、问题描述

一般地，对数列自身来讲，主要有以下题型：第一、求数列的通项公式，主要方法有：（1）利用Sn与Sn?1的关系；（2）利用递推关系包括累加法，累乘法，构造法。第二、求数列的前n项和，主要方法有：（1）倒序相加法；（2）错位相减法；（3）裂项相消法；（4）分组求和法。第三、判断一个数列是等比或等差数列，完全依据等差、等比数列的定义进行证明。这是解决好数列问题的重中之重。 二、智慧笔记

1. 证明等差等比数列

① 等差数列的证明方法：

（1）定义法：an?1?an?d(常数) （2）等差中项法：an?1?an?1?2an(n?2) ② 等比数列的证明方法： （1）定义法：

an?1?q(常数) （2）等比中项法：an?1gan?1?an2(n?2) an2. 通项{an}的求法

① 累加法：数列有形如an?1?an?f(n)的递推公式，且{f(n)}的前n项和可求，可利用累加法求an(an?a1??(a?aii?2ni?1))。

② 累乘法：数列有形如an?1?f(n)?an的递推公式，且{f(n)}的前n项积可求，则利用累乘法求出通项an(an?a1?aa2a3??????n(n?2))。 a1a2an?1③ 已知通项公式an与前n项和Sn关系求通项：利用an和Sn的关系，若给出Sn或

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可以求出Sn，则可利用an???a1,n?1，求an。

?Sn?Sn?1,n?2④ 辅助数列法：（Ⅰ）递推公式为an?pan?1?q型【其中，p,q为常数，

pq(p?1)(q?1)?0】方法为：利用待定系数法将其变形为an???p(an?1??)，再设an???bn，则{bn}即为以b1?a1??为首项，p为公比的等比数列，求出{bn}的通项

公式，从而求出an；

（Ⅱ）递推公式为an?pan?1?qn?1型【其中p,q为常数pq(p?1)(q?1)?0】.方法为：先在原递推公式两边同除以qn，得

anpan?11???，引入辅助数列{bn}（其中qnqqn?1qbn?anp1b??b?），得，再应用类型（Ⅰ）的方法解决。 nn?1nqqqa?an（其中a,c为常数且ac?0）型的数列，取倒数

b?an?c（Ⅲ）递推关系为an?1?得

1ba?cb1c，当a?b时{}是等差数列；当a?b时1?ban?c?b?c ?n??anan?1aanaaanan?1aanaaan，令bn?1?11，bn?，可利用类型（Ⅰ）的方法解决。 an?1an3. 典型的求和方法

① 分组求和法：数列的通项公式为an?bn的形式，其中{an}和{bn}满足不同的求和公式，常见于{an}为等差数列，{bn}为等比数列或者{an}和{bn}分别是数列的奇数项和偶数想，并满足不同的规律。

② 倒序相加法：讲一个数列倒过来排列，当它与原数列相加时，若有规律可循，并且容易求和，则这样的数列求和时可用倒序相加法（等差数列前n项和公式的推导即

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用此方法）。

③ 错位相减法：求数列{an?bn}和{an}的前n项和，数列{an}，{bn}分别为等差bn与等比数列，求和时，在已知求和式的两边乘以等比数列公比q后，向后错一项，与原数列的和做差，即Sn?qSn，然后求Sn即可。

注意：（Ⅰ）等比数列公比为负数的情形； （Ⅱ）应用等比数列求和公式注意q?1，如果不能确定公比q是否为1，应讨论。 ④ 裂项相消：将数列恒等变形为连续两项或相隔若干项之差的形式，进行消项。常见的裂项相消变化有：

（Ⅰ）an?111??；

n(n?1)nn?11111?(?)；

n(n?k)knn?k（Ⅱ）an?（Ⅲ）an?1111?(?)；

（2n-1）(2n?1)22n?12n?11111?[?]；

n(n?1)(n?2)2n(n?1)(n?1)(n?2)1n?n?1（Ⅳ）an?（Ⅴ）an??n?1?n；

注意：（Ⅰ）使用裂项法，应注意正负项相消时削去了哪些项，保留了哪些项； （Ⅱ）由于数列{an}中每一项an均裂成了一正一负两项，所以互为相反数的项合并3 / 12

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为零后，所剩正数项与负数项的项数必定相同。

4. 几个重要考点

① 方程思想：Sn?n(n?1)dn(a1?an)=na1?等差数列中的“知三求二”问题，

22即：已知等差数列之a1,an,q,n,Sn五个量中任意的三个，列方程组可以求出其余的两个。

② 函数思想：等差数列{an}的前n项的和Sn?f(n)?d2dn?(a1?)n?An2?Bn，22（A、B是与n无关的常数），关于n的二次型函数，没有常数项.

③ Sn的最大（小）值：方法一：不等式组思想：Sn的最大值???an?0,求得n

a?0?n?1的值再求Sn.Sn的最小值???an?0，求得n的值再求Sn.方法二：利用项的单调性

?an?1?0求解.判断哪些项为负数，哪些项为非负数，从而求Sn的最值.方法三：(函数思想)利用Sn：由Sn?d2dn?(a1?)n，利用二次函数，数形结合，求得最大（小）值时n的值. 22Sn的最大值?Sn?f(n)?An2?Bn的最大值。

Sn的最小值?Sn?f(n)?An2?Bn的最小值。

方法四：利用差比或者商比【判定Sn?f(n)的单调性】

f(n?1)?f(n)的差与零的关系或者f(n?1)从而判定Sn?f?n?的单调性. 的商与1的关系，f(n)END

三、智囊例题

【例1】 【2014高考湖北文第18题理第18题】已知等差数列{an}满足：a1?2，且a1、

a2、a5成等比数列.

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