第三章导数及其应用
3.1导数的概念及运算
专题1 导数的概念与几何意义
■(2019江西重点中学盟校高三第一次联考,导数的概念与几何意义,选择题,理3)函数y=x3的图象在原点处的切线方程为( )
A.y=x B.x=0 C.y=0 D.不存在
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解析:由f'(x)=3x,得f'(0)=0,所以f(x)在原点处的切线方程为y=0,故选C. 答案:C
3.2导数与函数的单调性、极值、最值
专题1 导数与函数的单调性
■(2019东北三省三校高三二模,导数与函数的单调性,选择题,理12)若函数y=sin 2x+acos x在(0,π)上是增函数,则实数a的取值范围是( ) A.(-∞,-1] B.[-1,+∞) C.(-∞,0) D.(0,+∞)
解析:依题意,当x∈(0,π)时,y'=2×cos2x-asinx≥0,即a≤-2sinx恒成立.令t=sinx,则当x∈(0,π)时,t∈(0,1],函数y=-2t在区间(0,1]上是减函数,所以函数y=-2t在区间(0,1]上的最小值是y|t=1=1-2×1=-1,于是有a≤-1,实数a的取值范围是(-∞,-1],故选A. 答案:A
专题2 导数与函数的极值
■(2019江西八所重点中学高三联考,导数与函数的极值,解答题,理21)已知f(x)=x2+ax+sinx,x∈(0,1). (1)若f(x)在定义域内单调递增,求a的取值范围;
(2)当a=-2时,记f(x)得极小值为f(x0),若f(x1)=f(x2),求证:x1+x2>2x0. 解:(1)f'(x)=2x+a+cosx,x∈(0,1).
依题意f'(x)≥0恒成立,2x+cosx≥-a, 令g(x)=2x+cosx,x∈(0,1),g'(x)=2-sinx,
∵g'(x)在x∈(0,1)单调递减,且g'(0)>0,g'(1)<0, ∴g'(x)在(0,1)上存在唯一零点x0.
∴g(x)在(0,ξ)上单调递增,在(ξ,1)上单调递减, 由得a≥-.
(2)当a=-2时,f(x)=x2-2x+sinx,x∈(0,1), f'(x)=2x-2+cosx.
令φ(x)=f'(x),x∈(0,1),
φ'(x)=2-sinx,显然φ'(x)在(0,1)单调递减, 又φ'(0)=2>0,φ'(1)=2-<0.
故存在唯一实数ξ,使得φ'(ξ)=0.
∴φ(x)在(0,ξ)上单调递增,在(ξ,1)上单调递减. 即f'(x)在(0,ξ)上单调递增,在(ξ,1)上单调递减.
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又f'(0)=-2+<0,f'(1)=0,∴f'(ξ)>0, 由f'(x0)=0,知0 ∴f(x)在(0,x0)上单调递减,在(x0,0)上单调递增. 不妨设x1 由f(x1)=f(x2),则0 =4x0-4+πcosx0cosx. 又F'(x)在x∈(0,1)上单调递减, ∴F'(x) 又f(x1)=f(x2)=f[x0-(x0-x2)] 又∵f(x)在(0,x0)上单调递减, ∴x1<2x0-x2,∴x1+x2>2x0. ■(2019东北三省三校高三第一次联考2,导数与函数的极值,解答题,理21)已知a是实常数,函数f(x)=xln x+ax. (1)若曲线y=f(x)在x=1处的切线过点A(0,-2),求实数a的值; (2)若f(x)有两个极值点x1,x2(x1 ②求证:f(x2)>f(x1)>-. 解:(1)由已知得f'(x)=lnx+1+2ax(x>0),切点坐标为(1,a), 切线方程为y-a=(2a+1)(x-1), 把(0,-2)代入解得a=1. (2)证明:①依题意得f'(x)=0有两个不等的实数根x1,x2(x1 (ⅰ)当a≥0时,g'(x)>0,g(x)是增函数,不符合题意; (ⅱ)当a<0时,由g'(x)=0,得x=->0,则g(x),g'(x)的变化情况为 x - g'(x) + 0 - g(x) ↗ 极大值 ↘ 依题意得g=ln>0, 解得- 综上所述,实数a的取值范围为- 由表可知f(x)在[x1,x2]上为增函数, 所以f(x2)>f(x1). 又f'(1)=g(1)=2a+1>0,故x1∈(0,1), 由(1)知ax1=, f(x1)=x1lnx1+a(x1lnx1-x1)(0 则h'(x)=lnx<0成立,所以h(x)单调递减, 故h(x)>h(1)=-,即f(x1)>-. 2 综上所述,f(x2)>f(x1)>-成立. 专题3 导数与函数的最值 ■(2019辽宁大连高三双基测试,导数与函数的最值,选择题,理12)已知f(x)=x+xln x,若k∈Z,且k(x-2) 解析:依题意,当x=4时,不等式k(x-2) ■(2019江西重点中学盟校高三第一次联考,导数与函数的最值,选择题,理12)已知函数f(x)=,g(x)=(k∈N*),若对任意的c>1,存在实数a,b满足0 解析:易知f(c)=g(b)>g(c),即恒成立,所以k<,c>1.