自测题（1-7章附参考答案）-高等数学上册南京廖华答案网

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文章发布时间 : 2024/9/25 1:20:24星期三

第一章函数与极限

一、选择题：

8、设a0,b0?0,则当（）时有

x?11．函数y?1?x?arccos的定义域是（）

2(A)x?1； (B)?3?x?1； (C)(?3,1)； (D)xx?1?x?3?x?1.

a0xm?a1xm?1?........?ama0 lim? . x??bxn?bxn?1?.........?bb001n (A)m?n ； (B)m?n ；

(C)m?n ； (D)m,n任意取 . 9、设??????x?3,?4?x?02.函数?2的定义域是（）

?x?1,0?x?3(A)?4?x?0；(B)?3;(C)(?4,3); (D)x?4?x?0?x0?x?3. 3、函数y?xcosx?sinx是（） (A)偶函数； (B)奇函数；

(C)非奇非偶函数；(D)奇偶函数. 4、函数f(x)?1?cos?x?1,?1?x?0,则limf(x)?( )

x?0?x,0?x?1x（） x (A)-1 ； (B)1 ； (C)0 ； (D)不存在 . 10、limx?0????(A)1； (B)-1；(C)0； (D)不存在. 二、求下列函数的定义域：

1、y?sin(2x?1)?arctanx;

?29x?x2)2、?(x)?lg(?1 . 2三、设g(x?1)?2x?3x?1 （1）试确定a,b,c的值使

g(x?1)?a(x?1)?b(x?1)?c ；

22x的最小正周期是（）

1 . 2 (A)2?； (B)?； (C) 4 ； (D)

5、函数

x在定义域为（）

1?x2（2）求g(x?1)的表达式 .

四、求f(x)?(1?x)sgnx的反函数f五、求极限：

2?1(A)有上界无下界； (B)有下界无上界； (C)有界，且 12?f(x)?12(x).

；

x?2 . (D)有界，且 ?2?1?x26、与f(x)?1?x?22n2?n?1 1、lim ； 2、； limx?3n??(1?n)2x?33、lim(1?x) ； 4、limx(e?1) ；

x?0x??2x1xx2等价的函数是（）

(A) x； (B) (x)2； (C) (3x)3； (D) x . 7、当x?0时，下列函数哪一个是其它三个的高阶无穷小（）

（A）x；（B）1?cosx；（C）x?tanx；（D）ln(1?x).

25、当x?0时，limcosn??xxxcos........cosn ； 242x2sin6、limx???1x . 2x2?1第 1 页共 11 页

?sinax,x?1六、设有函数f(x)??试确定a?a(x?1)?1,x?1的值使f(x)在x?1连续 .

(D) arctanx?arccotx.

?eax,x?0? 5、如果f(x)??处处可导，那末（） 2??b(1?x),x?0 （A）a?b?1；（B）a??2,b??1；（C）a?1,b?0；（D）a?0,b?1. 6、已知函数f(x)具有任意阶导数，且 f?(x)??f(x)?,则当n为大于2的正整数时， f(x)的n阶导数f(n)(x)是（）（A）n![f(x)]n?121xarctanx?1的连续性，并判七、讨论函数f(x)??sinx2断其间断点的类型 . 八、证明奇次多项式：

P(x)?a0x2n?1?a1x2n???a2n?1(a0?0)至少存在一个实根 .

第二章导数与微分

一、选择题：

1、函数f(x)在点x0的导数f?(x0)定义为（）

；（B） n[f(x)]2nn?1；

（C） [f(x)]；（D）n![f(x)].

7、若函数x?x(t),y?y(t)对t可导且x?(t)?0,又

2nf(x0??x)?f(x0) （A）；

?x （B）limx?x0f(x0??x)?f(x0)；

?xf(x)?f(x0)；

?x x?x(t)的反函数存在且可导，则

dy=（） dx （A）

（C）limy?(t)y?(t)；（B）?； x(t)x?(t)y?(t)y(t)；（D）. ??x(t)x(t)x?x0 （D）limx?x0f(x)?f(x0)；

x?x0 （C）

8、若函数f(x)为可微函数，则dy（）（A）与?x无关；

（B）为?x的线性函数；

（C）当?x?0时为?x的高阶无穷小；（D）与?x为等价无穷小.

