? 热学习题讲解
1.3.1 要使一根钢棒在任何温度下都要比另一根铜棒长5 cm，试问它们在0℃时的长度l01及l02分别是多少？已知钢棒及铜棒的线膨胀系数分别为：?1=1.2×10-5K-1，?2=1.6×10-5K-1。 答案：
已知：?1=1.2×10-5K-1，?2=1.6×10-5K-1
设l1和l2分别为钢棒和铜棒在温度为t℃时的长度 求:l01和l02的长度 解：根据线膨胀公式得：
l1?l01(1??1t)
l2?l02(1??2t)
两式相减得：
l1?l2?(l01?l02)?(l01?1?l02?2)t 要使上面的式子与温度t无关，则有：
l01?1?l02?2?0 同时，
l01?l02?5
联立上述二式并代入数据求得：
l01?20cm，l02?15cm
1.3.9：把1.0?105Nm?2、0.5m3的氮气压入容积为0.2m3的容器中，容器中原已充满同温、同压下的氧气，试求混合气体的压强和两种气体的分压，设容器中气体温度保持不变。
5?23已知：氮气 P1?1.0?10Nm，V1?0.5m，T1??
P2??， V2?0.2m3，T2?T1
5?2???1 氧气 P1?1.0?10Nm，V1?V2 ，T1?T P2???， V2??V2， T2??T1 求： P2，P2?，P?P2?P2? 解：由PV??RT知
P2?P1V1?2.5?105N?m?2 V2V1??P2??P?1?105N?m?2 1V2?P?P2?P2??3.5?105N?m?2
1.6.3一容积为11.2L的真空系统已被抽到1.3×10?3Pa的真空。为了提高其真空度，将它
放在300℃的烘箱内烘烤，使器壁释放出所吸附的气体。若烘烤后压强增为1.33Pa，问器壁原来吸附了多少个气体分子？ 答案：烘烤时温度上升，器壁所吸附的气体分子有足够大的能量克服器壁对它的吸引力而释放
出来。真空系统的压强相应增加。利用p=nkt公式可以计算出吸附气体分子数。计算得：
1.88?1018
1.6.4: 一容器内贮有氧气，其压强为p=0.1MPa，温度为t =27℃，试求：（1）单位体积内的
分子数；（2）氧气的密度；（3）分子间的平均距离；（4）分子的平均平动动能。 已知：1原子质量单位u?1.67?10?27kg
1摩尔原子质量单位为NAu?1.005?10?3kg1g 氧分子原子量：32；氧分子质量：32?1.67?10?27kg 1摩尔氧分子质量： 32g k?1.38?10?23JK?1
氧气：p?0.1MPa，T?300K(t?27oC)
求：n，?，l，?t 解：由p?nkT 知 n?p?2.44?1025m?3 kT ??nm?1.30kgm?3 l3?11，l?3?3.4?10?9m nn3分子的平均平动动能：?t?kT?6.21?10?21J
21.6.12 一球形容器，办经委R，内盛理想气体，分子数密度为n，分子质量为m。（1）若某分子的速率为v，与器壁法向成?i角射向器壁进行完全弹性，问该分子在连续两次碰撞间经过路
程是多少？该分子每秒撞击容器器壁多少次？每次撞击给予器壁冲量多大？（2）导出理想气体压强公式。在推导中必须做些什么简化的假设？
解：以某一分子为研究对象。如图所示，该分子对光滑器壁进行完全弹性碰撞时，入射角等于反射角，连续两次间走过距离s，并且有
S=2R2Rcos?i分子与器壁连续两次碰撞所经过的时间为 △ti =
2R cos ?i v单位时间内对器壁的碰撞次数为
1v =
?ti2R cos i每次碰撞给器壁的冲量为 ?I=2mvcos?i
（2）由于前面所研究的这一分子在单位时间内碰撞在器壁上的总冲量为 I＝
vj2R cos i.2mvj. cos?i=
mvjR
单位时间内容器中所有分子给器壁的总冲量为 ?j?1Nmv2jR=N
m2v R4?R3n其中N= ，n为气体分子数密度。气体给器壁的压强为
3nmv2m21
P= Nv.=
3R4?R2
1.7.2 把标准状况下22.4L的氮气不断的压缩，它的体积将趋近于多大？计算氮分子直径。此
时分子产生的内压强约为多大？已知氮气的范德瓦尔斯方程中的常量
a?1.390?10?1m6?amol?2，b?39.31?10?6m3mol?1。（范德瓦尔斯方程为
[p?(m2amm)](V?b)?RT，NA?6.02?1023mol?1） 2MmVMmMm答案：
已知：a?1.390?10?1m6?amol?2，b?39.31?10?6m3mol?1，标准状况下22.4L的氮气的摩尔数为1mol。
设氮分子的半径为d 求: V, d, ??