令p(c)=,c>1,则p'(c)=. 令q(c)=c-2-lnc,c>1,因为q'(c)=1->0,所以q(c)单调递增,得q(c)>q(1)=-1,又q(3)=1-ln3<0,q(4)=2-ln4>0,所以存在c0∈(3,4),使得q(c0)=0,即c0-2=lnc0,当c∈(1,c0)时,q(c)<0,p(c)单调递减,当c∈(c0,+∞)时,q(c)>0,p(c)单调递增,p(c)min=p(c0)=,将c0-2=lnc0代入得p(c)min==c0,所以k ■(2019银川二中高三一模,导数与函数的最值,填空题,理15)已知函数f(x)=ln(2x+1)+3,若方程f(x)+f'(x)-3=a有解,则实数a的取值范围是 . 解析:依题意,f'(x)=,故a=ln(2x+1)+=g(x),故g'(x)=,故当x>时,g'(x)>0,当- [g(x)]min=g=1+ln2,且当x→+∞时,g(x)→+∞,所以a≥1+ln2,综上所述,实数a的取值范围是[1+ln2,+∞). 答案:[1+ln 2,+∞) ■(2019银川二中高三一模,导数与函数的最值,解答题,理21)设函数f(x)=ax-2-ln x(a∈R). (1)若f(x)在点(e,f(e))处的切线为x-ey+b=0,求a,b的值; (2)求f(x)的单调区间; (3)若g(x)=ax-ex,求证:在x>0时,f(x)>g(x). 解:(1)∵f(x)=ax-2-lnx(a∈R), ∴f'(x)=a-. 又f(x)在点(e,f(e))处的切线的斜率为, ∴f'(e)=,∴a=. ∴切点为(e,-1),将切点代入切线方程得b=-2e. (2)由(1)知f'(x)=a-(x>0). 当a≤0时,f'(x)<0在(0,+∞)上恒成立, ∴f(x)在(0,+∞)上是单调递减函数, 当a>0时,令f'(x)=0,得x=. 当x变化时,f'(x),f(x)随x的变化情况如下表: f'(x) - f(x) ↘ 0 + ↗ 由表可知f(x)在上单调递减,在上单调递增. 综上所述,当a≤0时,f(x)的单调减区间为(0,+∞); 当a>0时,f(x)的单调减区间为,单调增区间为. (3)证明:当x>0时,要证f(x)>g(x), 即证f(x)-ax+ex>0. 即证ex-lnx-2>0, 3 令h(x)=ex-lnx-2(x>0),只需证g(x)>0, ∵h'(x)=ex-, 由指数函数及幂函数的性质知h'(x)=ex-在(0,+∞)上是增函数. 又h'(1)=e-1>0,h'-3<0, ∴h'(1)·h'<0. h'(x)在内存在唯一的零点,也即h'(x)在(0,+∞)上有唯一零点, 设h'(x)的零点为t,则h'(t)=et-=0. 即et=. 由h'(x)的单调性知,当x∈(0,t)时,h'(x) ∴当x>0时,h(x)≥h(t)=et-lnt-2=-ln-2=+t-2≥2-2=0, 又∵ ■(2019辽宁东北育才高三第五次模拟,导数与函数的最值,解答题,理20)已知函数f(x)=ln(a+x)-ln(a-x)(a>0). (1)曲线y=f(x)在点(0,f(0))处的切线方程为y=2x,求a的值; (2)当x≥0时,不等式f(x)≥2x+恒成立,试求a的取值范围. 解:(1)已知f(x)=ln(a+x)-ln(a-x)(a>0), 则f'(x)=,f'(0)=, 由题意知f'(0)=2,∴=2,∴a=1. (2)令g(x)=f(x)-2x-(0≤x 则g'(x)='=f'(x)-2-2x2=-2-2x2=[x4-(a2-1)x2+a-a2]. ①当0 ∴函数g(x)在[0,a)上为增函数, ∴g(x)≥g(0)=0,即当0 ∴0 ∴当0 综上所述,当x≥0时,使f(x)≥2x+恒成立的a的取值范围为0 ■(2019辽宁东北育才高三第五次模拟,导数与函数的最值,选择题,理12)已知a,b∈R,且ex+1≥ax+b对x∈R恒成立,则ab的最大值是( ) A.e3 B.e3 C.e3 D.e3 解析:若a<0,由于一次函数y=ax+b单调递减,当x→-∞时,不满足ex+1≥ax+b,故a≥0;当a=0时,ab=0;当a>0时,ex+1≥ax+b?b≤ex+1-ax?ab≤aex+1-a2x,令f(x)=aex+1-a2x,故f'(x)=a(ex+1-a),令f'(x)=0,解得x=lna-1,当x ■(2019辽宁重点中学协作体高考模拟,导数与函数的最值,解答题,理21)已知二次函数f(x)=ax2+bx+1,其中a,b∈R,g(x)=ln(ex),且函数F(x)=f(x)-g(x)在x=1处取得极值. (1)求a,b所满足的关系; (2)试判断是否存在a∈(-2,0)∪(0,2),使得对?x∈[1,2],不等式(x+a)F(x)≥0恒成立?如果存在,请求出符合条件的a的所有值;如果不存在,请说明理由. 解:(1)F(x)=ax2+bx+1-ln(ex),F'(x)=2ax+b-. ∵F(x)在x=1处取得极值, ∴F'(1)=2a+b-1=0. F'(x)==0, x1=-,x2=1,且x1≠x2,∴a≠-. 4