第三章

9．某企业甲、乙两个建筑材料生产车间的生产情况如表3-20所列。 表3-20 产量(T) 本月实车间名工车间人面积人m称 数 际 划 际 (动态) (计划) (结构) 甲 50 1500 20.5 22.0 21.8 106.34 乙 40 1000 15.8 15.0 16.5 104.43 99.09 110 56.92 43.08 30 25 105.77 1 2 本月实本月实际与总际为计产量的划百分百分比（%）(强度) (比较) 每个工人平均占用车间面积(m2/人) 甲车间工人劳动生产率为乙车间的百分比(%) 本月实际为上月百分上月实本月计比（%） 比（%） 要求计算并填写上表中空格，并说明各属于哪一种相对指标。

10．下列计算方法是否正确，请将错者予以更正。

(1)某企业的全员劳动生产率计划在去年的基础上提高5%，实际执行的结果是提高了10%，则提高全员劳动生产率的计划完成程度为10%/5%＝200%。 错误。应为：110%/105%＝104.76%。

(2)某企业某月完成甲产品的产值50万元，则好完成计划。完成乙产品产值61.2万元，超额完成2%；完成丙产品产值83.2万元，超额完成4%，则三种产品平均产值计划完成程度为：(0+2%+4%)/3＝2%。

错误。应为(50+61.2+83.2)/(50+60+80)=102.32%

11．某建筑企业“十五”计划中规定，到“十五”计划的最后一年，某产品的产量应达到7200t，实际完成情况如表3-21所列。 表3-21

第四年 第五年 第一季度 1700 1800 第二季度 1700 1800 第三季度 1750 1850 第四季度 1750 1900 试计算产量计划完成程度相对数及提前期。

解：计划完成程度相对数=102.08% 提前期=3个月

12．某企业对某批零件进行抽样检验。结果如表3-22所列。 表3-22

耐磨时间(h) 800-850 850-900 900-950 950-1000 零件数(件) 15 30 45 10 合计 100 要求：试计算该样本的平均寿命、全距、平均差、标准差及标准差系数。

解：平均寿命=900小时 全距=200小时 平均差=37.5小时 标准差=43.3小时 标准差系数=4.8%

13．某学校高三年级学生的体重状况如表3-23所列。 表3-23

按体重分组(kg) 46-49 49-52 52-55 55-58 58-61 61-64 64-67 学生数(人) 4 20 25 38 21 12 5 试计算该年级学生体重的中位数及众数。 解：中位数=56.07kg 众数=56.3kg

14．调查甲乙两个市场A、B、C三种水果的价格及销售状况如表3-24所列。 表3-24

水果 A B C 合计 价格(元/kg) 0.1 1.2 1.3 — 销售额(元) 甲市场 1100 2400 1300 4800 乙市场 2200 1300 1300 4800 要求：计算甲乙两市场三种水果的平均价格分别是多少? 解：甲市场=0.34（元） 乙市场=0.20（元）

15．某企业生产某种产品的成本资料如表3-25所列。 表3-25

成本水平/元 20-30 30-40 40-50 50-60 60-70 合计 产量/件 40 300 500 100 60 1000 要求：(1)以比重的方式计算该产品的平均单位成本； 解：平均单位成本=

?Xf?f=43.4（元）

(2)计算标准差； 解：标准差=8.8元

(3)另有一企业生产同种产品的平均单位成本为44元，其标准差为10.5元，试比较哪个企业

平均单位成本的代表性大。

解：该企业标准差系数=20.28% 另一企业标准差系数=23.86% 本企业平均单位成本的代表性大。

16．根据表3-26所列资料，计算偏度系数和峰度系数，并说明其偏斜程度和尖平程度。 表3-26 日产量分组/只 35~45 45~55 55~65 65~75

工人数/人 10 20 15 5 第四章

21．已知n?15，分别在?=0.10，0.05，0.90，0.95时查表??(n?1)和t?(n?1)。 2解：?0.10(14)?21.064

222 ?0(14)?23.685?(14)?7.790?.050.900.95(14)?6.571

t0.10(14)?1.345 t0.05(14)?1.7613 t0.90(14)??t0.10(14)??1.345 t0.95(14)??t0.15(14)??1.7613