解：（1）由范德瓦尔斯方程
[p?(m2amm)](V?b)?RT MmV2MmMm因为氮气为1mol，所以当：
当???时，V→1mol×b
所以氮气的体积为：V=3.931×10-5m3
（2）因为b为分子固有体积的4倍，则
4d4??()3NA?b 32代入数据得d=3.1×10-10m （3）分子产生的内压强为：
???(m2aa)?2?1?2 MmVb=9×107pa
2.3.1：求0oC，105Pa下，1.0cm3氮气中速率在500ms?1到501ms?1之间的分子数。 已知：T?273K(t?0oC)，p?105Pa，V?1.0cm3 v?500ms?1，?v?1ms?1
氮分子原子量：28；氮分子质量：28?1.67?10?27kg
求：?N
解：将氮气看成理想气体
pVpV 由 ?vR得到N?vNA?TkT 由麦克斯韦速度分布可得到速度在v?v?dv区间的分子数； ?N = Nf(v)dv
?m? =N4????2?kT?32?mv2?2exp???vdv
2kT?? =4.96?1016cm?3
2.3.2求速率在区间内的气体分子数占总分子数的比率。
答案 利用Vp=
2kTv的公式，并且令u=，这可以把麦克斯韦速率分布表示为 mvpdNu4??exp(?u2)?u2?du N?
由于Vp和1.01 Vp的差异比Vp小的多，故可认为（1）式中的du＝0.01,u=1.结果为0.83%
2.5.2一容器被一隔板分成两部分，其中气体的压强分别为p1，p2，两部分气体的温度均为T，摩尔质量均为Mm。试证明：如果隔板上有一面积为A的小孔，则每秒通过小孔的气体的质量为
dm?dtMm8kT1(p1?p2)A，（??nv，v?，p?nkT） 2?RT?m4答案：
证明：单位时间内碰在单位面积上的总分子数为??对于理想气体，利用p?nkT得：??p
2?mkT1nv 4用下标1，2分别表示隔板左，右气体的各个物理量，则在单位时间内通过单位面积小孔的分子数为?1，?2，隔板右边增加的分子数为????1??2
???(p1?p2)1 2?mkT则在dt时间内通过小孔的气体质量为 dm?m??Adt 有：
dm?dt?m(p1?p2)A 2?kTMm(p1?p2)A 2?RT所以每秒通过小孔的气体质量为：
Mm(p1?p2)A 2?RT
2.5.6 气体的温度为T=273K，压强p=1.01×102N·m-2，密度??1.24?10?3kgm?3，试求：（1）气体的摩尔质量，并确定它是什么气体。（2）气体分子的方均根速率。 (R?8.31Jmol?1??1)
答案：
已知：T=273K，p=1.01×102N·m-2
设：气体质量为m，气体体积为V, 摩尔质量为Mm，气体的方均根速率为vrms。 求：Mm，vrms
解（1）由理想气体物态方程
pV?mRT Mm及
??m V得Mm??RT?
代入数据得：Mm=28×10-3kg 所以该气体为N2或者CO （2）气体的方均根速率为
vrms?3RT Mm代入数据得：
vrms?4.94?102ms?1
2.5.8 一带有小孔（小孔面积为A）的固定隔板把容器分为体积均为V的两部分。开始时，左边装有温度为To、压强为p0的单原子分子理想气体，右方为真空。由于孔很小，因而虽然板两边分子数随时间变化，但仍可假定任一时刻近似是平衡态。又整个容器被温度为To的热源包围。试求：（1）在t到t+dt时间内从左方穿过小孔到达右方的分子；（2）左方压强的具体表达式（它是时间的函数）；（3）最后达到平衡时气体与热源一共交换了多少热量？ 答案 解：（1）左方和右方容器都有分子穿过小孔到达对方容器。设t时刻左方和右方容器中的分子数密度分别为n1(t),n2(t)，由于左方和右方容器体积相等，并且开始时刻右方容器压强为零，所以
n1(t)?n2(t)?n0(其中n0＝po) kt按照气体分子碰壁数公式，在t到t=dt时间内，从左方穿过小孔到达右方的分子数为 ?dN1?(n1?n2)vAdt
4（2）利用（1）、（2）式可以得到
A dn1???v(2n1?no)dt
4v分离变量，积分，并且利用P＝nkt公式，得到左方压强的具体表达式为
p1(t)?po?vAt???1?exp(?) 2?2v??2.6.5已知超速离心机以角速度?转动，胶体密度为?，溶剂密度?o，测得与离心机的轴相距为r1及r2处质点浓度之比为?。试问胶体分子的莫尔质量Mm是多少？
答案
解：在胶体溶液中，质量为m，体积为V的胶体分子受到重力和浮力的共同作用 F=mg-?oVg=m1g, 其中
m1＝m(1-
?o) ?称为有效质量，也就是说，在重力场中的胶体溶液中，质量为m的胶体分子相当于在真空背景中的质量为m1的气体分子。
按照定轴旋转系统的粒子空间分布公式可以知道，在做定轴旋转溶液中悬浮的胶体微粒的分布有如下关系
?o22???m(1??)?r?? n(r)?n(0)exp?2kT??????n(r2)??,则n(r1)m(1－其中n(r)和n(0)分别为r=r,r=0处粒子的数密度。设胶体分子的莫尔质量Mm
Mm＝
?022）?（r2?r12)?2kT?ln?
