XXXX数学与计算科学学院2011届毕业论文

从洛必达法则谈起

作者：XXX 指导老师：XXX

摘 要 洛必达法则是求解未定式极限的一种重要且简便的方法.从洛必达法则谈起,然后分别引出施笃兹定理和托普里兹定理，本文主要分三部分来探讨这些内容:第一部分,给出了两种类型的洛必达法则和证明，以及用洛必达法则解决各种类型的未定式极限问题；第二部分,给出了施笃兹定理的证明及其应用；第三部分，托普里兹定理的证明及其应用. 关键词 洛必达法则 施笃兹定理 托普里兹定理 柯西定理

1 引言

洛必达法则是由微分中值定理推出的一种求未定式极限的简便且重要的法则,它充分体现了微分学对求函数极限问题的作用.作为数列极限中的洛必达法则，施笃兹定理是解决数列不定式极限问题的重要定理，而施笃兹定理是托普里兹定理的特殊情形，能用施笃兹定理解决的问题都能用托普里兹定理来处理，当然托普里兹定理还可以解决一些不便用施笃兹定理解决的计算问题，前人对这些内容进行缜密的研究和广泛的应用,而该文鉴于前人研究的基础之上,对这些理论作了一个系统的小结,然后在此基础上进一步重点研究了施笃兹定理和托普里兹定理的应用。

2 洛必达法则及其解决极限的类型

2.1 “

0”型未定式 0为了证明洛必达法则，先给出下面的定理:

柯西中值定理：若函数f(x)，g(x) （1）在闭区间[a,b]上连续， （2）在开区间(a,b)内可微， 则在(a,b)内至少有一点?，使得

[f(b)?f(a)]g'(?)?[g(b)?g(a)]f'(?).

?[f(b)?f(a)]g(x)?[g(b)?g(a)]f(x). 证明：构造函数h(x）因为h(x)在[a,b]上连续，在(a,b)内可微，且h(a)?h(b).由罗尔定理， 在(a,b)内至少有一点?，使得h'(?)?0，即

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[f(b)?f(a)]g'(?)?[g(b)?g(a)]f'(?)?0，

故

[f(b)?f(a)]g'(?)?[g(b)?g(a)]f'(?)

注：（1）当g(x)?x时，即得拉格朗日中值定理，所以柯西中值定理是拉格朗日中值定理的推广.

（2）若在(a,b)内，g'(x)?0，由拉格朗日中值定理，

g(b)?g(a)?g'(?)(b?a)?0 (a???b)，

则柯西中值定理的结论可写成

f(b)?f(a)f'(?)? (a???b).

g(b)?g(a)g'(?)定理2.1（洛必达法则Ⅰ） 设函数f(x)和g(x)满足条件： （1）limf(x)?limg(x)?0；

x?ax?a（2）f(x)和g(x)在点a(a为常数或?)某个去心领域U(a)内可导，且g'(x)?0； （3）极限limx?af'(x)存在(或为?)， g'(x)则

limx?af(x)f'(x)?lim. g(x)x?ag'(x)证明：由于求

f(x)当x?a时的极限与f(a)及g(a)的值无关，所以可以定义g(x)f(a)?0，g(a)?0，则由条件（1）知，f(x)、g(x)在点a处连续，在a的领域内任取

一点x，并应用柯西中值定理，得

f(x)?f(a)f'(?)? (?在x与a之间)，

g(x)?g(a)g'(?)即

f(x)f'(?)? (?在x与a之间)， g(x)g'(?)第2页 共18页

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由于当x?a时，??a，在上式两边令x?a取极限，得

limx?af(x)f'(?)f'(x). ?lim?limg(x)??ag'(?)x?ag'(x)注：如果当x?a时，

0f'(x)仍然是型未定式，且f'(x)和g'(x)也满足定理2.1的

0g'(x)条件，则可反复使用洛必达法则，即

limx?af(x)f'(x)f\x). ?lim?limx?ax?ag(x)g'(x)g\x)依此类推，直至不再是例2.1.1 求lim0型未定式为止. 0tanax?asinx （a为常数且a?0）

x?0x(1?cosax)解：原式呈

0型未定式，由洛必达法则Ⅰ，有 0limtanax?asinxsinax?asinxcosx ?limx?0x(1?cosax)x?0xcosax(1?cosax)acosax?acosxcosax?a2sinaxsinx (洛必达法则)limx?0(cosax?cos2ax)?x(?asinax?2asinaxcosax)?a2sinax?asinxcosax?2a2cosxsinax?a3cosaxsinx ?lim

x?02(?asinax?2asinaxcosax)?(?a2cosax?2a2cos2ax?2a2sin2ax)此分式：分子、分母可约去a，再同时除去x，再令x?0取极限得原式

1?2a2?a2?1?2a2?a2?. ?3a2(?a?2a)?(?a?2a?0)x3?3x?2例2.1.2 求lim3.

x?1x?x2?x?1解：当x?1时，x?3x?2?0和x?x?x?1?0，是由洛必达法则Ⅰ，有

3320型未定式， 03x2?3x3?3x?2(x3?3x?2)'?lim2. lim32?lim32x?13x?2x?1x?1x?x?x?1x?1(x?x?x?1)'03x2?3当x?1时，2仍是型未定式，且满足洛必达法则的条件，故

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3x2?3(3x2?3)'6x3. lim2?lim?lim?x?13x?2x?1x?1(3x2?2x?1)'x?16x?22

2.2 “

?”型未定式 ? 定理2.2(洛必达法则Ⅱ) 设函数设函数f(x)和g(x)满足条件： （1）limf(x)?limg(x)??；

x?ax?a（2）f(x)和g(x)在点a某个去心领域U(a)内可导，且g'(x)?0； （3）极限limx?af'(x)存在(或为?)， g'(x)则

limx?a?f(x)f'(x)?lim. x?ag(x)g'(x)证明：我们仅以x?a为例进行证明，对于其余的极限过程，同理可证.

先证A为有限数的情形，由中值定理的条件（1），由于x?a时，f(x)??，g(x)??，可假定f(x)、g(x)在点a的右领域(a,a?h)内不等于零.由题设条件（3），

?f('x)/g(')x?(Axa?)?，???0，?x1，当x?(a,x1)?(a,a?h)时，总有

f'(x)??A? （1） g'(x)2根据柯西中值定理，对于(a,x1)内的任一点x，必??(a?x???x1)， 使得

f(x1)?f(x)f'(?)?

g(x1)?g(x)g'(?)由（1）式，有

f(x1)?f(x)??A? （2）

g(x1)?g(x)2又

f(x1)?f(x)g(x1)/g(x)?1f(x)f(x1)?f(x)????1. g(x)g(x1)?g(x)g(x1)?g(x)f(x1)/f(x)?1第4页 共18页