2．已知n1?8,n2?20分别在?=0.05，0.01，0.95，0.99时求F?(n1?1,n2?1)的值。 解：

F0.05(7,19)?2.54 F0.01(7,19)?3.77 F0.95(7,19)?1/F0.05(19,7)?0.29

F0.99(7,19)?0.16

3．在具有均值?=32，方差?=9的正态总体中，随机地抽取一容量为25的样本，求样本均值X落在31到32.6之间的概率。

2＜X＜32.6}?p{解：p{3131?32X?3232.6?32＜＜}??(1)-?(-1.67)?0.7938 3/53/53/524．在具有均值?=60，方差?=400的正态总体中，随机抽取一容量为100的样本，问样本均值与总体均值之差大于3的概率是多少？ 解：p{X??＜3}=0.1336

22X?i＞1.44}。 i?1105．设X1,X2,?,X10为总体X~N(0,0.3)的一个样本，求p{10解：p{?Xi?12i＞1.44}=0.1

26．某公司生产的电子元件的寿命X~N(8000,200)。从该公司生产的电子元件中随机抽取一个容量为16的样本，X为样本的平均寿命。求： （1）X落在7920与8080之间的概率； （2）X小于7950的概率； （3）X大于8100的概率。 解：(1)0.8904 (2)0.1587 (3)0.0228

7．设X1,X2,?,Xn为来自泊松分布?(?)的一个样本，求E(X),?2(X)。 解：由泊松分布E(X)??,?2(X)?? 知E(X)?E(X)??,?(X)?2?2(X)n??/n

8．某地区平均每户存款额为1500元，存款的标准差为200元。今从该地区抽取100户调查，那么这100户平均存款额大于1575元的概率是多少？ 解：p{X?1575}?0.0001

9．设某厂生产的产品中次品率为5%。现抽取了一个n?200的随机样本。求样本中次品所占的比率p小于6%的概率有多大？

解：由np?10?5,n(1?p)?5，得p{p?0.06}?0.7422

第五章

1．设X1,X2,?,Xn是来自分布N(0,?2)的样本，求?的极大似然估计量。

21n2解：???xi

ni?1?22．设X1,X2,?,Xn是来自分布N(?,?2)的样本，?和?都未知，求p{X?t}的极大似然估计量。

2???X??t??t??解：p{X?t}?p{???}??(?)??(1nt??xini?112(x?x)?ini?1n???)

3．已知某种白炽灯泡的寿命服从正态分布，在某月生产的该种灯泡中随机地抽取10只，测得其寿命为（单位：h）：

1067 919 1196 785 1126 936 918 1156 920 948

设总体参数都未知，试用极大似然估计法估计这个月生产的灯泡能使用1300h以上的概率。

}=0.0076 解： p{X?13004．给定一个容量为n的样本，试用极大似然估计法估计总体的未知参数?。设总体的概率密度为：

??x??1,0?x?1；?f(x)???0，其它。?（1）

?(??)x??1e??x?,x?0(?已知)；?f(x)???0，其它。?（2）

?x?x2(2?2),x?0；?2ef(x)????其它。?0，（3）

解：

（1）首先列出似然函数：L(?)??(nnn?x)?ii?1?1，则：

lnL(?)?nln??(??1)ln?lnxi

i?1dlnL(?)nn则似然方程：???lnxi)?0

d??i?1???解出 ?n?lnxi?1n

i（2）略 （3）略

5．设总体X的数学期望E(X)存在，X1和X2是容量为2的样本，试证统计量

13X1?X24412d2(X1,X2)?X1?X2

3311d3(X1,X2)?X1?X222d1(X1,X2)?都是总体期望的无偏估计量，并说明哪一个有效。

解：首先证明E[di(X1,X2)]?E(X)，再比较D[di(X1,X2)]。

n1???Xi??为6．设总体X服从分布N(?,?)，X1,X2,?,Xn是其样本。求k，使?ki?12?的无偏估计量。

解：k?n2?