2Rtlna?(1?o)?2(r22?r12)?
2.7.2：某种气体分子有四个原子组成，它们分别处在四面体的四个顶点。（1）求这种气体的平动自由度数、转动自由度数和振动自由度数；（2）（如果这种分子可视为刚性分子，）根据能量均分定理求这种气体的定体摩尔热容。
已知：该分子四个原子分处在四面体的四个顶点上 求：t，r，v,CV,m 解：（1）一般情况
①分子作为一个整体运动，其平动自由度为3个： t=3
②分子作为一个整体，共转轴由两个自由度确定，分子绕转轴自身转动由一个自由度确定： r=3
③原子两两之间存在一个振动自由度，4个粒子一共有6种组合
（a,b）,（a,c）,（a,d）,（b,c）,（b,d）,（c,d）
v=6
（2）若为刚性分子，原子之间不存在振动，振动自由度为零 i=t+r=6
定体摩尔热容为
Cv,m?(iik)NA?R?3R 22
3.1.1 一细金属丝将一质量为m，半径为R的均质圆盘沿中心轴铅垂吊住。盘能绕轴自由转动，盘面平行于一大的水平板，盘与平板间充满黏度为?的液体，初始时盘以角速度?0旋转。假定圆盘面与大平板间距离为d，且在圆盘下方液体的任一竖直直线上的速度梯度都相等，试问在t s时盘的旋转角速度是多少？ 答案：
已知：圆盘质量为m，液体黏度为?，圆盘与大平板间距离为d，初始时盘角速度为?0。时间为t 求：?
解：圆盘上d?dr处受到的黏性力为：
?rdf????rd?dr
d该黏性力对中心轴的力矩为：
?r?dM?r?(???rd?dr)???r3d?dr
dd将d?从0到2?积分，dr从0到R积分得
M?????R42d
mR2d?又因为M?J，J?
2dt所以：????R42d?mR2d?? 2dt1d?
即：???R2dtmd?积分得：???0exp(??R2?tmd)
3.3.4 欲测氮的导热系数，可将他装满于半径r1?0.5.cm及r2?2.00cm的两共轴长圆筒之间，
内筒的筒壁上有电阻丝加热，已知内筒每厘米长度上锁绕电阻的阻值为0.10?。加
热电流为1.0A。外筒保持恒定温度0℃。过程稳定后，内筒温度为93℃。试利用上题结果求出氮气的导热系数。在试验中氮气的压强很底（约千pa），所以对流可以忽略.
答案
2.37?10?2j?m?1?s?1?k?1
3.3.5：设一空心球的内半径为r1，温度为T1，外半径为r2，温度为T2，球内热传导的速率dQ/dt恒定。则当空心球的热传导率为k时，内外表面的温度差是多少？ 已知： r1，r2，k 求：T2?T1
dTA，得到 dt1dQ1dQ dT??dr??dr
kAdt4?kr2dtr2dQdQ1?T2r2dr?dtdt? T2?T1??dT??
T14?k?r1r24?k?r?解：由傅立叶定律Q??k??r11dQ?11? =???
4?kdt?r2r1?
设T1?T2，热量沿r正向传播，则
1dQ?11? T1?T2????
4?kdt?r1r2?
3.6.1：既然可把分子碰撞有效直径理解为两分子作对心碰撞时两分子质心间的最短距离，我
们就可把被碰撞的分子看作半径为d的刚性球，所有参与碰撞的分子都可看作质点。试
利用??nv算出单位时间内碰撞在半径为d的刚性球面上的平均分子数，从而导出气体4分子间平均碰撞频率的表达式。
已知：单位时间内碰在单位面积上的总分子数为 ??nv 4求：平均碰撞频率
解：将被碰撞分子看作半径为d的刚性球，则其表面积为4?d2，设其它与之碰撞的分子相对
于它的平均速度为v12，可知单位时间内碰在这个球面上的平均分子数为
nv12Z?4?d??n?d2v12
42考虑到分子间的相对速度与平均速度的关系为v12?2v 则有
Z?2nv?，
其中???d2
3.6.5 试估计宇宙射线中质子抵达海平面附近与空气分子碰撞时的平均自由程。设质子直径为10-15m，宇宙射线速度很大。
-1025-3
（空气的有效直径是d=3.5×10m，洛喜密脱常量为n=2.69×10m） 答案：
已知，空气的有效直径是3.5×10-10m，洛喜密脱常量为2.69×1025m-3 设宇宙射线的速度为v 求：?
