从单位根过程的定义可以看出，含一个单位根的过程?yt?，其一阶差分：

?yt?yt?yt?1?ut

是一平稳过程，像这种经过一次差分后变为平稳的序列称为一阶单整序列(Integrated Process)，记为?yt?~I(1)。有时一个序列经一次差分后可能还是非平稳的，如果序列经过二阶差分后才变成平稳过程，则称序列为二阶单整序列，记为

?yt?~I(2)。一般地，如果序列?yt?经过d次差分后平稳，而d-1次差分却不平稳，

那么称?yt?为d阶单整序列，记为?yt?~I（d），d称为整形阶数。特别地，若序列?Yt?本身是平稳的，则称序列为零阶单整序列，记为?yt?~I（0）。

二、Dickey-Fuller检验（DF检验）

我们知道大多数的经济变量，如GDP、总消费、价格水平以及货币供给虽M2等都会呈现出强烈的趋势特征。这些具有趋势特征的经济变量，当发生经济振荡或冲击后，一般会出现两种情形，一是受到振荡或冲击后，经济变量逐渐又回到它们的长期趋势轨迹；二是这些经济变量没有回到原有轨迹，而呈现出随机游走的状态。若我们研究的经济变量遵从一个非平稳过程(比如随机游走过程)，当运用最小二乘法时，前面所介绍的高斯——马尔科夫定理不再成立，一个变量对其他变量的回归可能会导致伪回归结果。同时，如果我们所研究的经济变量(如GDP)是非平稳的，则经济出现突发性振荡(如石油价格猛增，金融危机或政府开支骤减等)所造成的影响不会在短期内消失，其影响将是持久性的。这也是研究单位根检验的重要意义所在。

在介绍检验方法之前，先讨论检验统计量的分布。（这部分内容理论性强，可跳过或选讲） 情形1：

数据生成过程（DGP）：

yt?yt?1?ut, y0 = 0, ut ? IID(0, ? 2) (7.8)

OLS估计过程： yt??yt?1?ut (7.9)

提出假设 H0:??1；H1:??1

以OLS估计式yt??yt?1?ut为例，若真值??0，则统计量

t(??)???se(??)t(T?1)， (7.10)

的极限分布为标准正态分布。 若真值|?|?1，则统计量

t(??)=

???? (7.11) se(??)渐近服从标准正态分布。

在H0成立的条件下??1，这时t(??)统计量不再服从通常的t分布，而是服从DF分布。此时t(??)称为DF统计量。可以证明当T ? ? 时，

DF?t(??)???1?s(??)1[(W(1))2?1] (7.12) ?212(W(i))di?0DF统计量是Op(1 )的，其渐近分布与? 无关。由于该极限分布无法用解析的方

法求解，一般都是用模拟和数值计算的方法研究DF统计量的有限样本分布。

120010008006004002000-3.75-2.50-1.250.001.252.503.75Series: DFSample 1 10000Observations 10000Mean Median Maximum Minimum Std. Dev. Skewness Kurtosis Jarque-BeraProbability-0.403611-0.482977 3.710184-4.059540 0.996819 0.250905 3.109055 109.8776 0.000000 图1 在情形1下： T=100，模拟1万次的DF统计量的分布 情形2：

数据生成过程（DGP）：yt = yt-1 + ut, y0 = 0, ut ? IID(0, ? 2) (7.13) OLS估计过程： yt????yt?1?ut (7.14) 其原假设为

H0:??0;??1;H1:??0;??1;

下面我们讨论t(??)、t(??)的极限分布和有限样本分布特征。统计量t(??)= DF、

t(??)的极限分布都是Wiener过程的泛函。可以证明，当T ? ? 时，

112[(W(1))?1]?W(1)?W(i)di??1?02 (7.15) ??11s(??)22?(W(i))di?[?W(i)di]00 DF?t(??)（推导可参见Hamilton《时间序列分析》。DF统计量是O(1 )的。）

t(??)不再服从t分布。t(??)的极限分布是Wiener过程的泛函。

11122W(1)(W(i))di?[(W(1))?1]W(i)di??002t(???)?s(?1?)?122?12(W(i))di?[W(i)di]??(W(i))di0?0?0?? (7..16)

???

t(?（推导见张晓峒，攸频：DF检验式中漂移项和趋势项的t ?)统计量是Op(1)的。

统计量研究，《数量经济技术经济研究》，2006第2期）

1400120010008006004002000-5.00-3.75-2.50-1.250.001.25Series: DFSample 1 10000Observations 10000Mean Median Maximum Minimum Std. Dev. Skewness Kurtosis Jarque-BeraProbability-1.531341-1.555245 1.934342-5.380393 0.867661 0.131914 3.329006 74.10418 0.000000 图2 在情形2下： T=100，模拟1万次的DF统计量的分布

8007006005004003002001000-5.0-2.50.02.5Series: DRIFTSample 1 10000Observations 10000Mean Median Maximum Minimum Std. Dev. Skewness Kurtosis Jarque-BeraProbability 0.000423-0.028121 4.278126-4.938927 1.713000-0.002115 1.846687 554.2285 0.000000 图3 在情形2下： T=100，模拟1万次的t(??)的分布

情形3：

数据生成过程（DGP）： yt = ? + yt-1 + ut, （?是否为零均可）

y0 = 0, ut ? IID(0, ? 2)

OLS估计过程： yt????t??yt?1?ut (7.17)

为防止? 不为零时从而使估计式引入时间趋势项，导致解释变量多重共线性，等价的OLS估计式是 yt??*??*y? tt?ut1*??*其中，?*?(1??)?,?*??,?*?????

H0:???0;??1;??0相当于：H0:?*?0;?*?1;?*??0 H1:???0;??1;??0

讨论DF=t(??)、t(??)、t(??)的极限分布和有限样本分布特征。可以证明，当T ? ? 时，

DF?t(??)?其中

111111?11?1F2??W(1)?W(i)di?W(1)?iW(i)di?(W(1)2?1)+?W(i)di?iW(i)di?[?W(i)di]2? 000020?224?6???1s(??)?12F2 (7.18)

A?A? =

?1??1?W(i)di?0??1/2???012W(i)?0di?1?0iW(i)diW(i)di1???1iW(i)di?0??1/3??1/2

推导见Hamilton《时间序列分析》。DF统计量是Op(1 )的，其渐近分布既不依赖于?，也不依赖于?。

t(??), t(??)服从的是如下极限分布。 t(??)?AF1131?0(W(i))2di?[W(i)di]2?01 (7.19)

t(??)?AF3?01(W(i))2di?[W(i)di]2?01 (7.20)

其中F1和F2都是Wiener过程的泛函。t(??), t(??)统计量是Op(1)的，其渐近分布