7．设X1,X2,?,Xn为指数分布

x?1???f(x)???e(x?0)

??0(其他)的一个样本，试验证样本平均值X是?的极小方差无偏估计量。 解：略

8．设某种清漆的9个样品，其干燥时间（单位：h）分别为 6.0 5.7 5.8 6.5 7.0 6.3 5.6 6.1 5.0

设干燥时间总体服从正态分布N(?,?)。求?的置信度为0.95的置信区间。（1）若由以往经验知?=0.6（h），（2）若?为未知。 解：（1）置信度为0.95的置信区间（5.608，6.392） (2)置信度为0.95的置信区间（5.5619，6.4381）

9．为了测定甲、乙两厂生产的某种材料的拉力强度是否相同，要求对两厂的产品拉力强度相差多少作出估计。于是从甲厂抽25个样品，乙厂抽取16个样品，测试结果甲厂平均拉力22公斤，乙厂平均拉力20公斤，根据过去的经验两个工厂的方差均为10公斤。设拉力强

2度服从正态分布。试对两个总体均值之差构造95%置信区间。

解：两个正太总体均值差区间估计，且总体方差已知，置信区间为

[(X?Y)?z??122n1?2?2n2]，得95%置信区间为（0.016，3.984）

10．甲、乙两厂生产同种型号电池。从甲厂抽取36个检查，平均使用寿命150小时，标准差为8小时。从乙厂抽取30个检查，平均使用寿命为140小时，标准差为6小时。设电池寿命服从下正态分布，试在置信度为0.95时求：

（1）两厂家电池产品的平均使用寿命之差的置信区间。（设两厂电池使用寿命方差相同。） （2）甲厂生产的电池使用寿命方差的置信区间。 （3）两厂家电池使用寿命方差之比的置信区间。 解：（1）两个正太总体均值差区间估计，方差未知但相同，置信区间为

2[(X?Y)???(n1?n2?2)?s?211?]，得置信度为0.95的置信区间为（6.5293，n1n213.4707）。

S2(n?1)S2(n?1),]，（2）置信区间为[2得置信度为0.95的置信区间为（42.10，108.90）

??(n?1)?12??(n?1)22（3）置信区间为[F1??222S12/S2S12/S2,]，得置信度为0.95的置信区间

(n1?1,n2?1)F?(n1?1,n2?1)2为（0.8630，3.5641）。 11．（1）求8题中?的置信度为0.95具有置信上限的置信区间。

（2）求10题中乙厂电池使用寿命方差?的置信度为0.95具有置信上限的置信区间。 （3）求10题中两厂家电池使用寿命方差比?甲?乙的置信度为0.95的置信上限。 解：（1）①方差已知。对1??有p{222

X???/n?z1??}?1??，具有置信上限的置信区间为

[0,X??nz1??]，即（0，6.329）。

②方差未知，对1??有p{X??S/n?t1??(n?1)}?1??，具有置信上限的置信区间为

[0,X?Snt1??(n?1)]，即（0，6.3533）。

S2(n?1)（2）对1??有p{?2??12??(n?1)}?1??，具有置信上限的置信区间为

S2(n?1)。 [0,2]，即（0，58.9564）

?1??(n?1)S12/?12（3）对1??有p{2?F1??(n1?1,n2?1)}?1??，具有置信上限的置信区间为2S2/?22S12/S2。 [0,]，即（0，3.5557）

F1??(n1?1,n2?1)12．设一枚硬币掷了400次，结果出现了175次正面，求出现正面概率的置信度为0.90的置信区间，再求置信度为0.99的置信区间。这枚硬币可以看作是均匀的吗？ 解：（1）因p~N(p,p(1?p))，即np?pp(1?p)n~N(0,1)，以样本比率p代替p计算估计

量的标准差，有置信区间[p?z??2p(1?p)。 ]，得（0.3964，0.4786）

n（2）类似的，得置信度为0.99的置信区间（0.3735，0.5015）。

13．某医药公司对其所做的报纸广告在甲、乙两个城市的效果进行了比较，他们从甲城市中随机调查了500名成年人，其中看过该广告的有110人，从乙城市中调查了600名成年人，其中看过该广告的有90人，试求两城市成年人中看过广告的比例之差的置信度为0.95的置信区间。

解：已知n1?500,n2?600，属于大样本。 有p1?p2~N(p1?p2,p1(1?p1)p2(1?p2)?)，以样本比率p代替p计算估计量的标

n1n2准差，则置信度为0.95的置信区间（0.024，0.116）。

14．某医院欲估计一名医生花在每个病人身上的平均时间。假如要求置信度为0.95，允许误差范围在?2分钟。且依以前的经验看病时间的标准差为6分钟。试问需要多大的样本？ 解：由?X?z??2n，得样本容量约为35。

