??r(1?) 方向垂直圆盘向里

222?0R?r故 EP?E??E???r2?0(R?r)2212 方向垂直平面向外

9-10 用细的不导电的塑料棒弯成半径为50cm的圆弧，棒两端点间的空隙为

2cm，棒上均匀分布着3.12?10?9C的正电荷，求圆心处场强的大小和方向。

解：有微小间隙的带正电圆弧棒，等效于一个相同半径的带正电圆环加个弧长等于间隙的带负电小圆弧棒。由场强叠加原理，圆心O场强

E0?E圆棒?EAB

对于均匀带正电的圆环，由于对称性在圆心O的电场强度为零，E圆环?0。 上一带负电小圆弧棒相对于圆心O可近似 看成一个点电荷，电量为：

题9-10图

q???EAB?q?4??0R2qdl8?2?0R3?qdl 2?R14??0R?2?qdl 2?R????0.714V?m?1

圆心处场强E0?EAB??0.714V?m?1，方向指向空隙。

9-11 题略

解：（1）点电荷在立方体的中心，由高斯定理知：通过立方体表面的电通量为

?则通过该立方体任一个面的电通量为

E?dS?q?0

q。 6?0（2）点电荷在立方体的一个顶点上，以该顶点为中心作一边长为2a的立方体，由高斯定理知：通过立方体表面的电通量为

?则通过该立方体任一个面的电通量为

E?dS?q?0

q。 24?09-补充 用场强叠加原理，求证无限大均匀带平面外任一点的场强大小为

E??（提示：把无限大平面分成一个个圆环或一条条细长线，然后进行积分）。 2?0解：（1）建如图(a)xyz坐标，以板上任一点O为圆心，取半径为r，宽度为dr的

环形面积元，带电量为：

dq??2?rdr。

由圆环电荷在其轴线上任一点P(OP?x)的场强公式

dE?方向沿x轴正方向。

2??xrdr4??0(x?r)2232P点总场强

E??dE???0?xrdr 3222?0(r?x)2???x?12?0(r2?x2)12?0? 2?0

题9-补充(a)图

（??0，E的方向沿x轴正方向）

（2）建如图(b)所示的三维坐标，在与z轴相距为y处取一细长线元，沿y轴方向单位长度带电荷为?dy，由长直带电直线场强公式，线元在x轴距原点O为a的点P的场强

dE?12??0?dyy?a22

题9-补充(b)图

由于对称性，dE的y轴分量总和为零 所以 E??dEx??dEco?s

???????2??0ay2?a2?y?arctan 222??ay?a0??dy? ????? 2??02?0因为??0，所以E的方向沿x轴正方向。

9-补充 如图所示，半径为R的带电细圆环，线电荷密度???0cos?，?0为常数，?为半径R与x轴夹角，求圆环中心O处的电场强度。

解：在带电圆环上任取一线元dl?Rd?，带电量为dq??dl??0cos?Rd?，线元与原点O的连线与x轴夹角为?，在O点的场强dE大小为

题6-12图

dE??0R?0dq?cos?d??cos?d? 224??R4??0R4??0R0dE沿x轴和y轴的分量

dEx??dEcos????0cos2?d? 4??0RdEy??dEsin????0cos?sin?d? 4??0R整个带电圆环在O点的场强E沿x轴和y轴的分量

Ex??dEx???2?0?0?0?1?cos2?d???(?sin2?)??0 4??0R4??0R244?0R02?2?Ey??dEy???0?0?0sin2?sin?dsin???()?0 4??0R4??0R202??故 E?Exi??0i

4?0RE的方向沿x轴负方向。

9-12 设匀强电场的场强为E，E与半径为R的半球面的轴线平行。试计算通过此半球面的电场强度通量。

解：方法一：通过半球面的电场强度通量与垂直通过大圆面S的电场强度通量相等。通过S面的电场强度通量：

?e?ES??R2E

故通过半球面的电场强度通量亦为?R2E。

方法二：在半球面上取宽为dl的环状面积元，dS?2?rdl?2?R2sin?d? 通过面元dS的电场强度通量

d?e?Ecos?dS?Ecos?2?R2sin?d?

通过整个半球面的电场强度通量

?e??d?e??2?0122?R2Esin?cos?d??2?RE?sin?22?20??R2E