第七章 非平稳时间序列

时间序列数据被广泛地运用于计量经济研究。经典时间序列分析和回归分析有许多假定前提，如序列的平稳性、正态性等,，如果直接将经济变量的时间序列数据用于建模分析，实际上隐含了这些假定。在这些假定成立的条件下，进行的t检验、F检验与?2等检验才具有较高的可靠度。但是，越来越多的经验证据表明，经济分析中所涉及的大多数时间序列是非平稳的。那末，如果直接将非平稳时间序列当作平稳时间序列来进行分析，会造成什么不良后果？如何判断一个时间序列是否为平稳序列？当我们在计量经济分析中涉及到非平稳时间序列时，应作如何处理呢？这就是本章要讨论的基本内容。

第一节 伪回归问题

经典计量经济学建模过程中，通常假定经济时间序列是平稳的，而且主要以某种经济理论或对某种经济行为的认识来确立计量经济模型的理论关系形式，借此形式进行数据收集、参数估计以及模型检验，这是20世纪70年代以前计量经济学的主导方法。然而，这种方法所构建的计量经济模型在20世纪70年代出现石油危机后引起的经济动荡面前却失灵了。这里的失灵不是指这些模型没能预见石油危机的出现，而是指这些模型无法预计石油危机的振荡对许多基本经济变量的动态影响。因此引起了计量经济学界对经典计量经济学方法论的反思，并将研究的注意力转向宏观经济变量非平稳性对建模的影响。人们发现，由于经济分析中所涉及的经济变量数据基本上是时间序列数据，而大多数经济时间序列是非平稳的，如果直接将非平稳时间序列当作平稳时间序列进行回归分析，则可能会带来不良后果，如伪回归问题。

所谓“伪回归”，是指变量间本来不存在有意义的关系，但回归结果却得出存在有意义关系的错误结论。经济学家早就发现经济变量之间可能会存在伪回归现象，但在什么条件下会产生伪回归现象，长期以来无统一认识。直到20世纪70年代，Grange、Newbold研究发现，造成“伪回归”的根本原因在于时间序列变量的非平稳性。他们用Monte Carlo模拟方法研究表明，如果用传统回归分

析方法对彼此不相关联的非平稳变量进行回归，t检验值和F检验值往往会倾向于显著，从而得出“变量相依”的“伪回归结果”。

因此，在利用回归分析方法讨论经济变量有意义的经济关系之前，必须对经济变量时间序列的平稳性与非平稳性进行判断。如果经济变量时间序列是非平稳的，则需要寻找新的处理方法。20世纪80年代发展起来的协整理论就是处理非平稳经济变量关系的行之有效的方法。该理论自从诞生以来，受到众多经济学家的重视，并广泛运用于对实际经济问题的研究。

所谓时间序列的非平稳性，是指时间序列的统计规律随着时间的位移而发生变化，即生成变量时间序列数据的随机过程的特征随时间而变化。当生成序列的随机过程是非平稳的时候，其均值函数，方差函数不再是常数，自协方差函数也不仅仅是时间间隔t-s的函数，前面所介绍的高斯——马尔科夫定理不再成立，一个变量对其他变量的回归可能会导致伪回归结果，前面所介绍的计量经济技术也将遇到困难。

在经济领域中，我们所得到的许多时间序列观测值大都不是由平稳过程产生的。例如，国内生产总值GDP大多数情况下随时间的位移而持续增长；货币供给量M2在正常状态下会随时间的位移而扩大。也就是说，2009年GDP或M2观测值的随机性质与1999年的GDP和M2的随机性质有相当的区别。由于在实际中遇到的时间序列数据很可能是非平稳序列，而平稳性在计量经济建模中又具有重要地位，因此有必要对观测值的时间序列数据进行平稳性检验。

