3、下列说法不正确的是（ B ）

(A) 凡外侧度为零的集合都可测（B）可测集的任何子集都可测 (C) 开集和闭集都是波雷耳集 （D）波雷耳集都可测 二. 填空题(3分×5=15分)

1、(CsA?CsB)?(A?(A?B))??2、设E是?0,1?上有理点全体，则

E=?0,1?,E=?,E=?0,1?.

'o3、设E是Rn中点集，如果对任一点集T都有m*T?m*(T?E)?m*(T?CE)，则称E是

L可测的

4、f(x)可测的充要条件是它可以表成一列简单函数的极限函数.

?n?5、设f(x)为?a,b?上的有限函数，如果对于?a,b?的一切分划，使??|f(xi)?f(xi?1)|?成

?i?1?一有界数集,则称f(x)为 ?a,b?上的有界变差函数。 1、设E?R1，若E是稠密集，则CE是无处稠密集。错误

2、若mE?0，则E一定是可数集.错误例如：设E是Cantor集，则mE?0，但E?c ，

故其为不可数集

3、若|f(x)|是可测函数，则f(x)必是可测函数。错误 二、2. 下列说法不正确的是(C )

E中无穷多个点，则PE的聚点 (A) P0的任一领域内都有0是

E中异于PE的聚点 (B) P0的任一领域内至少有一个0的点，则P0是

E的聚点 (C) 存在E中点列?Pn?，使Pn?P0，则P0是

(D) 内点必是聚点

3. 下列断言(B )是正确的。

（A）任意个开集的交是开集；(B) 任意个闭集的交是闭集； (C) 任意个闭集的并是闭集；(D) 以上都不对； 4. 下列断言中( C )是错误的。

（A）零测集是可测集； （B）可数个零测集的并是零测集；

（C）任意个零测集的并是零测集；（D）零测集的任意子集是可测集；

111、设An?[,2?],n?1,2,?，则limAn?_________。

nnn??2、设P为Cantor集，则 P? ，mP?_____，P=________。

????3、设?Si?是一列可测集，则m??Si?______?mSi

?i?1?i?14、鲁津定理：______________________________________________________

5、设F(x)为?a,b?上的有限函数，如果_________则称F(x)为?a,b?上的绝对连续函数。 答案：?0,2? 2，c ；0 ；? 3， ?

4，设f(x)是E上a.e.有限的可测函数，则对

任意??0，存在闭子集E??E，使得f(x)在E?上是连续函数，且m(E\\E?)??。

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o5，对任意??0,???0，使对?a,b?中互不相交的任意有限个开区间?ai,bi?,i?1,2,?,n,只要??bi?ai???，就有?|F(bi)?F(ai)|??

i?1i?1nn1、由于?0,1???0,1???0,1?，故不存在使?0,1?和?01，?之间1?1对应的映射。错误 2、可数个零测度集之和集仍为零测度集。正确 3、a.e.收敛的函数列必依测度收敛。错误 4、连续函数一定是有界变差函数。错误

2.(6分) 设??0,?开集G?E,使m*(G?E)??，则E是可测集。

?1*证明：对任何正整数n，由条件存在开集Gn?E,使m(Gn?E)? 令G??Gn，则G是

nn?11可测集，又因m*(G?E)?m*(Gn?E)?对一切正整数n成立，因而m*(G?E)?0，即

nM?G?E是一零测度集，所以也可测. 由E?G?(G?E)知，E可测。

4.（8分）设函数列fn(x) (n?1,2,?)在有界集E上“基本上”一致收敛于f(x)，证明：

fn(x)a.e.收敛于f(x)。

证明：因为fn(x)在E上“基本上”一致收敛于f(x)，所以对于任意的k?Z?，存在可

?1*E\\E)测集Ek?E，fn(x)在Ek上一致收敛于f(x)，且m( 令E??Ek，则fn(x)在k?kk?1?1E*上处处收敛到f(x)，m(E\\E*)?m(E\\?Ek)?m(E\\Ek)?，k=1,2?

