（2）如果两个相同的上述水滴结合成一个较大的水滴，其电势值为多少（假定结合时电荷没有漏失）？

解：（1）设水滴所带电荷均匀分布在水滴表面。水滴内任一点场强为零，电势与水滴表面电势相等。对于水滴外任一点x?R，电场强度

E??Q4??0x?2

水滴的电势 V??Edx??RQ4??0x2Rdx

题9-补充图

???R1Qd(?)? 4??0x4??0RQ故 Q?4??0RV?66.7?10?12C?66.7pC

（2）两水滴合成一较大水滴，电量Q??2Q，半径R??32R?1.26R，水滴外任一点x（x?1.26R）的电场强度

E??2Q

4??0x22Qdx

1.26R4??x20?大水滴的电势 V???Edx??R2Q12Q ?(?)??476V

4??0x1.26R4?1.26??0R9-补充 两个同心的均匀带电球面，半径分别为R1?5.0cm，R2?20.0cm，已知内球面的电势为V1?60V，外球面的电势V2??30V。（1）求内、外球面上所带电量；（2）在两个球面之间何处的电势为零？

解：（1）设内球面带电量为Q1，外球面带电量为Q2，由电势叠加原理

V1?Q14??0R1Q14??0R2?Q24??0R2Q24??0R2?60V ①

?V2????30V ②

由①-② 得：

Q1?11??R2?R1?Q1?????90 ??4??0?R1R2?4??0R1R24??0R1R220.0?5.0?10?4Q1?90??90??6.67?10?10C 9?2R2?R19?10?20.0?5.0??10将Q1的数值代入①式可得：

Q2??13.3?10?10C

（2）在两球面之间，电势表达式为

Vr?Q14??0r?Q24??0R2

令Vr?0， 得r??Q1R2?10.0cm Q29-24 如图所示，已知长为l，均匀带电，电量为Q的细棒，求z轴上一点P(0,a)的电势VP及场强EP的z轴分量Ez（要求用E???V来求场强）。

解：在细棒某点x取线元dx，带电量dq??dx?线元在P点的电势

Qdx ldV?细棒在P点的电势

dq4??0r??dx4??0x?a22

VP??dV???04??0ldxx?a22

l?Ql?l2?a222 ?ln(x?x?a)?ln04??04??0la

题9-24图

由电场强度与电势梯度的关系 E???V??(?V?V?Vi?j?k) ?x?y?zEz???V ?zl?l2?z2z轴上任一点（0,z）的电势为 V? ln4??0lzQ故 Ez???VQ???ln(l?l2?z2?lnz) ?z4??0l?z??Q?z1????? ?22224??0l?z??(l?l?z)l?z???Qz2?ll2?z2?l2?z24??0lzl?l?z2?2?l2?z2?Q4??0zl?z22

在P(0,a)点，z?a

Ez?Q4??0al?a22

9-补充 两无限长带异号电荷的同轴圆柱面，单位长度上的电量为

3.0?10?8C?m?1，内半径为2?10?2m，外半径为4?10?2m，一电子在两圆柱面间沿半

径为3?10?2m的圆周路径匀速转动。问此电子的动能为多少？

解：设圆柱面单位长度的电量为?，两同轴圆柱间的场强

E?? 2??0r电子作匀速圆周运动的向心力由电场力提供

F?man?eE

v2e? m?r2??0rmv2?e? 2?0?1e??17mv2??4.3?210J 24??0

题9-补充图

所以电子的动能 Ek?学生问题解答：

解：建如图所示的三维坐标，在与z轴相距为y处取一细长线元，沿y轴方向单位长度带电荷为?dy，由长直带电直线场强公式，线元在x轴距原点O为a的点P的场强

dE?12??0?dyy?a22

题图

由于对称性，dE的y轴分量总和为零 所以 E??dEx??dEco?s

??d?2d?2?2??0ay2?a2dyy2?a2??y?d?darctan=arctan()?arctan(?) 2??0a?d2??02a2??02a2d2因为??0，所以E的方向沿x轴正方向。