三角函数的单调性、奇偶性、周期性、最值、对称性 下载本文

(2)求f(x)在

?π?0,?上的最大值和最小值. ??2?【测量目标】平面向量的数量积运算,三角函数的周期、最值. 【难易程度】容易 【试题解析】

311?1?sin2x?cos2xf(x)??cos,???3sinx,cos2x?3cosxsinx?cos2x?2222????πππ???cossin2x?sincos2x?sin?2x??.(步骤1)

666??2π?π,即函数f(x)的最小正周期为π.(步骤2)

?2πππ5π,??剟2x?.(步骤3) (2)?0剟x2666πππ由正弦函数图象的性质得,当2x??,即x?时,f(x)取得最大值1.(步骤4)

623ππ1当2x???,即x?0时,f(0)??.(步骤5)

662π5πππ1当2x??,即x?时,f()?,(步骤6)

662221?f(x)的最小值为?.

2π1因此,f(x)在(0,)上的最大值是1,最小值是?.(步骤7)

22(1)f(x)最小正周期为T?2π?10.(13浙江T4)已知函数f(x)?Acos(?x??)(A?0,??0,??R), 则“f(x)是奇函数”是??π的( ) 2A.充分不必要条件 B. 必要不充分条件 C. 充分必要条件 D.既不充分也不必要条件

【测量目标】三角函数的性质,三角函数的诱导公式和三角函数的奇偶性. 【难易程度】中等 【参考答案】B

ππ,则f(x)=Acos(ωx+)?f(x)=?Asin(ωx)(A>0,ω>0,x∈R)是奇22π函数;若f(x)是奇函数?f(0)=0,∴f(0)=Acos(ω×0+φ)=Acosφ=0.∴φ=kπ+,k∈Z,不一定

2ππ有φ=,“f(x)是奇函数”是“φ=”必要不充分条件.故选B.

22 【试题解析】若φ=

11.(12湖北T17)

已知向量a?(cos?x?sin?x,sin?x),b?(?cos?x?sin?x,23cos?x),设函数

f(x)?a?b??(x?R)的图象关于直线x?π对称,其中?,?为常数,且??(,1).

(Ⅰ)求函数f(x)的最小正周期; (Ⅱ)若y?f(x)的图象经过点?12?π??3π?,0?,求函数f(x)在区间?0,?上的取值范围. ?4??5?【测量目标】平面向量的数量积运算,三角函数的变换及化简. 【难易程度】容易 【试题解析】(I)因为

f(x)?sin2?x?cos2?x?cos?x????cos2?x?3sin2?x??.

?2sin(2?x?)??(步骤1).由直线x?π是y?f(x)图象的一条对称轴,

π6πππk1).可sin(2?π?)??1,所以2?π??kπ+(k?Z),即???(k?Z66223156π又??(,1),k?Z,所以k=1,故??,所以f?x?的最小正周期为.

256π4π4 (步骤2)

(II)由y?f(x)的图象过点(,0),得f()?0,(步骤3)

5πππ?)??2sin??2,即???2. 62645π 故f(x)?2sin(x?)?2,(步骤4)

363ππ5π5π,有?剟x?, 由0剟x5636615π5π 所以?剟sin(x?)1,得?1?2剟2sin(x?)?223636 即???2sin(? 故函数f(x)在?0,12.(12安徽T16) 设函数f(x)?2?2,

?3π?上的取值范围为??1?2,2?2?.(步骤5) ????5?2πcos(2x?)?sin2x. 24(I)求函数f(x)的最小正周期;

(II)设函数g(x)对任意x?R,有g(x?ππ)?g(x,)且当x?[0,]时, 22g(x)?1?f(x),求函数g(x)在[?π,0]上的解析式. 2【测量目标】两角和与差的三角函数公式,二倍角公式,三角函数的性质,求分段函数解析

式.

【难易程度】中等 【试题解析】f(x)?2π111cos(2x?)?sin2x?cos2x?sin2x?(1?cos2x) 24222?11?sin2x.(步骤1) 222π?π.(步骤2) 2π11(2)当x?[0,]时,g(x)??f(x)?sin2x,(步骤3)

222ππππ1π1当x?[?,0]时,(x?)?[0,] g(x)?g(x?)?sin2(x?)??sin2x,

2222222ππ11当x?[?π,?)时,(x?π)?[0,) g(x)?g(x?π)?sin2(x?π)?sin2x(.步骤4)

2222(1)函数f(x)的最小正周期T?π?1?sin2x(?剟x0),??22得:函数g(x)在[?π,0]上的解析式为g(x)??(步骤5)

1π?sin2x(?π?x??).??2213.(12北京T15) 已知函数f(x)?(sinx?cosx)sin2x.

sinx(1)求f(x)的定义域及最小正周期; (2)求f(x)的单调递增区间.

【测量目标】三角函数的定义域、周期、单调性. 【难易程度】容易 【试题解析】

(sinx?cosx)sin2x(sinx?cosx)2sinxcosx==2(sinx?cosx)cosxsinxsinxπ?sin2x?1?cos2x=2sin(2x?)?1,{x|x?kπ,k?Z}(步骤1)

4f(x)?(1) 原函数的定义域为{x|x?kπ,k?Z},最小正周期为π;(步骤2) (2) 由2kπ?ππ3π2kπ+,k?Z.解得kπ?剟xkπ?,k?Z,又

288π3π{x|x?kπ,k?Z},原函数的单调递增区间为[??kπ,kπ)k?Z,(kπ,?kπ]k?Z.

88π3π32ππ剟2x?24(步骤3)

14.(12天津T15)已知函数f(x)?sin(2x?)?sin(2x?)?2cosx?1,x?R. (Ⅰ)求函数f(x)的最小正周期;

(Ⅱ)求函数f(x)在区间???ππ?,?上的最大值和最小值. ?44?【测量目标】三角函数的周期性、最值. 【难易程度】中等

【试题解析】(Ⅰ)f(x)?sin(2x?)?sin(2x?)?2cosx?1

π3π32ππ?cos2x?2sin(2x?) (步骤1) 342π?π(步骤2) 函数f(x)的最小正周期为T?2ππππ3π2π(Ⅱ)?剟x??剟2x???剟sin(2x?)1??1剟f(x)24444424?2sin2xcos(步骤3) 当2x?ππππππ?(x?)时,f(x)max?2,当2x???(x??)时,

428444f(x)min??1(步骤4)

π?π?)在?,π?单调递减,则?的取值范4?2?15.(12新课标T9)已知? >0,函数f?x??sin(?x?围是( )

?13??15??1?A.?,? B.?,? C.?0,? D.?0,?2

?24??24??2?【测量目标】三角函数的单调性. 【难易程度】中等 【参考答案】A

【试题解析】由题意得,函数f?x??sin(?x?π5ππ剟?x剟x,(步骤1)所以444?15剟?.(步骤2) 24则故选A.

πππ)的单调递减区间为剟?x?4245πππ5π剠且π,解得,则

4?4?24?3π, 216.(11福建T9)对于函数f?x??asinx?bx?c(其中,a,b?R,c?Z),选取a,b,c的一组值计算f?1?和f??1?,所得出的正确结果一定不可能是 ( ) .....A.4和6 B.3和1 C.2和4 D.1和2 【测量目标】三角函数的奇偶性. 【难易程度】中等