解：由于质子的直径为10-15m，远远小于空气的有效直径3.5×10-10m，其直径可以忽略，因此碰撞截面为???d24。
由于宇宙射线的速度很大，空气分子的速度可以忽略，这时它们的相对速度可以看作是宇宙射线的速度，所以平均速率v?v。平均碰撞频率为Z?n?v。
14。代入数据得到??10?6m ?2n?n?d3.7.1 某种气体的平均自由程为10cm，在100000段自由程中，（1）有多少段长于10cm（2）有多少段长于50cm（3）有多少段长于5cm而短于10cm（4）有多少段长度在9.9-10cm之间（5）有多少段长度刚好为10cm？
答案
解：分子按照自由程的分布
x N?N0exp(?) 在100000段自由程中
宇宙射线的平均自由程为????10)?3679 10?50)?67 （2） 其自由程长于50cm的段数为 N2?10000exp(10（3） 其自由程长于5cm而短于10cm的段数为 （1） 其自由程长于10cm的段数为 N1?10000exp(510??N3?10000?exp(?)?exp(?)??2387
1010??（4） 因为（10－9.9）/10＝0.01＜＜1,所以其自由程长度在9.9-10cm之间的段
?10)?0.01?37 10（5）不能这样提问，因为按照概率分布函数的概念，只存在随即变量在某一范围内的概率，而不存在随机变量为某一确定值的概率
3.7.4显像管的灯丝到荧光屏的距离为20cm。要使灯丝发射的电子有90％直接打到荧光屏上，在途中不与空气分子相碰，问显像管至少要保持何等的真空度？设空气分子有效直径为
数为 N1?10000exp(3.0?10?10m，气体温度为27 ?c。
答案
解：设分子与空气碰撞的平均自由程为?e，从显像管的灯丝发射的电子数是N0，途中
不与空气分子相碰地电子数是N 。根据自由程分布残存概率公式
Nx?x?exp(?)，可得：?e＝ (1)
NNo?elnN0另外，电子与空气碰撞的平均自由程公式为：?e＝
1?d?n42 (2)
其中d是空气分子碰撞有效直径。利用p=nkT 可得：?e4kT4kTp?则有
?d2p,?d2?e又：
N?90%,x?0.2m,将他门带入（1）式后再代入（3）式，可得p?3.1?10?2pa No3.9.1杜瓦瓶夹层的内层外直径为15.0cm，外层内直径为15.6cm。瓶内盛着冰水混合物，瓶外室温为25?c，杜瓦瓶高24。0cm
（1）如果夹层内充有一个大气压的氮气，近似的估算由于气体热传导所引起的单位时间内流入杜瓦瓶的热量。取氮分子有效直径为3.1?10?10m
(2)要使热传导流入的热量为（1）的答案的1/10，夹层内气体的压强需降低到多少？ 答案
解：（1）一个大气压下的氮气的导热系数满足如下关系：
nv??Cv,mNA?5k??RT?Mm3?d23?1.26?10?2w?m?1?K?1，
12?n,???d2,氮气的Cv,m?5R 2而 ??由此可估算出结果Q?2??L(T1?T2)?12.1W
R2lnR1kT2?d?12（2）杜瓦瓶夹层厚度为0.3cm，当平均自由程为?1?0.3cm时，p=均温度T＝288.5k，则p0?3.1pa
,取夹层内气体平
假定Q1?1.21pa时的压强是p0?3.1pa,则p3?0.31pa（p3就是本题答案）
4.2.2：一理想气体作准静态绝热膨胀，在任一瞬间压强满足pV??K，其中?和K都是常数，
试证由(pi、Vi)变为(pf、Vf)状态的过程中所做功为
W?piVi?pfVf??1
已知：理想气体，准静态绝热膨胀，满足pV??K，?，K为常量 求：由(pi,Vi)到(Pf,Vf)做的功
Vf解：W?Vi?dV1??pdV??KV??dV?K?1??
VfVfViVi?K1?1??(Vf1???Vi1??)?pfVf?Vf1???pV ??iiVi1??1??pV1ii?pfVfpV?pV? ?ffii?1????1?4.4.2 已知范德瓦尔斯气体的状态方程为(p?aa)(V?b)?RTU?cT??d其中，其内能为mm22VmVma，b，c，d均为常量，试求：(1)该气体从V1等温膨胀到V2时所做的功；（2）该气体在定体
下温度升高?T所吸收的热量。 答案：
已知：范德瓦尔斯气体的状态方程为(p?求：W, ?Q
解：（1）气体对外界所做的功为：
aa)(V?b)?RTU?cT??d ，内能为mm22VmVmW????V2,mV2,mV1,mpdVm
V1,m(RTa?2)dVm Vm?bVm?RTlnV2,m?baa ?V1,m?bV2,mV1,m?（2）因为在定体条件下对外做功为零，由热力学第一定律知升高?T温度吸收的热量为：
?Q??U ?c(T??T)?aa?d?(cT??d) 22VmVm?c?T
4.4.6．设1mol固体的状态方程可写为Vm?Vo,m?aT?bp；摩尔内能可表示为Um?cT?apT，
其中a,b,c和Vo,m均是常量。试求：（1）摩尔焓的表达式；（2）摩尔热容Cp,m和CV,m
已知：Vm?Vo,m?aT?bp，Um?cT?apT，a,b,c和Vo,m是常量 求：H，Cp,m，CV,m
解：（1）Hm?Um?pVm?cT?apT?p(Vo,m?aT?bp) =cT?pVo,m?bp2 （2）Cp,m?(?Hm)p?c ?T1 Um?cT?apT?cT?aT(Vm?Vo,m?aT)
baaa22 =cT?VmT?Vo,mT?T
bbbCV,m?Umaa2a2?()V?c?Vm?Vo,m?T
?Tbbb4.5.2分别通过下列过程把标准状态下的0.14kg氮气压缩为原体积的一不半：（1）等温过程
（2）绝热过程（3）等压过程。是分别求出在这些过程中气体内能的改变，传递的热量和外界
5R对气体所作的功。设气体可看作理想气体，且Cv,m?
