本节“情景再现”解答 A1．证明 如图，连GA，因为M、N分别为AB、CA的中点，所以△AMG的面积=△GBM的面积，△GAN的面积=△GNC

NM的面积, G 即四边形GMAN和△GBC的面积相等． CB2．证明 如图，O为ΔABC的外心，H为垂心，连CO交ΔABCA外接圆于D，连DA、DB，则DA⊥AC，BD⊥BC，又AH⊥BC，BH⊥AC．所以DA∥BH，BD∥AH，从而四边形DAHB为平

HKN行四边形。又显然DB=2OM，所以AH=2OM． D 同理可证 BH=2ON，CH=2OK．证毕．

O

BC M3．提示：设O1，O2，O3是△APS，△BQP，△CSQ的外心，

作出六边形O1PO2QO3S后再由外心性质可知∠PO1S=2∠A，∠QO2P=2∠B，∠SO3Q=2∠C.

∴∠PO1S+∠QO2P+∠SO3Q=360°.从而又知∠O1PO2+∠O2QO3+∠O3SO1=360° 将△O2QO3绕着O3点旋转到△KSO3，易判断△KSO1≌△O2PO1， 1

同时可得△O1O2O3≌△O1KO3.∴∠O2O1O3=∠KO1O3=∠O2O1K

2111

= (∠O2O1S+∠SO1K)= (∠O2O1S+∠PO1O2)= ∠PO1S=∠A； 222

同理有∠O1O2O3=∠B.故△O1O2O3∽△ABC.

4．提示：将△ABC简记为△，由三中线AD，BE，CF围成的三角形简记为△'.G为重心，

连DE到H，使EH=DE，连HC，HF，则△'就是△HCF. (1)a2，b2，c2成等差数列?△∽△'.若△ABC为正三角形，易证△∽△'.不妨设a≥b≥c，有

CF=

1112a2?2b2?c2，BE=2c2?2a2?b2，AD=2b2?2c2?a2. 222333a，BE=b，AD=c. 222 将a2+c2=2b2，分别代入以上三式，得CF=

∴CF:BE:AD =

333a:b:c=a:b:c. 故有△∽△′. 222S?'CF2

＝(). S?a (2)△∽△′?a2，b2，c2成等差数列.当△中a≥b≥c时， △′中CF≥BE≥AD.∵△∽△′，∴

S?'33 据“三角形的三条中线围成的新三角形面积等于原三角形面积的”，有=.

S?44CF23 ∴2=?3a2=4CF2=2a2+b2-c2?a2+c2=2b2.

4a

5.证明 连接AC，CE，EA，由已知可证AD，CF，EB是△ACE的三条内角平分线，I为△ACE的内心.从而有ID=CD=DE，IF=EF=FA，IB=AB=BC.

再由△BDF，易证BP，DQ，FS是它的三条高，I是它的垂心，利用

A..Erdos不等式有：

BI+DI+FI≥2·(IP+IQ+IS). 不难证明IE=2IP，IA=2IQ，IC=2IS.

BQ ∴BI+DI+FI≥IA+IE+IC. ∴AB+BC+CD+DE+EF+FA=2(BI+DI+FI)

IP ≥(IA+IE+IC)+(BI+DI+FI)=AD+BE+CF. S I就是一点两心.

C6．提示：设AM为高亦为中线，取AC中点 DAF，E必在DF上且DE:EF=2:1.设

CD交AM于G，G必为△ABC重心.

EFD连GE，MF，MF交DC于K.易证： GFE111DC:(?)DC=2:1. 323 ∴DG:GK=DE:EF?GE∥MF.

DG:GK=

OBKC ∵OD丄AB，MF∥AB，

∴OD丄MF?OD丄GE.但OG丄DE?G又是△ODE之垂心. 易证OE丄CD.

7．提示：辅助线如图所示，作∠DAO平分线交BC于K. 易证△AID≌△AIB≌△EIB，

A∠AID=∠AIB=∠EIB.

I 利用内心张角公式，有 1

∠AIB=90°+∠C=105°，

2

BD30°CFOEK11

∴∠DIE=360°-105°×3=45°. ∵∠AKB=30°+∠DAO=30°+ (∠BAC-∠

22

11

BAO)=30°+ (∠BAC-60°)=∠BAC=∠BAI=∠BEI.

22

∴AK∥IE. 由等腰△AOD可知DO丄AK，∴DO丄IE，即DF是△DIE的一条高.

同理EO是△DIE之垂心，OI丄DE.由∠DIE=∠IDO，易知OI=DE.

习题17解答

1． B；2．A；3．A；4．C；5．选B，只有（3）是对的；

6．略；7．略；8.略；9.略；10.略；11.略；12. H的轨迹是一条线段.

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