①直接作直线的垂线。

②求点P到平面?内的直线a的距离：

PdQRaα

第一步：过P作PQ??交平面?于点Q， 第二步：在?内过Q作作QR?a ，垂足为R； 第三步：连结P、R，则PR即为点P到直线a的距离。 点到平面的距离：

①直接作平面的垂线； ②要作垂线，先作垂面； ③体积法（等积法）。

5．空间向量与立体几何

（1）空间向量与平行关系

1．直线的方向向量

直线的方向向量是指和这条直线平行或重合的向量，一条直线的方向向量有无数个． 2．平面的法向量

直线l⊥α，取直线l的方向向量a，则向量a叫做平面α的法向量． 3．空间中平行关系的向量表示 (1)线线平行

设直线l，m的方向向量分别为a＝(a1，b1，c1)，b＝(a2，b2，c2)，且a2b2c2≠0，则l∥m?a//b?a??b?(2)线面平行

设直线l的方向向量为a＝(a1，b1，c1)，平面α的法向量为u＝(a2，b2，c2)，则l∥α?a?u?a?u?0?a1a2＋bb0.(3)面面平行 12＋c1c2＝设平面α，β的法向量分别为u＝(a1，b1，c1)，v＝(a2，b2，c2)，则α∥β?u//v?u??v?

a1b1c1(a2b2c2?0). ??a2b2c2a1b1c1(a2b2c2?0) ??a2b2c2（3） 空间向量与垂直关系

1．空间垂直关系的向量表示

空间中的垂直关系 线线垂直 设直线l的方向向量为a＝(a1，a2，a3)，直线m的方向向量为b＝(b1，b2，b3)，则l⊥m?a?b_ 2.空间中垂直关系的证明方法

线线垂直 线面垂直 面面垂直 ①证明两①证明两直线的方向向量的数量积为0． ①证明直线的方向向量与平面的法向量是共线向量． 个平面的法向量垂直． ②证明二②证明两直线所成角为直角. 面角的平②证明直线与平面内的相交直线垂直. 面角为直角._.

（4） 空间向量与空间角

空间中的角

角的分类 向量求法 设两异面直线所成的角为θ，它们的方向向量异面直线 所成的角 为a，b，则cos θ＝cos?a,b??范围 线面垂直 设直线l的方向向量是a＝(a1，b1，c1)，平面α的法向量u＝(a2，b2，c2)，则l⊥α?面面垂直 若平面α的法向量u＝(a1，b1，c1)，平面β的法向量为v＝(a2，b2，c2)，则α⊥β?u?v a//u a?ba?b＝ ?0，π? ?2?设直线l与平面α所成的角为θ，l的方向向量直线与平 面所成 的角 二面角 为a，平面α的法向量为n，则sin θ＝cos?a,n??a?na?n?0，π? ?2? [0，π] 设二面角α—l—β的平面角为θ，平面α、β的法向量为n1，n2，则|cos θ|＝cos?n1,n2??n1?n2n1?n2 _________

【母题1】如图所示，该几何体是由一个直三棱柱ADE?BCF和一个正四棱锥P?ABCD组合而成，AD?AF，AE?AD?2．

CDPFEAB

（1）证明：平面PAD?平面ABFE；

（2）求正四棱锥P?ABCD的高h，使得二面角C?AF?P的余弦值是【答案】（1）证明见解析；(2)1．

22． 3

【考点】证明面面垂直；利用空间向量求二面角．

【名师点晴】本题主要考查面面垂直的证明和用向量求二面角的综合运用，属于中档题．证明面面垂直常用的方法：通过线面垂直证明面面垂直，关键是找准其中一个平面存在一条直线垂直另一个平面．空间向量在立体几何中的运用要保证所建坐标系正确和向量的一些公式．

【母题2】如图，四棱锥P－ABCD的底面ABCD是平行四边形，BA＝BD＝2，AD＝2，PA＝PD＝5，E，F分别是棱AD，PC的中点．

（1）证明：EF∥平面PAB； （2）若二面角P－AD－B为60°． ①证明：平面PBC⊥平面ABCD；

②求直线EF与平面PBC所成角的正弦值． 【答案】（1）证明见解析；（2）①证明见解析；②

211． 11【解析】（1）证明：如图，取PB中点M，连接MF，AM．