9、设函数y?f(x)在点x0处可导，当自变量x由x0增加到x0??x时，记?y为f(x)的增量，dy为f(x)的微分，lim 2、若函数y?f(x)在点x0处的导数f?(x0)?0，则曲线y?f(x)在点(x0,f(x0))处的法线（）（A）与x轴相平行；（B）与x轴垂直；（C）与y轴相垂直；（D）与x轴即不平行也不垂直： 3、若函数f(x)在点x0不连续，则f(x)在x0 ( ) （A）必不可导；（B）必定可导；（C）不一定可导；（D）必无定义. 4、如果f(x)=（），那么f?(x)?0. (A) arcsin2x?arccosx； (B) secx?tanx； (C) sinx?cos(1?x)；

2222?y?dy等于（）

?x?0?x （A）-1；（B）0；（C）1；（D）?.

10、设函数y?f(x)在点x0处可导，且f?(x0)?0，

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?y?dy 则 lim等于（）.

?x?0?x （A）0；（B）-1；（C）1；（D）? . 二、求下列函数的导数：

1、y?sinxlnx2； 2、y?acoshx （a?0）； 3、y?(1?x2)secx ； 4、y?ln[cos(10?3x2)]； 5、设y为x的函数是由方程ln确定的；

（C）它们都先肯定了?点一定存在，而且如果满足定理条件，就都可以用定理给出的公式计算ξ的值 .

（D）它们只肯定了ξ的存在，却没有说出ξ的值是什么，也没有给出求ξ的方法 .

2、若f(x)在(a,b)可导且f(a)?f(b),则（（A）至少存在一点??(a,b)，使f?(?)?0；（B）一定不存在点??(a,b)，使f?(?)?0；（C）恰存在一点??(a,b)，使f?(?)?0；（D）对任意的??(a,b)，不一定能使f?(?)?0 . 3．已知f(x)在[a,b]可导，且方程f(x)=0在(a,b)有

）

x2?y2?arctanyxdy 6、设x?y?y，u?(x?x)，求.

du2232t三、证明x?esint，y?ecost满足方程

t 两个不同的根?与?，那么在(a,b)（

）

d2ydy?2(x?y) . (x?y)2dxdx2

f?(x)?0.

?g(x)?cosx,x?0?四、已知f(x)??其中g(x)有二阶x??a,x?0连续导数，且g(0)?1，

1、确定a的值，使f(x)在X?0点连续；

（A）必有；

（B）可能有；（C）没有；（D）无法确定.

4、如果f(x)在[a,b]连续，在(a,b)可导，c为介于 a,b之间的任一点，那么在(a,b)（

）找到两点

2、求f?(x)

x2,x1，使f(x2)?f(x1)?(x2?x1)f?(c)成立.

(n)五、设y?xlnx,求f(1).

六、计算39.02的近似值 .

七、一人走过一桥之速率为4公里/小时，同时一船在此人底下以8公里/小时之速率划过，此桥比船高200米，问3分钟后人与船相离之速率为多少？

（A）必能；（B）可能；

（C）不能；（D）无法确定能 .

5、若f(x)在[a,b]上连续，在(a,b)内可导，且 x?(a,b)时，f?(x)?0，又f(a)?0,则（）. （A） f(x)在[a,b]上单调增加，且f(b)?0；（B） f(x)在[a,b]上单调增加，且f(b)?0；（C） f(x)在[a,b]上单调减少，且f(b)?0；（D） f(x)在[a,b]上单调增加，但f(b)的

第三章微分中值定理

一、选择题：

1、一元函数微分学的三个中值定理的结论都有一个共同点，即（）（A）它们都给出了ξ点的求法 . （B）它们都肯定了ξ点一定存在，且给出了求ξ的方法。

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正负号无法确定.

6、f?(x0)?0是可导函数f(x)在x0点处有极值的（）. （A）充分条件；（B）必要条件（C）充要条件；（D）既非必要又非充分条件.

7、若连续函数在闭区间上有唯一的极大值和极小值，则（）.

（A）极大值一定是最大值，且极小值一定是最小值；（B）极大值一定是最大值，或极小值一定是最小值；（C）极大值不一定是最大值，极小值也不一定是最小值；

（D）极大值必大于极小值 .

