1?91370?1325170?132517??00168??0016830017100002

1?91373??(?13)?16?()?13?18?3?312

2(四)将行列式按行或按列展开求解行列式

思路:行列式等于某一行的元素分别与它们的代数余子式的乘积之和. 在行列式

a11?a1j?a1n??ai1?aij??ain???an1?anj?ann

中划去元素aij所在的第i行与第j列剩下的(n?1)2个元素按原来的排法构成一个n?1级的行列式

a11??a1,j?1?a1,j?1??a1n?ai?1,1?ai?1,j?1ai?1,1?ai?1,j?1?an1??an,j?1ai?1,j?1?ai?1,nai?1,j?1?ai?1,n?an,j?1??ann,

称为元素aij的余子式记为Mij.

a11?Aij?0ai?1,1?an1?a1,j?1?a1j?ai?1,ja1,j?1?0ai?1,j?1?an,j?1?a1n?ai?1,1?ai?1,j?1ai?1,j?1?ai?1,n?0 ?ai?1,n??ann?01?ai?1,j?1ai?1,j???an,j?1anj 6

a11??a1,j?1?a1,j?1??a1n?a1j?ai?1,jai?1,j ?anj1ai?1,1?ai?1,j?1?(?1)(n?i)?(n?j)ai?1,1?ai?1,j?1??an1?an,j?10?0

ai?1,j?1?ai?1,nai?1,j?1?ai?1,n??an,j?1?ann0?0?(?1)2n?(i?j)Mij?(?1)i?jMij

.

这里的Aij称为元素aij的代数余子式. 例3.4.1 计算行列式

5137?120235210

0?20?4?14002350解:这里第一步是按第5列展开然后再按第1列展开这样就归结到一个三级行列式的计算.

5137?120252?2310?231??100?72 0?2310 ?(?1)2?520?4?140660?4?140023502350?(?10)(?2)?72?20(?42?12)??1080 6653?12常用的按行（列）展开方法中还有一种解法叫做降阶法 例3.4.2 计算行列式

x0Dn??0yyx?000?00y?00??? 0?xy0?0x解:利用按行按列展开定理把原行列式按第1列展开

xy???Dn?x00?00?

00???(?1)n?1yxy0xy0?00xy?00

????00?xy.

7

降阶后的两个低阶行列式都是三角形行列式故原行列式的值为Dn?xn?(?1)n?!yn. （五）加边法或升阶法

思路:加边法最大的特点就是要找每行或每列相同的因子那么升阶之后就可利用行列式的性质把绝大多数元素化为0 这样就达到简化计算的效果 例3.5 求行列式的值

x12?1x1x2?x1xnx2x1x22?1?x2xn Dn????xnx1xnx2?xn2?1解:行列式第1列有共同元素x1 第2列有共同元素x2,…,第 n 列有共同元素xn.根据这些特点给原行列式加边得

10Dn?0?0x1x12?1x2x1?xnx1xnx2?xn2?1x2x1x2??xnx1xnx2xnx22?1?

给加边后的行列式的第1行乘xi加到第i行上(i?1,2,?,n)得

1?x1Dn??x2??xn21x110?02x2010?xn???200?11?x12?x22???xn200?0nx110?0x2010?xn?0??01

?1?x?x2??+xn?1??xi2i?1.

（六）拉普拉斯（Laplace）定理 设在行列式D中任意取定了k(1?k?n?1)个行,由这k行元素所组成的一切k级子式与它们的代数余子式的乘积的和等于行列式D. 例3.6 在行列式

1214D?012110130131

中取定第一、二行.得到六个子式:

M1?

120?1,

M2?1102,

M3?1401,

8

M4?212414 M5?M6??12,?11,21.

它们对应的代数余子式为

A1?(?1)(1?2)?(1?2)M1'?M1',A2?(?1)(1?2)?(1?3)M2'??M2',

A3?(?1)(1?2)?(1?4)M3'?M3',A4?(?1)(1?2)?(2?3)M4'?M4', A5?(?1)(1?2)?(2?4)M5'??M5',A6?(?1)(1?2)?(3?4)M6'?M6'.

根据拉普拉斯定理

D?M1A1?M2A2???M6A6

121311031401??????0?13102110113?211324111410 ??????1201?11032101

?(?1)?(?8)?2?(?3)?1?(?1)?5?1?6?3?(?7)?1 ?8?6?1?5?18?7??7

从这个例子来看利用拉普拉斯定理来计算行列式一般是不方便的.这个定理主要是在理论方面应用.

推论 两个n级行列式

a11a12??a1n?b11b12?b1n??D1?a21?an1a22?a2nan2?annc11C?c21?cn1和D2?b21b22?b2n?bn1bn2?bnn

的乘积等于一个n级行列式

c12??c1n?c22?c2ncn2?cnn.

其中cij是D1的第i行元素分别与D2的第j列的对应元素乘积之和,

cij?ai1b1j?ai2b2j???ainbnj.

证明:作一个2n级行列式

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