kk?1所以m(E\\E*)?0…

1、设集合N?M，则M?(M?N)?N

2、设P为Cantor集，则 P?c，mP?0，P=?。

3、设E是Rn中点集，如果对任一点集T都有m*T?m*(T?E)?m*(T?CE)，则称E是

L可测的

4、叶果洛夫定理：设m(E)??,{fn}是E上一列a.e.收敛于一个a.e.有限的函数f 的可

o测函数，则对任意??0,存在子集E??E，使{fn}在E?上一致收敛且m(E\\E?)??。 5、设f(x)在E上可测，则f(x)在E上可积的充要条件是|f(x)|在E上可积. 1、任意多个开集之交集仍为开集。不成立反例：设Gn=(

?Gn为开集 但 ?Gn?[?1,1]不是开集.

n?1?1?11,?1? nn),n=1,2,?, 每个

2、若mE?0，则E一定是可数集。不成立；设E是Cantor集，则mE?0， 但E?c ，

故其为不可数集。

3、a.e.收敛的函数列必依测度收敛。不成立 4、连续函数一定是有界变差函数。不成立 1、（6分）试证(0,1)~[0,1]

证明：记(0,1)中有理数全体Q?{r1,r2,?},令

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??(0)?r1??(1)?r?2显然?是[01 ?(x)??,1)~[0,1]，]到（01，）上的11?映射所以(0?(r)?r,n?1,2?n?2?n?1]中无理数，??(x)?x,x为[0，2、设f(x)是(??,??)上的实值连续函数则对任意常数 c，E?{x|f(x)?c} 是一开集. 证明: ?x0?E,即f(x0)?c. 因f（x）连续，故???0,?x??(x0,?)时，有f(x）?c.

即?(x0)?E.所以x0是E的内点.由x0的任意性,E的每一个点都是内点,从而E为开集. 1、设f(x)是???,???上的实值连续函数，则对于任意常数a,E?{x|f(x)?a}是闭集。 证明：

?x?E?,则存在E中的互异点列{xn},使limxn?x;?xn?E,?f(xn)?a;

n???f(x)在x点连续，?f(x)?limf(xn)?a;?x?E;?E是闭集.

n??3、（6分）设f(x)是可测集E的非负可积函数，g(x)是E的可测函数，且|g(x)|?f(x)，则g(x)也是E上的可积函数。 证明：?|g(x)|?f(x)，

???g?(x)?f(x),g?(x)?f(x) ????g(x)?ndx?EnEn(?)dx??f??fxnEx(dx) ?f(x)是可测

集E的非负可积函数? limn??En????g(x)dx?f(x)dxg(x)是E上的可积函数. ????????nE同理，g?(x)也是E上的可积函数.?g(x)是E上的可积函数。

1．设P为Cantor集，则 （C）

（A）P? ?0 (B) mP?1 (C) P?P (D) P?P 5.设f(x)为[a,b]上的有界变差函数,则下面不成立的是( D ) (A)f(x)在[a,b]上L可积 (B)f(x)在[a,b]上R可积 (C)f'(x)在[a,b]上L可积 (D)f(x)在[a,b]上绝对连续

2、设E?R,若E??E,则E是闭集若E?E，则E是开集；若E?E'则E是完备集.

0'??n?5、设f(x)为?a,b?上的有限函数，如果对于?a,b?的一切划分，使??|f(xi)?f(xi?1)|?成

?i?1?一有界数集，则称f(x)为?a,b?上的有界变差函数。 1、A为可数集，B为至多可数集，则A?B是可数集；成立

2、若mE?0，则mE?0；不成立；E为[0,1]中的全体有理点集，则有mE?0，而mE?1 3、若|f(x)|是可测函数，则f(x)必是可测函数；不成立. 设E是?a,b?上的不可测集，

??x,x?E;则|f(x)|是f(x)?????x,x??a,b??E;?a,b?上的可测函数，但f(x)不是?a,b?上的?

4．设f(x)在可测集E上可积分，若?x?E,f(x)?0，则?f(x)?0;不成立. 见下页

E

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