2答案 解：（1）等温过程:?U?0
外界对气体所作的功W???RTlnV2?7862j V1（2）绝热过程:按照C?TV??1，有
?V1?T2???V???2???1??V???1?1?T1,?U??Cv,mT1???V???1??9061j
????2??）
等
压
过
程
T2?V2?T1V1（3，则
?V??U??Cv,mT1?2?1???1.41?104j,同时，Q＝?Cv,（1.97?104j,W??U?Q?5.6?103mT1－T2）＝－?V1?
4.5.5 室温下一定量理想气体氧的体积为2.3L，压强为0.1Mpa，经过一多方过程后体积变为4.1L，压强为0.05Mpa，试求：（1）多方指数；（2）内能的变化；（3）吸收的热量；（4）氧气膨胀时对外界所做的功。设氧气的CV,m=2.5R.（R?8.31Jmol?1??1） 答案：
已知：p1=0.1Mpa ，V1 =2.3L，p2=0.05Mpa ，V2 =4.1L，CV,m=2.5R 解：（1）多方过程方程为pVn?C（C为常量），则
p1p2?1.2 两边取自然对数得：n?V2lnV1lnp1V?(2)n p2V1（2）内能的变化?U??CV,m(?2??1) 而p2V2??R?2, p1V1??R?1
p2V2p1V1?) RR代入数据得：?U=-62.5 J（内能减少） 代入上式得：?U?CV,m(（3）多方过程摩尔热容为Cn,m?CV,m?R n?1多方过程中气体从外界吸收的热量为Q?vCn,m(?2??1) 而p2V2??R?2, p1V1??R?1 代入得: Q?(CV,m?Rp2V2pV)(?11) n?1RR代入数据得：Q?62.5 J （4）气体膨胀对外所做的功：
W???W?Q??U=125 J
4.5.7 0.20kg的氦气温度由17?c升为27?c，若在升温过程中：（1）体积保持不变（2）压强保
持不变（3）不与外界交换热量。试分别求出气体内能的改变，吸收的热量，外界对气体所作
3的功。设氦气可看作理想气体，且CV,M?R
2答案
解：（1）体积保持不变W?0,?U?Q?623J(内能增加，吸热）（2）压强保持不变
Q?1.04?103J,?U?623J,W??417J(内能增加，吸热，气体对外作功）（3）不与外界交换热
量：Q?0,?U?W?623J(内能增加，绝热，外界对气体作功） 4.5.8利用大气压随高度变化的微分公式
?Mgdzdp??m，证明高度h处的大气压强为pRT????1Mghm?，其中TO和P0分别为地面的温度和压强，Mm为空气的平均摩尔质量。p?p0?1??CT?p,mo??假设上升空气的膨胀是准静态绝热过程。
答案
解：上升空气的膨胀是准静态绝热过程，满足准静态绝热方程
?TOT? ??1???1(1)
PPO大气压随高度变化的微分公式
Mgdzdp??m（2） pRT由（1）（2）式化简，并两边积分，有
PhRT0dp ????dz 1P0Mmgp??1?0pr0
?????1Mghm? 结果为：p?p0?1??CT?p,mo??
