2018年数学中考压轴题

1·由于受甲型H1N1流感(起初叫猪流感)的影响.4月初某地猪肉价格大幅度下调.下调后每斤猪肉价格是

原价格的.原来用60元买到的猪肉下调后可多买2斤．

(1)求4月初猪肉价格下调后每斤多少元？

(2)4月中旬.经专家研究证实.猪流感不是由猪传染.很快更名为甲型H1N1流感．因此.猪肉价格4月底开始回升.经过两个月后.猪肉价格上调为每斤14.4元．求5、6月份猪肉价格的月平均增长率

解析 (1)【思路分析】设4月初猪肉价格下调后每斤x元.由“下调后每斤猪肉价格是原价格的”可得原价格为每斤x元．根据“原来用60元买到的猪肉下调后可以多买2斤”列方程解答．

解：设4月初猪肉价格下调后每斤x元.则原价格为每斤x元．(1分) 根据题意得：－＝2.(3分) 解得：x＝10.

经检验.x＝10是原方程的解．(4分)

答：4月初猪肉价格下调后每斤10元．(5分)

(2)【思路分析】由(1)题可知.猪肉的原价格是10元.设月平均增长率为y.则第一个月上调后的价格

2

为10(1＋y).第二个月上调后的价格为10(1＋y).根据题意可列方程．

解：设5、6月份猪肉价格的月平均增长率为y.

2

根据题意得.10(1＋y)＝14.4.(6分)

解得：y1＝0.2＝20%.y2＝－2.2(不合题意舍去).

答：5、6月份猪肉价格的月平均增长率为20%.(8分)

2

2·如图①.抛物线y＝ax＋bx＋4(a≠0)的图象过A(－1.0).B(4.0)两点.与y轴交于点C.作直线BC.动点P从点C出发.以每秒个单位长度的速度沿CB向点B运动.运动时间为t秒.当点P与点B重合时停止运动．

(1)求抛物线的解析式；

(2)如图②.当t＝1时.求△ACP的面积；

(3)如图③.过点P向x轴作垂线分别交x轴、抛物线于E、F两点． ①求PF的长度关于t的函数解析式.并求出PF的长度的最大值；

②连接CF.将△PCF沿CF折叠得到△P′CF.当t为何值时.四边形PFP′C是菱形？

解析

(1)【思路分析】将A、B两点的坐标代入抛物线解析式中.即可得到关于a、b的二元一次方程组.解方程组即可．

2

解：∵抛物线y＝ax＋bx＋4(a≠0)的图象过A(－1.0).B(4.0)两点. ∴.解得：.

2

∴抛物线的解析式为：y＝－x＋3x＋4或y＝－(x＋1)(x－4)．(3分)

(2)【思路分析】要求△ACP的面积.可用△ACB的面积减去△APB的面积．本题关键是如何求解△APB的面积．过点P作PQ⊥AB于点Q.则PQ是△APB的高．在△APB中根据PB的长度及∠PBA的度数.利用三角函数求出PQ.该题即可得到解决．

. .

第2题解图①

解：当t＝1时.CP＝.

∵抛物线y＝－(x＋1)(x－4)的图象与y轴交于点C. ∴C(0.4)． ∴CO＝4.(4分)

∵∠COB＝90°.CO＝OB＝4. ∴∠CBO＝45°.

∴CB＝＝＝4.BP＝CB－CP＝3.(5分) 过点P作PQ⊥AB于点Q.如解图①. PQ＝PB·sin∠CBA＝3×＝3.(6分) S△ACP＝S△ACB－S△ABP ＝AB·OC－AB·PQ ＝×5×4－×5×3 ＝.(8分)

(3)【思路分析】①求出直线BC的解析式.根据∠CBA的度数以及CP的长度与t的关系式.可得到OE的长度与t的关系式.设出点P、F的坐标.由点F的纵坐标减去点P的纵坐标即可得出PF的长度关于t的函数表达式.结合二次函数的性质即可求出最值；②由翻转特性可知PC＝P′C.PF＝P′F.若四边形PFP′C是菱形.则有PC＝PF.由此得出关于t的一元二次方程.解方程确定t值．

解：①设直线BC的解析式为y＝kx＋m(k≠0). ∵直线BC过B(4.0).C(0.4)两点. ∴.解得：.

∴直线BC解析式为y＝－x＋4.(9分) ∵CP＝t.∠CBA＝45°. ∴OE＝t.

∵点P在直线BC上.点F在抛物线上.

2

∴设P(t.－t＋4).F(t.－t＋3t＋4).(0≤t≤4)

22

PF＝－t＋3t＋4－(－t＋4)＝－t＋4t.(0≤t≤4) 当t＝－＝2时.PF最大＝4.(10分)

第2题解图②

②∵△PCF沿CF折叠得到△P′CF.如解图②. ∴PC＝P′C.PF＝P′F.

