课时分层训练(五十七) 绝对值不等式

1．(2018·榆林模拟)已知函数f(x)＝|x－2|.

(1)求不等式f(x)＋x－4＞0的解集；

(2)设g(x)＝－|x＋7|＋3m，若关于x的不等式f(x)＜g(x)的解集非空，求实数m的取2

值范围．

[解] (1)由题意，知x－2＞4－x2

(x≥2)或x－2＜x2

－4(x＜2)， 由x－2＞4－x2

(x≥2)得x＞2；由x－2＜x2

－4(x＜2)， 得x＜－1，

∴原不等式的解集为{x|x＞2或x＜－1}.4分 (2)问题等价于|x－2|＋|x＋7|＜3m的解集非空， ∵|x－2|＋|x＋7|≥|x－2－x－7|＝9， ∴3m＞9，∴m＞3.

2．若函数f(x)＝|x＋1|＋2|x－a|的最小值为5，求实数a的值．

[解] 当a＝－1时，f(x)＝3|x＋1|≥0，不满足题意； ?－3x－1＋2a，x≤a，当a＜－1时，f(x)＝?

?x－1－2a，a＜x≤－1，

??3x＋1－2a，x＞－1，

f(x)min＝f(a)＝－3a－1＋2a＝5，

解得a＝－6；

?－当a＞－1时，f(x)＝?

3x－1＋2a，x≤－1，?－x＋1＋2a，－1＜x≤a，

??3x＋1－2a，x＞a，

f(x)min＝f(a)＝－a＋1＋2a＝5，

解得a＝4.

综上所述，实数a的值为－6或4.

3．(2018·秦皇岛模拟)已知函数f(x)＝|x＋a|＋|x－2|.

(1)当a＝－3时，求不等式f(x)≥3的解集；

(2)若f(x)≤|x－4|的解集包含[1,2]，求a的取值范围． [解] (1)当a＝－3时，

不等式f(x)≥3化为|x－3|＋|x－2|≥3.(*) 若x≤2时，由(*)式，得5－2x≥3，∴x≤1. 若2＜x＜3时，由(*)式知，解集为?. 若x≥3时，由(*)式，得2x－5≥3，∴x≥4.

1分

3分

5分 8分 10分

3分

5分

7分

9分 10分

综上可知，f(x)≥3的解集是{x|x≥4或x≤1}. (2)原不等式等价于|x－4|－|x－2|≥|x＋a|，(**) 当1≤x≤2时，(**)式化为4－x－(2－x)≥|x＋a|， 解得－2－a≤x≤2－A． 4分

8分

由条件，[1,2]是f(x)≤|x－4|的解集的子集， ∴－2－a≤1且2≤2－a，则－3≤a≤0， 故满足条件的实数a的取值范围是[－3,0].

4．(2018·福建六校联考)已知函数f(x)＝|2x＋1|＋|2x－3|.

(1)求不等式f(x)≤6的解集；

(2)若关于x的不等式f(x)－log2(a－3a)＞2恒成立，求实数a的取值范围.

【导学号：00090379】

3??x＞，

(1)原不等式等价于?2

??2x＋1＋2x－3≤6

2

10分

[解]

或

13??－≤x≤，

2?2

??2x＋1－2x－3≤6

1??x＜－，

2或???－2x＋1－2x－3≤6，

1分

3131

解得＜x≤2或－≤x≤或－1≤x＜－，

2222∴不等式f(x)≤6的解集为{x|－1≤x≤2}.

2

2

3分 4分

2

(2)不等式f(x)－log2(a－3a)＞2恒成立?log2(a－3a)＋2＜f(x)恒成立?log2(a－3a)＋2＜f(x)min成立，

∵|2x＋1|＋|2x－3|≥|(2x＋1)－(2x－3)|＝4， ∴f(x)的最小值为4，∴log2(a－3a)＋2＜4，

??a－3a＞0，即?2

?a－3a－4＜0，?

2

2

6分 7分

9分

解得－1＜a＜0或3＜a＜4，

∴实数a的取值范围为(－1,0)∪(3,4). 10分

5．(2018·肇庆模拟)已知函数f(x)＝|x＋1|，g(x)＝2|x|＋A．

(1)当a＝0时，解不等式f(x)≥g(x)；

(2)若存在x∈R，使得f(x)≥g(x)成立，求实数a的取值范围． [解] (1)由f(x)≥g(x)， 得|x＋1|≥2|x|，

两边平方，并整理得(3x＋1)(x－1)≤0，2分 1

解得－≤x≤1，

3

???1

所以原不等式的解集为?x?－≤x≤1

???3

??

?. ??

4分

(2)由f(x)≥g(x)，得|x＋1|≥2|x|＋a， 即|x＋1|－2|x|≥A． 令F(x)＝|x＋1|－2|x|， 依题意可得F(x)max≥A． 5分

1－x，x≥0，??

F(x)＝|x＋1|－2|x|＝?3x＋1，－1＜x＜0，

??x－1，x≤－1，

7分

易得F(x)在(－∞，0]上单调递增，在(0，＋∞)上单调递减， 所以当x＝0时，F(x)取得最大值1. 故a的取值范围是(－∞，1].

9分

10分

6．(2017·郑州质检)已知函数f(x)＝|3x＋2|.

(1)解不等式|x－1|＜f(x)；

11

(2)已知m＋n＝1(m，n＞0)，若|x－a|－f(x)≤＋(a＞0)恒成立，求实数a的取值范

mn围．

[解] (1)依题设，得|x－1|＜|3x＋2|， 1322

所以(x－1)＜(3x＋2)，则x＞－或x＜－，

42

???13

故原不等式的解集为?x?x＞－或x＜－

42???

??

?.4分 ??

(2)因为m＋n＝1(m＞0，n＞0)， 11mn?11?所以＋＝(m＋n)?＋?＝2＋＋≥4，

mn?mn?

nm1

当且仅当m＝n＝时，等号成立．

2令g(x)＝|x－a|－f(x)＝|x－a|－|3x＋2|

??2＝?－4x－2＋a，－≤x≤a，

3

??－2x－2－a，x＞a，

22x＋2＋a，x＜－，3

8分

22

则x＝－时，g(x)取得最大值＋a，

332

要使不等式恒成立，只需g(x)max＝＋a≤4.

310

解得a≤. 3

10

又a＞0，因此0＜a≤.

3

10分