8、若在(a,b)内，函数f(x)的一阶导数f?(x)?0，二阶导数f??(x)?0,则函数f(x)在此区间内( ). （A）单调减少，曲线是凹的；（B）单调减少，曲线是凸的；（C）单调增加，曲线是凹的；（D）单调增加，曲线是凸的.

9、设limf(x)?limF(x)?0，且在点a的某

x?ax?a 体的高和底半径成何比例时，圆锥体的体积最大？四、若x?0,试证

x?ln(1?x)?x. 1?x五、设f(x)?ax3?bx2?cx?d有拐点（1，2），并在该点有水平切线，f(x)交x轴于点（3，0），求f(x). 六、确定a,b,c的值，使抛物线y?ax2?bx?c与正弦曲线在点(?2,1)相切，并有相同的曲率.

4(x?1)?2的图形. x2七、绘出函数f(x)?八、设f(x)在[0,1]上连续，在(0,1)内可导，且

f(0)?0,f(1)?1,试证：对任意给定的正数a,b在(0,1)内存在不同的?,?，使

ab??a?b ''f(?)f(?) 邻域中（点a可除外），f(x)及F(x)都存在，

第四章不定积分

一、选择题：

1、设F1(x),F2(x)是区间I内连续函数f(x)的两个不同的原函数，且f(x)?0,则在区间I内必有（）（A） F1(x)?F2(x)?C；（B） F1(x)?F2(x)?C；（C） F1(x)?CF2(x)；

f'(x)f(x) 且F(x)?0,则lim存在是lim'

x?aF(x)x?aF(x) 存在的（）.

（A）充分条件；（B）必要条件；（C）充分必要条件；（D）既非充分也非必要条件 . 10、limcoshx?1?（）.

x?01?cosx11；（C）1；（D）. 22 （A）0；（B）?二、求极限： 1、lim?x?a（D） F1(x)?F2(x)?C.

'2、若F(x)?f(x),则dF(x)=（）

x?a?x?ax?a1?22 （a?0）；

（A） f(x)；（B） F(x)；（C） f(x)?C；（D） F(x).

3、f(x)在某区间内具备了条件（）就可保证它的原

1?tanxx3 2、lim()；

x?01?sinx三、一个半径为R的球内有一个内接正圆锥体，问圆锥

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函数一定存在（A）有极限存在；（B）连续；（B）有界；（D）有有限个间断点 4、下列结论正确的是（）（A）初等函数必存在原函数；（B）每个不定积分都可以表示为初等函数；（C）初等函数的原函数必定是初等函数；（D） A,B,C都不对 .

5、函数f(x)?(x?x)2的一个原函数F(x)?(

)

（C）

1111lnx??C；（D）?lnx??C. xxxx ）

10、

dx?(4x?1)10?（

（A）

1111；（B）?C?C； 999(4x?1)36(4x?1)1111；（D）?C??C.

36(4x?1)1136(4x?1)9（C）?（A）

443x; （B）xx2;

33二、求下列不定积分： 1、

22222（C)x(x?x); （D）x(x?x) .

336、已知一个函数的导数为y??2x，且x?1时y?2,这个函数是（

2?11dxcosdx; 2、?x2?2x?5; x2x 3、

?ln(x?1?x2)?51?x2x2dx; 4、?dx; 22(1?x)x?12 ）

2 （A）y?x?C; （B）y?x?1;

5、

?1?dx1?x2; 6、

?xx?12dx;

x2?C; （D）y?x?1 （C）y?27、下列积分能用初等函数表出的是（）（A）e 7、

dx2xarccosxdx; ; 8、?x2x?e(1?e)??x2dx；（B）?dx1?x3；

arccosxx11dx 9、?8; 10、?(1?x2)3dx.

x?3x4?22??xln(1?x),x?0三、设f(x)??2，求?f(x)dx. ?x??(x?2x?3)e,x?0 （C）

1lnxdx；（D）?lnx?xdx.

四、设f(e)?asinx?bcosx,(a,b为不同时为零的

8、

'x?f(x)dx?F(x)?C,且x?at?b,则

）

常数)，求f(x).