当四边形PFP′C是菱形时.只需PC＝PF.

2

∴t＝－t＋4t.解得：t1＝0(舍去).t2＝4－. ∴当t＝4－ 时.四边形PFP′C是菱形．(12分)

3·商场为了促销某件商品.设置了如图的一个转盘.它被分成了3个相同的扇形.各扇形分别标有数字2、3、4.指针的位置固定.该商品的价格由顾客自由转动此转盘两次来获取.每次转动后让其自由停止.记下指针所指的数字(指针指向两个扇形的交线时.当作右边的扇形).先记的数字作为价格的十位数字.后记的数字作为价格的个位数字．

(1)请用列表或树状图的方法(只选其中一种).表示出两次所得数字可能出现的所有结果； (2)求出顾客购买商品的价格不超过30元的概率．

. .

第3题图

解析

解：(1)列表如下：

第一次结果第二次 2 3 4 (4分)

或画树状图如解图：

2 22 23 24 3 32 33 34 4 42 43 44 第3题解图

(4分)

∴共有9种等可能的结果．

(2)如(1)的列表法或树状图法所示.在一共9种等可能的事件中.其中两次指针指向的两个数字组成的价格不超过30元的有3种情况．

∴顾客购买商品的价格不超过30元的概率为：P＝＝.(7分)

4·如图.在平面直角坐标系中.O为顶点.平行四边形ABCD的边BC在x轴上.D点在y轴上.C点坐标

2

为(2.0).BC＝6.∠BCD＝60°.点E是AB边上一点.AE＝3EB.⊙P过D、O、C三点.抛物线y＝ax＋bx＋c过点D、B、C三点．

(1)求抛物线的解析式； (2)求证：ED是⊙P的切线；

2

(3)若将△ADE绕点D逆时针旋转90°.E点的对应点E′会落在抛物线y＝ax＋bx＋c上吗？请说明理由；

(4)若点M为此抛物线的顶点.平面上是否存在点N.使得以点B、D、M、N为顶点的四边形为平行四边形？若存在.请直接写出点N的坐标.若不存在.请说明理由．

第4题图

解析

(1)【思路分析】根据题意先确定D、B、C三点的坐标.然后用待定系数法可得抛物线的解析式．

2

解：由题意得D、B、C三点的坐标分别是(0.2)、(－4.0)、(2.0).分别代入y＝ax＋bx＋c中得. .解得 .

2

所以抛物线的解析式为y＝－x－x＋2.(2分)

(2)【思路分析】延长DE交x轴于点F.构造△BFE∽△ADE.利用相似三角形的性质求得BF的长；在Rt△DOF中.利用锐角三角函数得到∠FDO的度数.进而求出∠CDE＝90°.

解：延长DE交x轴于点F.如解图①所示. ∵AD∥BC.

∴△ADE∽△BFE.

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第4题解图①

∴＝.即＝. ∴BF＝2.

∵B(－4.0).∴OB＝4. ∴OF＝6.(3分) ∵D(0.2). ∴OD＝2.

在Rt△DOF中.∵tan∠FDO＝＝＝. ∴∠FDO＝60°.(4分)

∵∠BCD＝60°.∴∠CDO＝30°. ∴∠CDE＝90°.∴CD⊥DE. ∴ED是⊙P的切线．(5分)

(3)【思路分析】根据旋转的性质求得E′点的坐标.代入抛物线的解析式验证即可．

2

解：点E′不会落在抛物线y＝－x－x＋2上．理由如下：

第4题解图②

将△ADE绕点D逆时针旋转90°.E点的对应点是E′.A点的对应点是A′.如解图②所示. 则DA′＝DA＝6.

∵AD∥BC.∠EDO＝60°.

∴∠ADE＝30°.A′E′＝AE＝ AD＝3.

∵∠A＝∠BCD＝60°. ∴∠DEA＝90°.(6分)

过点E′作E′G ⊥y轴于点G.则∠A′E′G＝30°. ∴A′G＝.∴OG＝6－－2＝－2. 在Rt△A′E′G中.E′G＝＝＝. ∴E′(.－＋2).(7分)

2

当x＝时.y＝－×()－×＋2. ＝－≠－＋2.

2

所以点E′不会落在抛物线y＝－x－x＋2上．(8分)

(4)【思路分析】先求得M点的坐标.然后分别以MB、DM、BD为平行四边形的对角线.通过平移的性质确定N点的坐标．

解：存在点N.使得以点B、D、M、N为顶点的四边形为平行四边形.理由如下：

22

∵y＝－x－x＋2＝－(x＋1)＋. ∴M(－1.).且B(－4.0).D(0.2). 如解图③所示：

第4题解图③

①当BM为平行四边形BDNM的对角线时.点D向左平移4个单位.再向下平移2个单位得到点B.则点M(－1.)向左平移4个单位.再向下平移2个单位得到点N1(－5.); (9分)

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