XXXX数学与计算科学学院2011届毕业论文
证明：（1）极限为有限数l的情况.
?1记x0?y0?0，考察托普里兹数表tnk?(xk?xk?1)xn，n?1,2,???，k?1,2,???,n 用nyn?yn?1这数表对数列un?，n?1,2,???，作变换得，Vn??tnkuk
xn?xn?1k?1??(xk?xk?1)x(xn?xn?1)(yn?yn?1)?x?1n?1k?1n?1n?(yk?yk?1)?limk?1nyn?l，因limun?l，
x??x??xn由引理3.1.2得，limVn?l，即limx??x??yn?l. xn （2）极限为??的情况.
因已知limn??yn?yn?1x?x???，所以limnn?1?0，利用（1）中的结论，只要证明ynn??y?yxn?xn?1nn?1xny?0，limn???（问题得证）.因xn严格递增，
x??xynn严格递增且limyn???，则有limn??x??要证yn严格递增只要
yn?yn?1y?yn?1?1.事实上limn???，对M?1，?N?0，当
n??xn?xn?1xn?xn?1n?N时，有
yn?yn?1?1，yn?yn?1?xn?xn?1?0，即n?N时，yn严格递增，在上式
xn?xn?1中令n?N?1,N?2,???,k，然后相加，可得yk?yn?xk?xn，令k??，知yk???. （3）极限为??的情况.
只要令yn??zn，即可转化为（2）中的情况. 同理可证定理3.1.2.
3.2“施笃兹定理在求3.2.1 求“
?0”型和“”型数列极限上的应用
0??”型的数列不定式的极限 ??施笃兹定理是求解“”型的数列不定式极限的有效工具，从这点意义上讲，施笃兹
?定理与洛必达法则具有同等效应.
1k?2k?????nk例3.2.1 求极限lim.
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解：设xn?1k?2k?????nk，yn?nk?1，显然数列{yn}，{xn}满足定理3.1.1的的条
xnxn?xn?1nk件，由定理3.1.1可得：lim. ?lim?limk?1k?1n???yn???y?yn???n?(n?1)nnn?1应用二项展开式：(n?1)k?1?nk?1?(k?1)nk?k(k?1)k?1n???? 2!xnnk?lim则有lim
n???yn???k(k?1)n(k?1)nk?nk?1????2!1
n???k(k?1)11(k?1)??o()2!nn1 ?
k?1 ?lim 3.2.2 求“
0”型的数列不定式的极限 0例3.2.2 设数列{xn}，{yn}满足xn?aba1a2bb??????k ，yn?1?2?????k，nn2nknn2nk其中ai,bi?R?，i?1,2,???,k，求极限limxn
n???yn解：由已知条件可知，limxn?limyn?0由定理3.1.2可得：
n???n???n???limxnx?x?limnn?1ynn???yn?yn?1akkaan?lim?limk?k n???bn???bbkkkkn
3.3 施笃兹定理在求待定型数列极限上的应用
应注意到在施笃兹定理的条件中，并没有要求limxn???，因此，可用施笃兹定理来
n???求待定型的数列不定式的极限.
例3.3.1 设
?an?1?n收敛，数列{pn}为单调递增的正项数列，且limpn???，证明：
n???n???limp1a1?p2a2?????pnan?0.
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证明：令An?a1?a2?????an，n?1,2,???，且设limAn?A，则有
n???a1?A1，an?An?An?1，n?2,3,???，
于是有p1a1?p2a2?????pnan?p1A1?p2(A2?A1)?????pn(An?An?1)
?A1(p1?p2)?A2(p2?p3)?????An?1(pn?1?pn)?pnAn 再令Bn?A1(p1?p2)?A2(p2?p3)?????An?1(pn?1?pn)，则有
p1a1?p2a2?????pnanBn??An
pnpn又因为limAn?A，所以由定理3.1.1得limn???BnB?BnA(p?pn?1) ?limn?1?limnnn???pn???pn????pp?pnn?1nn?1nAn(pn?pn?1)?lim(?An)??A， n???pn?1?pn ?limn???所以limn???p1a1?p2a2?????pnan??A?A?0.
pn例3.3.2 给定序列{an}，使得序列bn?pan?qan?1(n?1,2,???)是收敛的.如果p?q， 试证序列{an}收敛.
证明：因为p?q，所以p?q?0，q?0.若设序列?n?b?bb?an，?n??n， p?qqn?1,2,???，在记???p/q，则
?n???n??n?1.
因 lim?n?lim?n???n???bn?b?0， q
?n?1??n???n??n??(?n?1???n?1) ??n???n?1??2?n?1
2 ??????n???n?1???n?2??n?1?1??n?1
?n??n??n?1??(n?1)??????1??1??1 ?， ?n?第11页 共18页
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于是 ?n?1??n??n??n?1??(n?1)??????1??1??1??n
由施笃兹定理有
n????(n?1)?nlim?n??n??n?1??(n?1)??????1??1??1??n?1????(n?1)?n
?limn??????lim?n?1?0
n???1??所以lim?n?1?0，lim?n?0，从而
n???n???n???liman?bb ?liman?n???p?qp?qn???我们不仅证明了{an}的极限存在，而且计算了liman.
3.4 施笃兹定理在研究数列渐近性方面的应用
结论3.4.1 设a?0，p?1，取x0为正数使得0?ax0p?1?1，令xn?1?xn?axnp，则
?p?1xn?(p?1)a，换个写法就是 有limn??n limnxnn??p?1?1 （4）
a(p?1)证明：首先，易知limxn?0.再由施笃兹定理和洛必达法则，有
n???p?1?p?1?p?1xnxn?xn lim ?lim?1n??n??n(n?1)?n ?limxn???p?1n[(1?axp?1?p?1n)(1?axnp?1)?p?1?1 ?1]?limn??xnp?1令x?xnp?1，当n??时，x?0，于是
?p?1xn(1?ax)?p?1?1lim?lim?(p?1)a， n??n?0nx从而（4）式成立.证毕.
注：若把条件0?ax0p?1?1换为limxn?0，结论仍然成立.
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