五、设当x?0时，f(x)连续，求

'?f(t)dt?（

（A）F(x)?C；（B） F(x)?C;

（C）

1F(at?b)?C; （D）F(at?b)?C . a）

xf'(x)?(1?x)f(x)dx. ?2xxe 9、

lnx?x2dx?（

第五章定积分

一、选择题： 1、lim?第 5 页共 11 页

（A）

1111lnx??C; （B）lnx??C; xxxxnn??n????? ( ) 2222?n??n2?1n?2n?n?? （A）0；（B）12；（C）?4；（D）?2 .

2、

dxdx?0ln(t2?1)dt=（）（A）ln(x2?1)；（B）ln(t2?1)；（C）2xln(x2?1)；（D）2tln(t2?1) .

x3、lim?0sint2dtx?0x3 =( )

（A）0；（B）1；（C）13；（D）? .

4.、定积分

?10exdx的值是（）

1 （A）e；（B）12；（C）e2；（D）2 .

5、下列积分中，使用变换正确的是（）

（A）

??dx01?sin3x,令 x?arctgt；（B）

?30x31?x2dx，令 x?sint；

（C）?2xln(1?x2)?11?x2dx，令 1?x2?u； 1 （D）

?12?11?xdx，令x?t3 .

6、下列积分中，值为零的是（）

（A）?122?1xdx； (B）??1x3dx；

（C）

?1?1dx；（D）?1?1x2sinxdx .

7、已知f(0)?1,f(2)?3,f'(2)?5, 则

?20xf''(x)dx?（）

（A）12；（B）8；（C）7；（D）6.

? 8、设f(x)??1??1?x,x?0，则定积分?1

??1?ex,x?0?20f(x?1)dx?（）

（A）1?ln(1?1e)；（B）2?ln(1?e2)?ln3；

（C）1?ln(1?1e; （D）1?ln(1?1e). 9、广义积分

???dx2x2?x?2=（）

（A）ln4 ；（B）0；（C）

13ln4；（D）发散. 10、广义积分

?2dx0x2?4x?3?（）

（A）1?ln3；（B）

12ln23；（C）ln3；（D）发散. 1二、证明不等式: 12??2dx?01?xn?6.

三、求下列函数的导数： 1、F(x)??x3dtx2; 1?t4 2.、由方程

?x2sint0tdt，确定y为x的函数，

求dydx. 四、求下列定积分： 1、

?4dx1x(1?x)； 2、

?adx0x?a2?x2；

3、

?3arcsinxdx； 4、?5201?x?2x?2x?3dx；

5、

?1dx1、

1?2x???dx?1； 6??x2?4x?9；

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7、

?2dxx3x?2x?121； 8、

???1xx?11dx.

（A）144?；（B）

?h24(3r?h)；（C）72?；（D）24?

五、设f(x)在0,1上有连续导数，f(0)?0, 且0?f?(x)?1,试证： ?1??5、用一平面截半r的球，设截得的部分球体高为h(0?h?2r)体积为V，则V?（

）；

???0f(x)dx????f(x)?dx.

?0?3 21（A）

?h232(2r?h)；（B）

?h23(3r?h)；

六、设f(x)在[0，1]上有二阶连续导数，证明：

（C）?h(2r?h)；（D）

?h24(3r?h).

11'' ?x(1?x)f(x)dx. 20 6、曲线y?x2?2x?4上点M0(0,4)处的切线 M0

2 与曲线y?2(x?1)所围图形的面积S?（）；

第六章定积分的应用

一、选择题：

1、曲线y?lnx与直线x?成的区域的面积S?（

（A）

491321; （B）；（C）；（D）.

9412421，x?e及y?0所围e7、抛物线y?2px,(p?0)自点(0,0)至点的一段曲线弧长L=（）； (A)

）；

p,p 211（A）2(1?)；（B）e?；

ee（C）e?p?2?ln(1?2)??plnp； ??2p1；（D）[2?lnp(1?2)] .

2e1pp2 (B)[2?ln(1?2)；

p22 (C)

2、曲线r?2sin?与r2?cos2?所围图形公共部分

p[2?lnp(1?2)]； 2p[2?ln(1?2)] . 2 的面积S?（）；（A）

?12?1?3?3?1；（B）； ?22443?1?1?3；（D）? . 2623 (D)

（C）

?12?二、在区间1,e内求x0，使y?lnx,y?0, y?1及x?x0所围成两块面积之和为最小 . 三、设曲边梯形是由连续曲线y?f(x) f(x)?0，

??3、曲线x?acos S?（）；（A）?,y?asin3?所围图形的面积

3132122?a2；（B）?a；（C）a；（D）?a. 321682222222x轴与两直线x?a,x?b所围成的，求证：存在

直线x?? (??(a,b))将曲边梯形的面积平分 .

