第三单元 导数及其应用
第Ⅰ卷
一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．
1?π?1．已知函数f(x)?cosx，则f(π)?f????（ ）
x?2?231A．? B． C．?
πππ3D．?
π【答案】D
【解析】由题意知：f??x???4π2π21111?π??f??cos?sin??cosx?sinx?fπ?cosπ??，，，????π22π2πx2xππ?2?123?π??f?π??f????????，
πππ?2?本题正确选项D．
2．曲线y=2sinx+cosx在点(π，–1)处的切线方程为（ ） A．x?y???1?0
B．2x?y?2??1?0 D．x?y???1?0
C．2x?y?2??1?0 【答案】C
【解析】当x?π时，y?2sinπ?cosπ??1，即点(?,?1)在曲线y?2sinx?cosx上． Qy??2cosx?sinx，?y?x?π?2cosπ?sinπ??2，
则y?2sinx?cosx在点(?,?1)处的切线方程为y?(?1)??2(x??)，即2x?y?2??1?0． 故选C．
3．函数y?f(x)的导函数y?f?(x)的图象如图所示，则函数y?f(x)的图象可能是（ ）
1
A． B．
C． D．
【答案】C
【解析】由题意，根据导函数的图象，可得当x?(??,0)U(2,??)时，f??x??0， 则函数f?x?单调递增；当x?(0,2)时，f??x??0，函数f?x?单调递减，故选C． 4．函数f?x??x?ln?2?x?的单调增区间为（ ） A．?1,??? 【答案】D
【解析】函数的定义域为?xx?2?，f?x??x?ln?2?x??f?(x)?当f?(x)?0时，函数单调递增，所以有
B．?1,2?
C．???,3?
D．???,1?
1?x， 2?x1?x?0?x?2或x?1，而函数的定义域为?xx?2?， 2?x所以当x?1时，函数单调递增，故本题选D． 5．若函数f?x??A．a?1 【答案】D
12x?2x?alnx有两个不同的极值点，则实数a的取值范围是（ ） 2B．?1?a?0
C．a?1
D．0?a?1
ax2?2x?a【解析】f?x?的定义域是（0，+∞），f??x??x?2??，
xx2若函数f?x?有两个不同的极值点，则g?x??x?2x?a在（0，+∞）由2个不同的实数根，
?Δ?4?4a?0?故?，解得0?a?1，故选D． 2?4?4ax??0?12?6．过点P(2,?6)作曲线f(x)?x3?3x的切线，则切线方程为（ ） A．3x?y?0或24x?y?54?0 C．3x?y?0或24x?y?54?0
B．3x?y?0或24x?y?54?0 D．24x?y?54?0
2
【答案】A
【解析】设切点为（m，m3
-3m），f(x)?x3?3x的导数为f?(x)?3x2?3，
可得切线斜率k?3m2?3，
由点斜式方程可得切线方程为y﹣m3
+3m＝(3m2
-3)（x﹣m），
代入点P(2,?6)，可得﹣6﹣m3+3m＝(3m2-3)（2﹣m），解得m＝0或m＝3， 当m=0时，切线方程为3x?y?0；
当m=3时，切线方程为24x?y?54?0，故选A． 7．已知函数f?x??1?lnxx在区间?a,a?2?上不是单调函数，则实数a的取值范围是（ ） A．??1,1? B．?0,1?
C．?0,1?
D．???0,1?e??
【答案】C
【解析】因为f?x??1?lnxx（x?0），所以f??x??1?1?lnxx??lnxx，
由f??x??0，得x?1，
所以当0?x?1时，f??x??0，即f?x??1?lnxx单调递增； 当x?1时，f??x??0，即f?x??1?lnxx单调递减， 又函数f?x??1?lnxx在区间?a,a?2?上不是单调函数， ?所以有?a?0?a?1，解得0?a?1．故选C．
??a?2?18．若存在唯一的正整数，使关于的不等式成立，则实数的取值范围是（A．??1??0,3??
B．??15??3,?
C．??13?4??,?
D．??5?4,3?32?2??
【答案】B 【解析】设，则存在唯一的正整数，使得，
设，
，
因为
，
3
）
所以当在而
处，恒过定点
以及
取得极大值，在
时，为增函数；当
取得极大值．
时，为减函数，
处，
，两个函数图像如图，
要使得存在唯一的正整数，使得，
?g?1??h?1??1?3?5?2a?15?只要满足?g?2??h?2?，即?8?12?5?3a，解得?a?，故选B．
34?27?27?5?4a?g3?h3??????x29．函数y?x (其中e为自然对数的底数)的大致图像是（ ）
eA． B． C． D．
【答案】B
【解析】方法一：排除法：当当
时，
时，
，排除C，
恒成立，排除A、D，故选B．
2x?ex?x2?exx?2?x?方法二：y'?， ?e2xex由，可得，令，可得或，
上单调递增，
所以函数在上单调递减，在
所以只有B符合条件，故选B． 10．函数A．值域为 C．
，正确的命题是（ ）
B．在D．过
是增函数 点的切线有两条
有两个不同的零点
【答案】B 【解析】因为
，所以f??x??lnx?1?0?x?1， e 4