相似

一、相似知识点：

1、相似的判定：①相似多边形的判定；

②相似三角形的判定：△ABC∽△A′B′C′；

2、平行线分线段成比例定理

3、相似三角形的判定：△ABC∽△A′B′C′的5种方式 4、相似三角形的周长与面积：①周长（及对应的高）相似比等于K；

②面积相似比等于K2 5、位似：①位似图形的判定

②利用位似，将一个图形放大或缩小

③位似图形在平面坐标系中的坐标关系：如果以原点为位似中心，相似比为K，那么位似图形对应的坐标的比等于K或－K

二、相似图形的特征：

1、相似比例的多项式动算（主要是分式）：

2、平行线分线段成比例，及成比例线段的相关计算：

3、相似三角形在几何组合图形内的存在特点，及相关的证明，计算：

一、相似知识点： 1、相似的判定，如图：

①相似多边形的判定：对应角相等，对应边的比相等； ②相似三角形的判定：在△ABC和△A′B′C′中，如果：

∠A＝∠A′，∠B＝∠B′，∠C＝∠C′， ABBCAC＝＝＝k， （AB＝k.A′B′，BC＝k.B′C′，AC＝k.A′C′） A'B'B'C'A'C'则： △ABC∽△A′B′C′，

1△ABC与△A′B′C′的相似比为k，△A′B′C′与△ABC的相似比为。

k2、平行线分线段成比例定理，如图：（ l3，l4，l5 的距离决定k的大小）

①平行线分线段成比例定理：如右图l3∥l4∥l5， 则：

ABDEBCEFABDE??k3， ???k2，＝k1，

ACDFACDFBCEF

②平行于三角形一边的直线截其他两边（或两边的延长线），所得对应线段的比相等，如右图：

ADAE??k ABAC

3、相似三角形的判定：（只要是相似三角形，就可以按对应角的安装在一起) ①平行于三角形一边的直线和其他两边相交，所构成的三角形与 原三角形相似；如图：△ADE∽△ABC

②类似SSS：如果两个三角形的三组对应边的比相等，那么这两个三角形相似；

ABBCAC＝＝＝k， A'B'B'C'A'C' 那么： △ABC∽△A′B′C′，相似比为k；

在△ABC和△A′B′C′中，如果

③类似SAS：两组对应边的比相等，并且相应的夹角相等，那么这两个三角形相似；

ABAC＝＝k，∠A＝∠A′， A'B'A'C' 那么： △ABC∽△A′B′C′，相似比为k；

在△ABC和△A′B′C′中，如果

④AA方式：如果两个角对应相等，那么这两个三角形相似； 在△ABC和△A′B′C′中，如果∠A＝∠A′，∠B＝∠B′， 那么： △ABC∽△A′B′C′；

例a：两个等腰三角形的任一个角相等（无论底角或顶角），那么这两个三角形相似； 例b：Rt△ABC斜边上的高将三角形分成三个三角形，都相似；

例c：一次函数y=k.x，（k为定值），由x，y，斜边组成的三角形，无论x为何值，所有的三角形都相似；

⑤类似HL：斜边的比等于一组直角边的比的直角三角形相似；（不当成定理）。

4、相似三角形的周长，对应高与面积：

①周长比：如果△ABC∽△A′B′C′，相似比为k，那么

ABBCAC＝＝＝k， A'B'B'C'A'C'因此：AB＝k.A′B′，BC＝k.B′C′，AC＝k.A′C′，

从而

kA'B'?kB'C'?kC'A'AB?BC?CA＝＝k

A'B'?B'C'?C'A'A'B'?B'C'?C'A'由此我们得到：相似三角形周长的比等于相似比； 相似多边形周长的比等于相似比； ②对应高比：相似三角形对应高的比等于相似比；

如果△ABC∽△A′B′C′，相似比为k，AD与A′D′分别是边BC，B′C′上的高， 那么

ABAD＝＝k

A'B'A'D'③面积比：相似三角形面积的比等于相似比的平方；

相似多边形面积的比等于相似比的平方；

如果△ABC∽△A′B′C′，相似比为k，AD与A′D′分别是边BC，B′C′上的高，

1BC.ADBCAD２

那么 S△ABC／S△A′B′C′＝2＝.＝k.k＝k

1B'C'A'D'B'C'.A'D'2；

5、位似，如图：（只要是相似三角形，就可以相应的安装成位似的形式）

①位似图形的判定：

图（1） 图（2） 图（3）

a、两个多边形（包括三角形）相似，如图（1）的ABCD∽A′B′C′D′； b、图形的对应顶点的连线相交于一点：如图（1）、（2）、（3）的位似中心点O； c、对应边互相平行，如图（1）AB∥A′B′，AD∥A′D′等； d、位似图形存在三种形式：取决于位似中心点O的位置，同侧，中间，两侧，如图：

②利用位似，将一个图形放大或缩小：

a、如图（1），首先任取一点O作位似中心点（可取同侧，中间，两侧），根据K值的大小分别定各个相似点，具体参考课本；

b、如图（2）、（3），通过坐标轴将图形放大或缩小，具体参考课本；

③位似图形在平面坐标系中的坐标关系：如果以原点为位似中心，相似比为K，那么位似图形对应的坐标的比等于K或－K，（同侧为K，两侧为－K）

XAYAABOB如图（3）：同侧：线段AB与A′B′位似，＝＝＝＝k；

XA'YA'A'B'OB'XAYAABOB???k'； 两侧：线段AB与A″B″位似，＝＝k′，XA\YA\A\B\OB\如图（2）：△ABC与△A′B′C′位似，相似比为k，原点为位似中心点O，

则： △ABC∽△A′B′C′，AB∥A′B′，AC∥A′C′，BC∥B′C′， 那么：

OCXCYCOBXBYBOAXAYA???k ???k，???k，

OC'XC'YC'OB'XB'YB'OA'XA'YA'还有：

OAOBOCABACBC??????k OA'OB'OC'A'B'A'C'B'C'