题9-12图

9-补充 在半径分别为R1,R2的两个同心球面上，分别均匀带电为Q1和Q2，求空间的场强分布，并作出E?r关系曲线。

解：电荷在球面上对称分布，两球面电荷产生的电场也是球对称分布，场强方向沿径向向外。

（1）以球心O为圆心，r为半径（R1?r?0）作一同心球面，由高斯定理，球面包围电荷量为零，即

?sEI?dS?0

因而 EI?0

（2）以O为圆心，半径为r（R2?r?R1）作一同心球面，由高斯定理

?sEII?dS?Q1?0Q1

EII?4?r2?Q14??0r?0

EII?2E?r曲线如图9-补充所示。

（3）以O为圆心，半径为r（R2?r）作一同心的球面，由高斯定理

?sEIII?dS?Q1?Q2?0

EIII?4?r2?Q1?Q2?0

所以 EIII?Q1?Q2

4??0r29-13 设均匀带电球壳内、外半径分别为R1和R2，带电量为Q。分别利用高斯定理与用均匀带电球面的电场叠加求场强分布，并画出E?r图。

解：由于电荷分布具有球对称性，空间电场分布也具有球对称性。 （1）在r?R1的区域，电量为零。

由高斯定理?E?dS?0，因而各点场强为零。

s（2）在R1?r?R2区域，以r为半径作同心球面。 由高斯定理

?由 q??V?sE?dS?q?0

44(?r3??R13)

434333?R2??R133QQ(r3?R13) E?4?r?3?0(R2?R13)2r3?R13因此 E? 2334??0rR2?R1Q（3）在r?R2区域，以r为半径作同心球面， 由高斯定理

?sE?dS?q?0?QQ?0

E?4?r2?Q?02E?4??0r

E?r曲线如图9-13所示。

E?r曲线如图9-13所示。

9-14 无限长共轴圆柱面，半径分别为R1和R2(R2?R1)，均匀带电，单位长度上的电量分别为?1和?2。求距轴为r处的场强(1)r?R1；(2)R1?r?R2；(3)r?R2。

解：（1）在半径为R1的圆柱面内作半径为r(r?R1)，高为l的同轴圆柱面，作为高斯面。通过此高斯面的通量

?sE?dS??sE上底?dS??E下底?dS??E侧ssq??dS??0

?0各点E垂直于轴线，上下底面电通量为零

2?rlE侧?0

因而 E?0 (r?R1)

（2）在半径为R1、R2的两圆柱面间作半径为r(R2?r?R1)，高为l的同轴圆柱面作为高斯面，由高斯定理

?sE?dS??q?l?

1?0?0

?sE侧?dS?l?1?02?rlE??1l ?0可见 E??1 2??0r（3）同理在r?R2的区域 E??1??2 2??0r9-15 如图所示，点电荷q?10?9C，与它在同一直线上的A、B、C三点分别距

20cm、30cm，若选B为电势零点，求A、Cq为10cm、两点的电势VA、VC。

解：以点电荷q为原点，沿q,A,B,C的连线建x坐标，在x坐标轴上，各点场强方向都沿x轴正方向。

E?q4??0x2 题9-15图

题9-15图

对于A、B两点，电势差

VA?VB??BAE?dx??Edx??0.1??0.20.2q4??0x0.220.1dx

?q4??0?0.20.1dxq15q?(?)??45V x24??0x0.14??0由VB?0， 故 VA?45V 对于B、C两点，电势差为：

VB?VC??Edx??0.20.30.3q4??0x20.2dx?1(?)?15V 4??0x0.2q0.3由VB?0， 故 VC??15V

9-16 真空中一均匀带电细圆环，线电荷密度为?，求其圆心处电势。 解：在细圆环上取长为dl的线元，带电量为dq??dl 在圆心处产生的电势

dV?dq4??0R??dl 4??0R整个带电圆环在圆心O的电势

V??dV??2?R0?dl??

??2?R?4??0R4??0R2?0

题9-16