15．高度表的误差服从正态分布，其标准差为15m。问飞机上至少应安装几个高度表，才能以99%的概率相信高度表的平均高度数值x，其误差不超过30m？

解：至少安装2个。

16．某公司新推出一种营养型豆奶，为做好促销工作，随机地选取顾客作为样本，并问他们是否喜欢此豆奶。如果要使置信度为0.95，估计误差不超过0.05，则在下列情况下，你建议的样本容量为多大？

（1）假如初步估计，约有60%的顾客喜欢此豆奶。

（2）假如没有任何资料可用来估计大约有多少比率的顾客会喜欢此种豆奶。

解：（1）由?p?z?2p(1?p)，得样本容量为369。 n（2）取p?0.5，得样本容量为385。

第六章

1．某种元件的寿命服从正态分布，它的标准差??90h，今抽取一个容量为36的样本，测得其平均寿命为2260h，问在显著性水平??0.05下，能否认为这批元件的寿命的期望值为2300h。

解：提出假设H0:??2300 H1:?1?2300 当??0.05时，z??1.96。

2计算Z?X??n由于Z?2.67?z??1.96，所以拒绝H0，接受H1即认为这批元件的寿命的期望值不为

2???2.67

2300h。

2．某地区小麦的一般生产水平为亩产250kg，其标准差为30kg。现用一种化肥进行试验，从25个小区取样结果，其平均产量为270kg，问这种化肥是否使小麦明显增产？（??0.05） 解：H0:??250 H1:?1?250

所以拒绝H0，接受H1，即这种化肥使小麦明显增产。

3．某化肥厂用自动包装机包装化肥，每袋标准重量为50kg，已知装袋重量服从正态分布，某日测得9包重量如下（单位：kg）： 49.65 49.35 50.25 50.60 49.15 49.85 49.75 51.05 50.25 问：这天装袋机工作是否正常（??0.05） 解：H0:??50 H1:?1?50

由于t?0.0459?t0.025(8)?2.306，以接受H0，这天装袋机工作正常。

4．一种元件，要求其平均使用寿命不得低于1000h，现从这批元件中随机抽取25只，测得其平均使用寿命为950h。已知这种元件的寿命服从标准差??100小时的正态分布。试在显著性水平??0.05下，确定这批元件是否合格。 解：H0:??250 H1:?1?250

由于Z??2.5??z???1.645，所以：拒绝H0，接受H1，这批元件不合格。 5．某批矿砂的5个样品中的镍含量经测定为（%）

3.25 3.27 3.24 3.26 3.24 设测定值总体服从正态分布，问在??0.01下能否接受假设：这批矿砂的镍含量均值为3.25。 解：H0:??3.25 H1:?1?3.25

由于t?0.344?t0.005(4)?4.6041，所以接受H0，这批矿砂的镍含量均值为3.25。 6．某种电工用保险丝，要求其熔化时间的标准差不得超过15秒。今在一批保险丝中取样9根，测得S?17秒，设总体为正态分布，问：在显著水平??0.05下，能否认为这批保险丝的熔化时间的方差偏大吗？ 解：H0:??15 H1:?222?152

由于10.28<15.507，故接受H0，不能认为这批保险丝的熔化时间的方差偏大。 7．设有两个来自不同正态总体的样本：

A：15.1 14.8 14.9 15.3 16.1 15.8

B：14.7 15.2 15.7 15.4 14.4 15.6 15.5

试在显著水平??0.05下，检验两总体方差是否相同。

22解：H0:?12??2 H1:?12??2

由于F0.025(5,6)?F?F0.975(5,6)，故接受H0，认为两总体方差相等。

8．题中若知道两个样本的总体方差相同，在显著水平??0.05下，能否认为两个样本来自同一总体？

解：H0:?1??2 H1:?1??2

由于t?0.3583?t0.005(11)?2.201，所以接受H0。

9．测定某种溶液中的水分，它的10个测定值给出S?0.037%，设测定值总体为正态分布，

?2为总体方差。试在显著水平??0.05下检验假设

H0:??0.04% H1:??0.04%

2解：?2(9)??0.95(9)，故接受H0。

10．某厂使用两种不同的原料A、B生产同一类型产品。各在一周的产品中取样进行分析比较。取使用原料A生产的样品220件，测得平均重量为2.64kg，样本标准差为0.57kg。取使用原料B生产的样品205件，测得平均重量为2.55kg，样本标准差为0.48kg。设这两个总体都服从正态分布且两组样本独立。问在显著水平??0.05下能否认为使用原料B的产品平均重量较使用原料A的为大？ 解：H0:?1??2 H1:?1??2 当??0.05时，