第二节 单位根过程与检验

从前面平稳过程的定义可以看出，一个平稳过程的数据图形特征为：数据围绕长期均值E(xt)=μ波动，偏离均值之后，有复归均值的调整；方差有限且不随时间改变；其自相关函数随时间衰减。与之相对应的概念是非平稳过程，定义为对平稳过程的条件之一不能满足的过程即为非平稳过程，其数据图形特征为：不存在长期均值；方差具有时变性且趋于无穷；从理论说，自相关不随时间衰减， 但对于有限样本，样本自相关亦可能较慢速的衰减。所以我们可以根据平稳过程的数字特征对它进行平稳性检验，这是时间序列平稳性的检验方法的传统方法。介绍传统方法的书籍较多，所以本书不作介绍，本书介绍平稳性检验的现代方法

之一：单位根检验法。 一、单位根过程

一般来讲，由于经济系统惯性的作用，经济时间序列往往存在着前后依存关

系，这种前后依存关系是时间序列预测的基础。假定{yt}为一时间序列，最简单的一种前后依存关系就是变量当前的取值主要与其前一时期的取值状况有关，而与其前一时期以前的取值状况无直接关系，也就是说yt主要与yt?1相关，与yt?2 ，

yt?3，??无关。可用如下的一阶自回归模型来描述这种关系：

yt??yt?1?ut (7.1)

常记作AR(1)。

如果yt不仅与前一期yt?1有关，而且与yt?2相关，显然，在这种情况下用AR(1) 来刻画yt的动态依存关系就不恰当了，而需要在模型中引入yt?2。一般的，如果

yt 与过去时期直到yt?p的取值相关，则{yt}的动态关系就需要使用包含yt?1 ，??，yt?p在内的p阶自回归模型来加以刻画。p阶自回归模型的一般形式为：

yt??1yt?1??2yt?2???pyt?p?ut (7.2)

为了说明单位根过程的概念，这里侧重以AR(1)模型yt??yt?1?ut进行分析。根据平稳时间序列分析的理论可知，当??1时，该序列{yt}是平稳的,此模型是经典的Box-Jenkins时间序列AR(1)模型。但是，如果??1，则序列的生成过程变为随机游走过程：

yt?yt?1?ut (7.3)

其中，{ut}独立同分布且均值为零、方差恒定为?2。随机游走过程的方差为：

Var(yt)?Var(yt?1?ut)?Var(yt?2?ut?1?ut)

?Var(u1?u2??ut?1?ut)?t?2

当t??时，序列的方差趋于无穷大，这说明随机游走过程是非平稳的，同时也

说明随机游走过程具有“记忆性”。下面我们来对比一下随机游走过程和平稳的一阶自回归过程统计特征

表1 随机游走过程和平稳的一阶自回归过程统计特征比较

对 象 指 标 方差 自相关系数 穿越零均值点 的期望时间 记忆性 随机游走过程 平稳一阶自回归过程yt?yt?1?ut t?2 (无限的) T???k?1?(k/T)????1 yt??yt?1?ut(|?|?1) ?2/(1??2) (有限的) ?k??k 有限的 暂时的 无限的 永久的 有时我们也称一个随机游动过程是一个单位根过程。过程yt?yt?1?ut之所以被称为单位根过程是因为如下事实。如果我们用滞后算子L来表示过程{yt}，则有

(1??L)yt?ut （7.4）

而（7.4）所对应的特征函数为

|1??L|?0 （7.5）

当方程（7.5）有一个根位于单位园上即L=1,有|?|?1时，从而可知yt由随机趋势所决定。这样，??1刻划了数据生成过程(DGP)（7.1）的特征根位于单位园上且数据由随机趋势所支配，因此，??1时称过程（7.1）为单位根过程

较随机游动更一般的，是一般的单位根过程。如果随机过程?yt?遵从：

yt??yt?1?ut (7.6)

其中，??1，{ut}为一平稳过程，且E(ut)?0,Cov(ut,ut?s)??s??,s?0,1,2,?。则称序列?yt?为（不带漂移的）单位根过程。带漂移和时间趋势的单位根过程服从如下模型：

yt????t?yt?1?ut (7.7)

显然，随机游动过程是一般单位根过程的一个特例。