4、由球面x?y?z?9与旋转锥面x?y?8z之间包含z轴的部分的体积V?( )；

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四、求摆线??x?a(t?sint)，(0?t?2?)

?y?a(1?cost) (A)y?cosx?1C1x2?C2x?C3； 21C1x2?C2x?C3； 2 1、绕x轴旋转一周所成曲面的面积； 2、绕x轴旋转一周所成曲面的面积 .

(B)y?sinx? (C)y?cosx?C1； (D)y?2sin2x.

五、有一旋转体，它由曲线y?1，绕x轴，绕x轴

1?x25、方程y????y??0的通解是( ). (A)y?sinx?cosx?C1； (B)y?C1sinx?C2cosx?C3；

(C)y?sinx?cosx?C1；(D)y?sinx?C1. 6、若y1和y2是二阶齐次线性方程

y???P(x)y??Q(x)y?0的两个特解,则 y?C1y1?C2y2(其中C1,C2为任意常数)( ) (A)是该方程的通解； (B)是该方程的解；

(C)是该方程的特解； (D)不一定是该方程的解. 7、求方程yy??(y?)?0的通解时,可令( ).

2以及直线x?1所围成的平面图形绕x轴旋转而成，已知其上任一点的体密度等于该点到旋转轴的距离，求它的质量 .

六、以a的流量往半径为R的半球形水池内注水 1、求在水池中水深h(0?h?R)时水面上升的速度；

2、若再将满池水全部抽出，至少需作功多少？

第七章微分方程

一、选择题:

1、一阶线性非齐次微分方程y??P(x)y?Q(x)的通解是( ).

?P(x)dxP(x)dx (A)y?e?[Q(x)e?dx?C]；

? (A)y??P,则y???P?； (B)y??P,则y???P?P(x)dxP(x)dx (B)y?e?Q(x)e?dx；

dP； dy? (C)y?e?P(x)dx?P(x)dx[?Q(x)e?dx?C]；

(C)y??P,则y???PdPdP； (D)y??P,则y???P?. dxdy?P(x)dx (D)y?ce?.

28、已知方程xy???xy??y?0的一个特解为y?x,于

2、方程xy??x2?y2?y是( ).

是方程的通解为( ).

2 (A)y?C1x?C2x； (B)y?C1x?C2 (A)齐次方程； (B)一阶线性方程； (C)可分离变量方程 .

3、xdx?ydy?0,y(1)?2的特解是( ). (A)x?y?2； (B)x?y?9；

332233221； x (C)y?C1x?C2ex； (D)y?C1x?C2e?x. 9、已知方程y???P(x)y??Q(x)y?0的一个特y1, 则另一个与它线性无关的特解为( ). (A) y2?y1 (C)x?y?1； (D)

xy??1. 3333?4、方程y????sinx的通解是( ).

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1??P(x)dxedx； 2y1

(B) y2?y1???1?P(x)dxedx； 2y11??P(x)dxedx； y11?P(x)dxedx. y1 ?(x)cosx?2

?x0?(t)sintdt?x?1, 求?(x).

(D) y2?y110、方程y???3y??2y?excos2x的一个特解形式是 ( ).

(A) y?A1excos2x；

(B) y?A1xexcos2x?B1xexsin2x； (C) y?A1excos2x?B1exsin2x； (D) y?A1x2excos2x?B1x2exsin2x. 二、求下列一阶微分方程的通解: 1、xy?lnx?y?ax(lnx?1)；

2、

dy?xy?x3y3?0； dx 3、xdx?ydy?ydx?xdy?0. 22x?y三、求下列高阶微分方程的通解: 1、yy???y??1?0； 2、y????y???2y??x(e?4).

