概率论与数理统计标准作业纸 班级 学号 姓名 Y X y1 y2 y3 P{X?xi}?pi? x1 x2 1 241 81 61 83 81 21 121 41 31 43 41 P{Y?yi}?p?j 2.设二维随机变量(X,Y)的联合分布函数为
xyF(x,y)?A(B?arctan)(C?arctan)
23则系数A=
1?2，B=
?2，C=
?2， (X,Y)的联合概率密度为
f(x,y)?6 。
?2(x2?4)(y2?9)⒊ 已知二维随机变量(X,Y)的联合概率密度为f(x,y)，R为一平面区域，则(X,Y)的联合分布函数F(x,y)=
??xy????f(x,y)dydx ，P??X,Y??R??
??f(x,y)dxdy，曲面
Rz?f(x,y)叫做 分布曲面 ，F(??,??)? 1 ，F(x,??)? 0 ，F(??,y)?
0 ，F(??,??)? 0 。
三、计算题。
1. 已知随机变量X1和X2的概率分布
X1P?101141214X2P01121 2而且P{X1X2?0}?1.求X1和X2的联合分布。 解：
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X1X2
?1011401 4010102?e?y,0?x?y⒉ 设二维随机变量（X，Y）的联合概率密度为f(x,y)??
0,其他?（1）求P{X?Y?1}；（2）求联合分布函数F(x,y)。 解（1）P{X?Y?1}?x?y?1??f(x,y)dxdy??dx?1201?xxedy?1?e－2e
?y－1?12（2）F(x,y)???xy?????e?x-e?y,0?x?y f(x,y)dydx??其他?0,⒊ 设二维随机变量(X,Y)的联合概率密度为
?Ae?(x?2y),x?0,y?0; f(x,y)??其他.?0,试求（1）常数A ； (2) 概率P(0?X?1,0?Y?2). 解：（1）由于 故
??????????f(x,y)?1，
??0????0Ae?(x?2y)dxdy?A?1，所以A?2 2（2）P(0?X?1,0?Y?2)??10dx?212e?(x?2y)dy?(1?e?1)(1?e?4)
第十节 二维随机变量的边缘分布
六、选择题
⒈ 设二维离散随机变量(X,Y)的联合概率函数为P(xi,yj)，则X的边缘概率函数
PX(xi)为 （ A ）
（A）
?P(x,y) （B）?P(x,y) （C） ?P(x,y) （D）以上都不对
ijijijjii,j第 22 页
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⒉ (X,Y)为二维连续随机变量，对任意的实数x，函数P(X?x,Y???)为 （ B ） （A）随机变量Y的边缘分布函数 （B）随机变量X的边缘分布函数 （C）(X,Y)的联合分布函数 （D）以上都不对
二、填空
⒈ 设二维随机变量(X,Y)的联合分布函数为
xyF(x,y)?A(B?arctan)(C?arctan)
23则X的边缘分布函数为FX(x)?11x?arctan ， Y的边缘概率密度为2?2fY(y)?3。 2??y?9?⒉ 设二维随机变量(X,Y)的联合分布函数为F(x,y)，则随机变量X的边缘分布函数为
FX(x)?F(x,??)，随机变量Y的边缘分布函数为FY(y)?F(??,y)。
⒊ 设二维随机变量(X,Y)的联合概率密度为f(x,y)，则随机变量X的边缘概率密度为
fX(x)??????f(x,y)dy，随机变量Y的边缘概率密度为fY(y)??????f(x,y)dx。
三、计算题
?e?y,0?x?y⒈ 设二维随机变量（X，Y）的联合概率密度为f(x,y)??，求X的边
?0,其他缘概率密度fx(x)。 解 x?0时,fX(x)????xedy?e,x?0时，fX(x)?0?y?x?e?x，x?0故fX(x)??
x?0?0,?2e?(x?2y),x?0,y?02. 已知二维随机变量（X，Y）的联合概率密度为f(x,y)??
其他.?0,求随机变量X和Y的边缘概率密度。
?e?x，x?0?2e?2y，y?0解 fX(x)??， fY(y)??。
x?0?0,?0,y?0第 23 页
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第十一节 随机变量的独立性
七、选择题
⒈ 设相互独立的随机变量X和Y的概率密度分别为fX(x)???2x,0?x?1 ，?0,其他?e?y,y?02，则?的二次方程??2X??Y?0具有实根的概率是（ A ） fY(y)???0,其他?2?3?4 （A）e （B）e （C） e （D）e
?1二、填空
1. 设二维随机变量(X,Y)的联合分布函数为
xyF(x,y)?A(B?arctan)(C?arctan)
23则随机变量X与Y 独立 （填独立或不独立）。
2. 独立连续随机变量的联合分布函数等于它们的 边缘分布 函数的乘积，独立连续随机变量的联合概率密度等于它们的 边缘概率密度 的乘积，独立离散随机变量的联合概率函数等于它们的 边缘概率函数 的乘积。
三、计算题
1. 已知随机变量X1和X2的概率分布
X1P?101141214X2P01121 2而且P{X1X2?0}?1.问X1和X2是否独立？为什么？ 解：因为P{X1?0,X2?0}?0,P[X1?0}P{X2?0}?1?0,所以X1和X2不独立。 4?2e?(x?2y),x?0,y?02. 已知二维随机变量（X，Y）的联合概率密度为f(x,y)??
其他.?0,随机变量X和Y是否独立？
?e?x，x?0?2e?2y，y?0解 由于 fX(x)??， fY(y)??。
x?0?0,?0,y?0故f(x,y)?fX(x)fY(y)
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