t?S?X?Y11?n1n2?1.7542??t?(n1?n2?2)??z0.05??1.645，所以接受H0。注：本

题未检验方差齐性。 可由大样本做

z?X?YSS?n1n22122?1.7648??1.645，所以接受H0。

11．有一批产品，取50个检验，其中4个次品。在这种情况下，检验H0：次品率p?0.05是否成立。（??0.05）

解：题型归类：单个总体比率的右侧检验。

H0:p?5% H1:p?5%

当??0.05，由于Z?z0.05?1.645，故接受H0。

12．某产品规定的次品率为0.17，现改进了工艺，从用新工艺生产的产品中取400件进行检验，发现有56件次品。问：能否认为新工艺改进了产品的质量？（??0.05） 解：H0:p?17% H1:p?17%

由于-1.597>-1.645，故接受H0。认为新工艺未能改进产品的质量。

13．某种大量生产的袋装食品，按规定每袋重量不得少于250g。今从一批该种食品中任意抽取120袋，发现有5袋低于250g。若规定不符合标准的比例超过3%就不得出厂，问该批食品能否出厂？（??0.05） 解：H0:p?3% H1:p?3%

由于0.75<1.645，故接受H0。所以该批食品能出厂。

14．调查了339名50岁以上的人，其中205名吸烟者中有43人患慢性气管炎，在134名不吸烟者中有13人患慢性气管炎。调查数据能否支持“吸烟者容易患慢性气管炎”这一观点？（??0.05）？

解：H0:p1?p2 H1:p1?p2

由于2.954>1.645故拒绝H0，接受H1，即认为吸烟者容易患慢性气管炎。 15．掷一颗骰子120次，得表6-8结果 掷得点数 次数 1 23 2 26 3 21 4 20 5 15 6 15 在显著水平??0.05下，检验这颗骰子是否均匀对称。

解：建立假设H0：该骰子是均匀对称的，H1：该骰子不是均匀对称的

2?2(5)?4.8??0.05(5)?11.07，故接受H0，即认为该骰子是均匀对称的。

16．抽样调查1000名公民中，男、女公民对某种新型产品的态度资料见表6-9： 表6-9

态度 性别 男 女 合计 喜欢 300 212 512 不喜欢 210 262 472 无所谓 10 6 16 合计 520 480 1000 试检验对这种产品的态度与性别是否有关？（??0.05）

解：检验假设H0：对这种产品的态度与性别无关，H1：对这种产品的态度与性别有关。

2由于?2?20.29??0，故拒绝H0，即认为对这种产品的态度与性别有关。 .05(2)?5.991

第七章

1．对用五种不同黄土烧制的砖，每种随机地抽取四块进行强度试验，测得它们的强度见表7-13。

砖的强度数据表 强度 砖号 黄土号 1 2 3 4 5 1 2 3 4 67 67 55 42 98 96 90 66 60 69 50 35 79 64 81 70 90 70 79 88 在显著水平??0.01下，用方差分析检验假设：各种黄土烧制的砖强度一样。 解：H0：各种黄土烧制的砖强度一样，H1各种黄土烧制的砖强度不一样

方差分析表

偏差来源 组间 组内 总和 3偏差平方和SS Q1?4??Xi?X??350.272i?1342自由度df 4 15 19 均方MS F值 S12?22Q1?875.6754 2S1?6.0912S2 Q2????Xij?Xi??2156.5i?1j?1QS?2?143.76715 偏差由F?6.14?F0.05(4,15)?4.89，故拒绝H0，即认为各种黄土烧制的砖强度不一样。

i?1j?1Q????Xij?X??5659.2234