四、求下列微分方程满足所给初始条件的特解:

x2时，y?1； 1、ydx?2(x?xy)dy?0,x?12、y???2y??y?cosx,x?0时，y?0,y??3223. 2五、已知某曲线经过点(1,1),它的切线在纵轴上的截距等于切点的横坐标,求它的方程 . 六、设可导函数?(x)满足

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第一章函数与极限测验题答案

一、1、B； 2、D； 3、B； 4、C； 5、C； 6、D； 7、C； 8、B； 9、D； 10、D；二、1、(??,??); 2、[4,5].

三、a?2,b?1,c?0,g(x?1)?2x2?5x?3.

?x[g?(x)?sinx]?[g(x)?cosx],x?02??x2、f?(x)??.

?1(g??(0)?1),x?0??2五、f(n)(1)?(?1)n?2(n?2)!. 六、2.09. 七、?x?1,x?1?四、f?1(x)??0,x?0.

????(x?1),x??11sinx2五、1、2； 2、； 3、e； 4、1； 5、；

4x 6、206?8.16(公里/小时).

第三章微分中值定理测验题答案

一、1、D； 2、D； 3、A； 4、B； 5、D；

6、B； 7、C； 8、D； 9、B； 10、C. 二、1、2. 212a； 2、e； 3、

121； 4、不存在. 2六、a???2?2k? (k?0,1,2,?)

三、2:1. 五、f(x)??七、x?0可去间断点, x?1跳跃间断点,

x?2n(n??1,?2,?)无穷间断点,x为其它实数时

133239x?x?x?. 4444f(x)连续.

第二章导数与微分测验题答案

一、1、D； 2、B； 3、A； 4、D； 5、D；

6、A； 7、C； 8、B； 9、B； 10、A；二、1、cosxlnx?coshx12??2六、y??x?x?1?.

228

第四章不定积分测验题答案

一、1、D； 2、D； 3、B； 4、D； 5、D；

6、B； 7、D； 8、B； 9、D； 10、C. 二、1、?sin22sinx； x；

11x?1?C； 2、arctg?C； x22 2、lnasinhxa 3、(1?x)2secx[tanxln(1?x2)?22x]secx； 21?x222 3、[ln(x?1?x)?5]3?C；

34、6xtan(10?3x)； 5、

4、

1arctgx21x?C； 221?xx?y； x?y11?x2 5、??arcsinx?C；

xx 6、13(2y?1)(2x?1)x2?x. x2?11 6、?arcsin?C；

xx 7、?e第 10 页共 11 页

?x四、1、a?g?(0)；

?arctan(ex)?C；

31311221?x2?C； 8、xarccosx?(1?x)?393六、1、

?4dhaw?R. ； 2、?24dt?(2Rh?h)第七章微分方程测验题答案

x41?ln(1?x4)?ln(x4?2)?C； 9、

44 10、三

一、1、C； 2、A； 3、B； 4、A； 5、B； 6、B； 7、B； 8、B； 9、A； 10、C. 二、1、y?ax?.

?2x21arccosx?ln1?x2?C.

21?x2xc； lnx 2、y12?1222?xln(1?x)?[x?ln(1?x)]?C,2?2??(x2?4x?1)e?x?1?C,?四.f(x)??C1e?x2?1；

2x?0x?0.

3、x?y?2arctan2y?C. xx[(a?b)sin(lnx)?2三、1、y?1cosh(C1x?C2)； C1x?2x(b?a)cos(lnx)]?C;

五.

2、y?C1?C2e?C3e14?(x2?x)ex?x2?x. 69f(x)?C. xex四、1、x(1?2lny)?y?0； 2、y?xe?x2

第五章定积分测验题答案

一、1、C； 2、A； 3、C； 4、D； 5、C； 6、D； 7、B； 8、A； 9、C； 10、D. 三、1、1?sinx. 2五、y?x?xlnx. 六、?(x)?cosx?sinx.

312七、y??(1?x)?(1?x)2?33123x21?x12?2x1?x8； 2、?2e?y2sinx2.

44?71四、1、2ln； 2、； 3、??3； 4、；

3343(0?x?1).

?3? 5、1； 6、； 7、?arcsin； 8、?.

245

第六章定积分的应用测验题答案

一、 1、A； 2、D； 3、B； 4、D；

5、B； 6、D； 7、A； 8、A . 二、x0?e. 四、1、

14642?a； 2、16?2a2. 3五、2?(1??4).

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