频率时，可用规则采样法代替自然采样法。此时，在一个开关周期内，PWM开关函数波形如图2.10b所示，显然波形是对称的。
0wt0(l?d1)?wt(l?d1)?sk 图2.10 PWM及开关函数波形 a自然采样法b规则采样法
图2.10中，?s?2?fs，其中fs为PWM开关频率；dk为对应相的PWM占空比，且dk?1。 如图2.10b所示，开关函数sk及占空比dk?k?a,b,c?间的关系为
0?2?wt0?2?wt?0??st??1?dk?? sk?0 ? ?k?a,b,c? （2.17）
??1?dk????st?2? sk?1 ?1?dk????st??1?dk?? ?k?a,b,c? （2.18） 由图2.10及以上关系式表明：PWM占空比dk实际上是一个开关周期上开关函数sk的平均值，故
1?1?dk??skd??st??dk （2.19） a0?2???1?dk??an?0?? ? （2.20） n2????b??1sinnd?nk?n?? sk?dk????1?n?1?n2sin?ndk??cos?n?st? （2.21） n?显然
k?a,b,c?sk???n2????d??1nd??????cos?n?st? （2.22） kkn?k?a,b,cn?1?k?a,b,c??将式（2.21）、（2.22）代入（2.12）得
A?Al?Ah （2.23）
式中 Al?A阵中的低频分量 Ah?A阵中的高频分量 并且
1???R00?(d?d)?ak?3dk?a,b,c????0?R0?(d?1dk)??b Al??3dk?a,b,c? （2.24）
??1?00?R?(dc??dk)?3dk?a,b,c?????1/RL?dadbdc??0?0Ah???0??A4a Ak4??000A4b000A4cAa4?Ab4?? （2.25） Ac4??0???1n2???????????1sinnd??sinnd?cosn?t???kks? （2.26）
n?3k?a,b,ck?a,b,c?????n2A4k??????1?sin?ndk???cosn?st?? ?k?a,b,c? （2.27）
n??n?1?
与A?Al?Ah相对应，状态变量X可以分解为高频分Xh和低频分量Xl，即
X?Xl?Xh （2.28）
把式（2.28）代入式(2.11)得到基于占空比描述的三项VSR一般数学模型为
Z?Xl?Xh???Al?Ah??Xl?Xh??BE （2.29） 其中低频数学模型为
ZX?ALXl?AhXh （2.30）
l高频数学模型为
ZXh?AhXl?AlXh?AhXh （2.31）
显然，若忽略式(2.29)模型中的高频分量，就可获得采用占空比描述的三相VSR低频数学模型。显然，这一低频模型将有助于简化三相VSR控制系统的分析及设计。
2.4基于两相αβ（静止）坐标系的数学模型
三相abc系统向两相系统变换时，存在23，23两种变换方式，即分别为“等量”变换和“等功率”变换。而坐标变换又是通用矢量分解等效的结果。三相物理量可以用一个空间旋转矢量在三个静止对称轴（a，b，c）上的投影来表示，这个旋转矢量也就是通用矢量。而“等量”坐标变换，是指某一坐标系中的通用矢量与变换后的另一坐标系中的通用矢量相等的坐标变换。“等功率”变换是指坐标变换前后功率相等的坐标变换。在实际应用中，可根据具体要求任意选用以上两种坐标变换，一般情况下，常选用“等量”坐标变换，而在需要矩阵逆变换时，选用“等功率”坐标变换。本文选用“等量”的坐标变换。那么从三相静止坐标系到两相静止坐标系的变换为：
1?1??x??2?2?x???3???3?0?2?1??x??xa?a??x? （2.32） 2?x??C??b?2s3s?b?3???x???xc??2???c??
从两相静止坐标到三相静止坐标的变换阵为：
???10??xa???x??3??x???x??2??1??C?x?? （2.33） 3s2s??b?3?2x2?????????x?c??1?3????2??2使用变换矩阵，把式（2.33）变到??坐标系下的数学模型如下：
?dv03?Cdt?2?i?s??i?s???iL?di??L?Ri??e??v0s? （2.34） ?dt??Ldi??Ri?e?vs??0??dt?式中s?,s?为??坐标系下单极性二值逻辑开关函数。
2.5基于两相d q（同步）旋转坐标系的数学模型
?q??I?Id??VdEd?LI?V??Iq???Vq??
图2.11 电压定向的稳态矢量图解
假设dq坐标的d轴在初始时刻和电网电压矢量重合，则静止坐标系与旋转坐标系之间的变换如图2.11，具体转换的表达式如下：
?xd??cos?tsin?t??x???x???x?????x??C2s2r?x??sin?tcos?t??????? （2.35） ?q???x???cos?t?x???????sin?t?xd??sin?t??xd??x??C2r2s?x? （2.36）
cos?t???q??q?其中?t＝?。
使用变换矩阵，把式（2.36）变到dq坐标系下的数学模型如下：
dv03?C??idsd?iqsq??iL?dt2??did?ed?v0sd?Rid?L?iq （2.37） ?L?dt?Ldiq??vs?Ri?L?i0qqd?dt?其中v0sd＝vd，v0sq＝vq。