4.5.11用绝热壁做成一圆柱形的容器，在容器中间放置一无摩擦的、绝热的可活动活塞，活塞两侧各有?mol的理想气体，开始状态均为p0,Vo,T0。设气体定体摩尔热容Cv,m为常数，
??1.5。将一通电线圈放在活塞左侧气体中，对气体缓慢加热。左侧气体膨胀，同时通过活塞压缩右方气体，最后使右方气体压强增为27p0。试问（1）对活塞右侧气体做了多少功？（2）8右侧气体的终温是多少？（3）左侧气体的终温是多少（4）左侧气体吸收了多少热量？ 答案： 解：（1）设最终左右侧气体压强分别为，温度分别为，体积分别为。该过程中左侧气体对右侧气体（视作理想气体）所作准静态绝热压缩功为
??11?????3p0V0??p2?pV27????00?????1??pV??RT ?? W??1000??????1??p1.5?18??0????????1??p?p??12?（2）绝热过程中有如此关系：??C1,所以右侧气体的终温为T2????p0?T????（3）
??1??3?T0???T0
2??左侧气体经历的既不是绝热也不是等压过程，要求出终温，必须知道p1，V1，然后通过物态方程求出T1,必须先知道V（因为V1?V2?2V0）.右侧气体的绝热过程有p0V0??p2V2?关系，所以：2123?p0??V2???p???2?由此可得T1???p?14V0pVpV4?V0??0??V0?V0,则有V1?2V0?V2?，又有00?11，?27p0?99T0T1???8?pV21?11?T0?T0p0V04（4）把左右气体作为研究对象，它不对外作功，所以左侧气体吸收的热量应该等于左右气体
内能增加之和
Q??U1??U2??Cv,m(T1?T0)??CV,m(T2?T0)?19?RT0所以CV.m?2R，则有Q＝219?CV,mT04,因为?＝1.5，而Cp,m?CV,m?R,
4.5.18理想气体经摩尔热容为Cm?C0?足的方程。 答案：
a的准静态过程，其中C0，a是常量，试求该过程满T?RT?V?dQ?()1 解：理想气体的热力学第一方程，有dQ??Cv,mdT?pdV,????Cv,m?dTV?T??1式中括号下脚“1”表示沿题中规定的过程变化的微商。故有
aRT?VC0??Cv,m?()1
TV?T经分离变量，两边积分得到
(C0?Cv,m)lnT11V?a(?)?Rln ToTT0V0aa?RlnV?(C0?Cv,m)lnT0??RlnV0?常量 TT0(C0?Cv,m)lnT?C0?CV,M?aT即：TeV?R?C
4.6.1 已知某种理想气体在p-v图上的等温线与绝热线的斜率之比为0.714，现在1mol该种理想气体在p-T图上经历如图4.27（a）所示的循环，试问：（1）该气体的CV,m是多少？ 是多少?(2)该循环中的功是多少？（3）循环效率是多少？ 答案 解：（1）分别对等温过程方程和绝热过程方程的两边取微分，可以得到他们在p-v图上过程曲线的斜率，以下标“T”和下标“S”分别表示等温过程和绝热过程
p??p??????V?TV, ?
?pp()S????VV.比较这两个式子可以知道
Cp,mCV,m?R1 ????,由此可得C：V，m?2.5R
0.714CV,mCV,m（2）现在把循环曲线从p-T图转换为p-V图，如图4-6所示，这是顺时针循环，是热机。计算系统对外做的功W?，计算W???W(W为外界对系统做的功）：
1?2等压膨胀过程：W1??R(2T1?T1)?RT1?2?2p1(V2?V1）??3?02?3等体过程：W2??1?RT1ln3?1等温过程：W3p3??RT1ln2p2
对外做的总功为 W??W??W??W??RT(1?ln2)1?22?33?11计算系统吸收或者释放的热量：1?2等压膨胀过程（吸热）：Q1?2?Cp,m(T2?T1)?Cp,mT12?3等体降温过程（放热）：Q2?3??Cv,mT13?1等温过程（放热）：Q3?1???RT1ln2（3）热机效率为： ??W?RT1(1?ln2)2(1?ln2)＝? Q吸Cp,mT154.6.4 理想气体经历一卡诺循环，当热源温度为100?c，冷却温度微0?c时，做净功800J，今若维持冷却温度不变，提高热源温度，使净功增为1.60?103j,则这时（1）热源温度为多少（2）效率增加到多少？设这两个循环都工作于相同的绝热线之间。
答案;
解：设开始时热源温度为T1，冷却器为T2，对外做功w，效率为?，气体从热源吸收热量的大
?小为Q1，向冷却器放出热量为Q2C，后来的热源温度为T1，对外做功W?，效率??，气体从热??源吸收热量的大小为Q1，向冷却器放出热量为Q2，卡诺循环的效率为
??QTW?1?1?1?2QQ2T1
WT2W
T1?T2原卡诺循环：Q2?Q1?W???W?后来的卡诺循环释放的热量为 Q2??Q1??W??T2W?W???W?
