【考点】KY：三角形综合题．

【分析】（1）根据等边三角形的性质得到CM=CD，EC=NC，∠DCM=∠ECN=60°，根据全等三角形的性质得到ME=DN，∠CME=∠CDN，根据三角形的内角和得到∠DHM=∠DCM=60°；

（2）设MF=FC=x，则CG=NG=4﹣x，得到DF=论；

（3）如图③，当点C由点M移到点N时，点H移动的路径即为

，根据邻补

x，EG=

（4﹣x），即可得到结

角的定义得到∠MHN=120°，根据圆周角定义得到∠MON=120°，解直角三角形得到OM=ON=

，于是得到结论．

【解答】（1）证明：∵△CMD与△CNE是等边三角形， ∴CM=CD，EC=NC，∠DCM=∠ECN=60°， ∴∠DCN=∠MCE=120°， 在△MCE与△DCN中，∴△MCE≌△DCN，

∴ME=DN，∠CME=∠CDN， ∵∠1=∠2，

∴180°﹣∠CME﹣∠1=180°﹣∠CDN﹣∠2， ∴∠DHM=∠DCM=60°； （2）解：DF+EG为定值，

理由：设MF=FC=x，则CG=NG=4﹣x， ∴DF=

x，EG=

x+

（4﹣x）， （4﹣x）=4

；

，

，

∴DF+GE=

（3）解：如图③，当点C由点M移到点N时，点H移到的路径即为

第21页（共27页）

∵∠MHD=60°， ∴∠MHN=120°， ∴∠MPN=60°， ∴∠MON=120°， ∵MN=8， ∴OM=ON=

，

=

，

∴点H移到的路径长度=故答案为：

．

26．如图，已知直线y=x﹣2与x轴交于点A，与y轴交于点C，经过A、C两点的抛物线与轴交于另一点B（1，0）． （1）求该抛物线的解析式．

（2）在直线y=x﹣2上方的抛物线上存在一动点D，连接AD、CD，设点D的

横坐标为m，△DCA的面积为S，求S与m的函数关系式，并求出S的最大值．

（3）在抛物线上是否存在一点M，使得以M为圆心，以为半径的圆与直线

第22页（共27页）

AC相切？若存在，请求出点M的坐标；若不存在，请说明理由．

（4）在y轴的正半轴上存在一点P，使∠APB的值最大，请直接写出当∠APB最大时点P的坐标．

【考点】HF：二次函数综合题．

【分析】（1）先求得C（0，﹣2）、A（4，0），设抛物线的解析式为y=a（x﹣4）（x﹣1），将点C的坐标代入可求得a的值；

（2）过点D作y轴的平行线交AC与E，则点D（m，﹣ m2+m﹣2），E（m， m﹣2）．则DE=﹣m2+2m，然后利用三角形的面积公式可得到S与m的函数关系式，然后利用二次函数的性质可得到△DCA的面积的最大值；

（3）先依据勾股定理可求得AC的长，然后可得到△ACM的面积=4，当点M在AC的上时，由（2）可知M（2，1）．当点M在AC的下方时，过点M作y轴的平行线交AC与E，则点M（m，﹣ m2+m﹣2），E（m， m﹣2）．则ME=m2﹣2m，然后可得到S与m的函数关系式，将s=4代入可求得m的值，从而得到点M的坐标；

（4）过点A作AE⊥PB，垂足为E．设点P的坐标为（0，a）．依据勾股定理得：AP=∠APB=

．然后再求得BP、AE的解析式，从而可求得点E的坐标，然后由sin，得到sin2∠APB

，故此当a=时，sin∠APB有最大值，从

而可求得a的值．

【解答】解：（1）把x=0代入y=x﹣2得：y=﹣2． ∴C（0，﹣2）．

第23页（共27页）

把y=0代入得： x﹣2=0，解得：x=4． ∴A（4，0）．

设抛物线的解析式为y=a（x﹣4）（x﹣1），将点C的坐标代入得：4a=﹣2，解得：a=﹣．

∴抛物线的解析式为y=﹣x2+x﹣2．

（2）过点D作y轴的平行线交AC与E，则点D（m，﹣ m2+m﹣2），E（m， m﹣2）．

∴DE=﹣m2+m﹣2﹣（m﹣2）=﹣m2+2m． ∴△DAC的面积S=×4×（﹣m2+2m）=﹣m2+4m． ∴当m=2时，S的最大值为4．

∴S与m的关系式为S=﹣m2+4m，△DCA的最大面积为4．

（3）∵⊙M与AC相切， ∴△AMC的AC边上的高为∵AC=2，OA=4， ∴AC=2

．

×

=4．

．

∴S△ACM=×2

当点M在AC的上时，由（2）可知：当m=2．

第24页（共27页）