??T1??T2又这两个循环都工作于相同的绝热线之间，因为这两个循环的T2温度是相同的， 所以两个循环向T2温度热源放的热源应该相同，即
'?Q2，则有 Q2T2WTW??2，
?T1?T2T1?T2?W?(T2?T1)所以后一卡诺循环的热源温度为T1??T2?473K
W（2）后一热机的效率为 ???1?T2273?1??42.3% ?473T1
4.7.1将热机与热汞组合在一起的暖气设备称为动力暖气设备。其中带动热崗的动力由热机燃烧燃料对外界做出的功来提供。热工从天然蓄水池或从地下水取出热量，向温度较高的暖气系统的水供热。同时，暖气系统的水又作为热机的冷却水。若燃烧1kg燃料，锅炉能获得H能量。锅炉、地下水，暖气系统的水的温度分别为210℃、15℃、60℃.设热机及熱共均是可逆卡诺机。试问每燃烧1kg燃料，暖气系统所获得热量的理想数值（不计各种实际损失）是多少？ 答案
解：设锅炉、地下水，暖气系统的温度分别以T1,T2,T3表示。显然工作于锅炉和暖气系统之间的可逆卡诺热机的效率为 ?热＝1－按照热机效率的定义 ?热＝W?W??（2） Q1HT3,（1） T1联立（1）(2)式，可得
W??H?热?(T1?T3)H（3） T1设可逆卡诺热机对输送的热量为Q3，由热机效率公式可知
Q3T3TH?,因而有Q3?3(4) HT1T1工作于地下水，暖气系统之间的热汞也是可逆卡诺热机，同样有
?Q2T2 ， ???T3?T2Q3?Q2??其中Q2,Q3分别为热汞从地下水吸取的热量和热汞向暖气系统输送的热量。 对上式做变换可得
??Q3T3Q3T3?? ，即(5) ??T3?T2WT?TQ3?Q232上式的W为外界对热汞输入的功，它全部由（3）式表示的可逆卡诺热机做的功提供，即
W??W，将（3）式带入（5）式，可得
? Q3?T3T3T1W??H（6） T3?T2T3?T2T1?T3暖气系统从热机与热汞组合在一起的暖气设备得到的总热量为（4）式与（6）式之和
TT?T3T3333333150??)?H(??)?3H(即所求) Q＝Q3?Q3?H(3?1T1T3?T2T1483483455.1.1试用反证法证明绝热线与等温线不能相交于二点（注意：不一定是理想气体）。
答案：
解：假设绝热线与等温线相交于二点A和B，相交的绝热线与等温线构成一个闭合路径，该闭合路径构成一个循环。
（1）设绝热线在等温线下方（如图 1所示），当该循环为顺时针循环时系统将仅从单一热源吸收热量并将之全部用来对外做功，而不产生其它影响，这违反了热力学第二定律。 （2）设等温线在绝热线下方（如图 2所示），当该循环为顺时针循环时系统通过绝热膨胀对外做功，然后通过等温压缩向热源释放热量，而此后系统居然回答原初的状态。能量无中生有，这违反了热力学第一定律。
综上所述可见对于任何物质其绝热线与等温线不能相交于二点。 5.1.2：试用反证法证明两绝热线不能相交（注意：不一定是理想气体）。 证明：
a c b V
设两绝热线交于c点。在两绝热线上寻找温度相同的两点a,b。在a,b间作一条等温线，abca构成一循环过程，在此循环过程中
Qab?W
（注意到不需经过低温热源放热系统即可恢复原来状态。）这就构成了从单一热源吸收热量的热机。这是违背热力学第二定律的开尔文表述的，因此任意两条绝热线不可能相交。
5.3.3 水的比热容是4.18×106J·kg-1·K-1.（1）1kg、0℃的水与一个373K的大热源相接触，当水到达373K时，水的熵改变多少？（2）如果先将水与一个323K的大热源接触，然后再让它与一个373K的大热源接触，求整个系统的熵变。（3）说明怎样才可使水从273K变到373K而整个系统的熵不变。 答案：
6-1-1
已知：c=4.18×10J·kg·K，T1=273K ，T2= 323K， T3=373K，m=1kg 求：?S
解（1）1kg、0℃的水与一个373K的大热源相接触，平衡时水温达到373K。这一过程近似为等容过程（水的容积变化极小）。设计一个可逆等容过程，让水从0℃（T1=273K）变为373K，在此过程中微小熵增表达为
dUdT。 dS??mcTT积分后得到整个过程水的熵变为：
?S?mclnT3。 T1代入数据得：?S?1.30?106J??1
（2）系统整个过程的熵变等于两次过程熵变之和。设T2= 323K的大热源放的热量为Q2，熵变为?S2热，T3=373K大热源放的热量为Q3，熵变为?S3热，水的熵变分别为?S2水，?S3水，则
Q2??mc(T2?T1)，Q3??mc(T3?T2)
对应的熵变为：?S2热?QT?TQ2T?T??mc21，?S3热?3??mc32 T2T2T3T3水在两次传热过程中的熵变分别为： ?S2水?mcln总熵变为：
TT2，?S3水?mcln3 T1T2?S??S2热??S3热??S2水??S3水?mc(ln?97?103J?K?1T3T2?T1T3?T2??) T1T2T3（3）在情形（1）中水和热源的总熵变为：
?S?mclnT3T?T?mc31?184?103J?K?1 T1T3跟情形（2）比较可知，让水从273K变到373K时，如果增加中间热源，则系统总熵变减小。
当中间热源有无穷多个时，总熵变为零：
?T3dTT3T3?T?S?mc(ln?lim?)?mc(ln??)?0。
T1?T?0i?1TiT1T1T5.3.5 有一热机循环，它在T－S图上可表示为其长半轴和短半轴分别平行于T轴及S轴的椭
圆。循环中熵的变化范围从S0到3S0，T的变化范围从T0到3T0。是求该机的热率。
答案
(S?2S0)2(T?2T0)解答：椭圆方程为：??1 22S0T0面积为S椭圆＝?T0S0
T-S图上顺时针循环的面积就是热机净吸收的热量，即W??T0S0
Q??T0S02?2T0?2S0?(?2?4)T0S0,其效率为?＝W2?? Q8??5.3.8．在一绝热容器中，质量为m、温度为T1的液体和相同质量但温度为T2的液体在一定压
强下混合后达到新的平衡态；求系统从初态变到终态熵的变化，并说明熵是增加的，设已知液体定压比热容cp为常量. 已知：m1?m，T1，m2?m，T2；cp为常量
求：?S
解：设计一个可逆过程求熵变。让该两部分液体分别在等压过程中达到它们共
同的终态温度T。由于过程是绝热的，在平衡过程中液体1放出的热量（设
T1?T2）等于液体2吸收的热量，组合后的平衡温度T满足下式：
mcp(T1?T)?mcp(T?T2)
T1?T2 2液体1准静态等压降温到T，熵变为
所以 T?dQdTT?S1???mcp??mcpln
TTT1T1T1TT液体2准静态等压升温到T，熵变为
dQdTT?S2???mcp??mcpln
TTT2T2T2系统的总熵变为
?S??S1??S2?mcp(lnTT?ln) T1T2TT(T1?T)2T2 ?mcpln ?mcplnTT4TT1212由于 (T1?T)2?4TT12
所以 ?S?0。
5.3.11已知24 ℃,2982.4pa的饱和水蒸气的比焓（比焓是单位质量的焓）是2545.0kj·kg?1,而在同样条件下的水的比焓是100.59kj·kg?1,求1kg这种水蒸气变为相同条件下的水的熵变。
答案
解；水蒸气变为相同条件下的水，它释放的热量就是焓的变化。故
?Q?(2545.0?100.59)kj?2444.4kj
?Q?1水蒸气变为相同条件下的水的熵变：?S＝－??8.25KJ?KT
6.3.3 将一充满水银的气压计下端浸在一个广阔的盛水银的容器中，其读数为p=0.950?105pa(1)求水银柱的高度h（2）考虑到毛细现象后，真正的大气压强p0多大？已知毛细管的直径d=2.0?10?3m，接触角???,，水银的表面张力系数??0.49N?m许误差0.1%，试求毛细管直径所能允许的最小值 答案
解：因为毛细管中凸液面上面的压强为0，故不考虑弯曲液面附加压强情况下p??gh,则：
h?p?71.3cm ?g?1。（3）若允
（2）毛细管有附加压强，设其半径为r，则p附＝可得：po??gh?2?2?0?49＝pa＝980pa －3r102?2??p??9.6?104 rr4?4?4?,其相对误差是：d?（3）绝对误差是表面张力产生的，为
4?d?ghd?gh?d4?0.49?2当?gh为p?0.950?105pa时，由题，则d?m?2.06?10m，即是所求。49.5?10?0.1%6.3.4试证半径为r的肥皂泡的泡内气体压强要比泡外大气压强高出4?/r 的数值。 已知：肥皂泡半径为r，表面张力系数为? 求：内外压强差
解：肥皂泡有内外两个表面，里层为凹面，外层为凸面。设泡外压强为p1，泡内压强为p3，而液膜上的压强为p2
2? r2?对于凹液面（内层）有 p2?p3?
r4?所以 p3?p1?
r对于凸液面（外层）有 p2?p1?6.4.5 在标准大气压和100oC时，单位质量水的熵为1.30?103Jkg?1K?1，相同条件下单位质
量水蒸气的熵是7.36?103Jkg?1K?1。试问在此温度下的汽化热是多少？
已知：T?373K，sl?1.30?103Jkg?1K?1，sg?7.36?103Jkg?1K?1 求: lV
解：lV?T(sg?sl)?2.26?106Jkg?1
6.4.8 若已知遵从范德瓦尔斯方程的氧气的临界温度和临界压强，试问氧分子的有效直径是多大？ 答案：
已知：临界温度和临界压强?c和pc
解：范德瓦尔斯方程的临界温度和临界压强可以表示为：
8aa，pc? ① ?c?227Rb27b其中a，b是范德瓦尔斯方程中的常量。由①可以得到：
2R?c27R2?c，b? ② a?8pc64pcb是1mol气体的全部分子固有体积之和的4倍，设分子的有效直径为d，则
4db?4??()3NA ③
32?3R?c?由②③得到分子的有效直径为d???。
?16?NApc?1/3