第一讲 从数表中找规律
例1 下图是按一定的规律排列的数学三角形，请你按规律填上空缺的数字.
例2 用数字摆成下面的三角形，请你仔细观察后回答下面的问题 ① 这个三角阵的排列有何规律？
② 根据找出的规律写出三角阵的第6行、第7行。
③ 推断第20行的各数之和是多少？
例3 将双数2，4，6，8，10…按下表排成5列，问2000出现在哪一列？
例4 按图所示的顺序数数，问当数到1500时，应数到第几列？ 1993呢？
例5 从1开始的自然数按下图所示的规则排列，并用一个平行四边形框出九个数，能否使这九个数的和等于①1993；②1143；③1989.若能办到，请写出平行
1
四边形框内的最大数和最小数；若不能办到，说明理由.
试一试：1.观察下面已给出的数表，并按规律填空：
2.下面数表里数的排列存在着某种规律，请你找出规律之后，按照规律填空。
3.下图是自然数列排成的数表，按照这个规律，1993在哪一列？
4.从1开始的自然数如下排列，则第2行中的第7个数是多少？
一．数线段
下图中有多少线段？
第二讲：分类思路数图形
2
B
A B C D A1 A2 A3 A4 ?? A45 A50
（ ）条 （ ）条 A
（ ）条
C
二．数图形
例1 数出图3-1中两图形中长方形的个数。
D’ A D A’ B C B’ C’
（ ）个 （ ）个
例2 在下图中一共有多少个长方形?
（ ）个 例3 下图中有多少个平行四边形？ 图3-2中有多少个梯形？
A B
（ ）个 C D
三．数正方形 （ ）个 例1 下图中各有多少个正方形？
（ ）个 （ ）个 （ ）个
例2 一个长方形的长被分成12等份，宽被分成4等份，且长和宽的等份一样
长，求这个长方形中共有多少个正方形？
例3 在下图中是5×5的正方形的网格,计算其中共有多少个正方形？
3
四．数三角形
例1 数一数下图中各有多少个三角形？
A A D D G H E C B B C E F
（ ）个 （ ）个 （ ）个 （ ）个
例2 数一数左图中有多少三角形？右图中有多少个梯形？有多少个三角形？
1 2 3 4 5 6
练习二
1．下图中，各有多少个三角形？
（ ）个 （ ）个
2．下图中，各有多少个长方形？
（ ） 个 （ ）个
3．下图中，各有多少个正方形？ （ ）个 （ ）个
4
五．数角
例 图中共有多少个角？
654
3
2
1
练习
1．下面图形中各有多少条线段？ （ ）个
（ ）个 （ ）个
2．图中共有多少个角? 3．数一数其中共有多少正方形？
（ ）个 （ ）个
o
4．下图中共有多少个长方形? 5．下图共有多少个三角形？
A
B C （）个
（ ）个
6．数一数下图中共有多少梯形？
第三讲 和倍问题
和倍问题是已知大小两个数的和与它们的倍数关系，求大小两个数的应用题.为了帮助我们理解题意，弄清两种量彼此间的关系，常采用画线段图的方法来表示两种量间的这种关系，以便于找到解题的途径。
例1 甲班和乙班共有图书160本.甲班的图书本数是乙班的3倍，甲班和乙班各
有图书多少本？这道应用题解答完了，怎样验算呢？
5
例2：三·一班原来有学生42人，开学时又转来了3名男生，这时男生人数正
好是女生的2倍，三·一班原来有男生多少人？
例3 甲班有图书120本，乙班有图书30本，甲班给乙班多少本，甲班的图书
是乙班图书的2倍？
例4水果店有梨和苹果共250箱。梨卖出40箱，又运进苹果70箱，这时苹果
的箱数正好是梨的2倍。水果店原来有梨和苹果各多少箱？
例5光明小学有学生760人，其中男生比女生的3倍少40人，男、女生各有多
少人？
例6果园里有桃树、梨树、苹果树共552棵.桃树比梨树的2倍多12棵，苹果树比梨树少20棵，求桃树、梨树和苹果树各有多少棵？
例7饲养场养鸡和鸭共360只，养鸡的只数比鸭多2倍，饲养场养鸡，鸭各多
少只？
例8． 549是甲、乙、丙、丁4个数的和.如果甲数加上2，乙数减少2，丙数
乘以2，丁数除以2以后，则4个数相等.求4个数各是多少？
6
习题三
1.小明和小强共有图书120本，小强的图书本数是小明的2倍，他们两人各有图书多少本？
2.果园里一共种340棵桃树和杏树，其中桃树的棵数比杏树的3倍多20棵，两种树各种了多少棵？
3.一个长方形，周长是30厘米，长是宽的2倍，求这个长方形的面积。
4. 甲、乙、丙三个修路队合修一条长1800米的路。任务完成时甲队修的米数是乙队的2倍，乙队比丙队多修200米。甲、乙、丙三个队各修了多少米？
5.甲桶里有油470千克，乙桶里有油190千克，甲桶的油倒入乙桶多少千克，才能使甲桶油是乙桶油的2倍？
6.有3条绳子，共长95米，第一条比第二条长7米，第二条比第三条长8米，问3条绳子各长多少米？
7一个粮食仓库有大米、面粉、玉米共3000千克，其中面粉的重量是玉米的4倍，大米的重量是面粉和玉米总数的2倍。粮仓内在大米、面粉、玉米各多少千克？
8秦奋和妈妈的年龄加在一起是40岁，妈妈的年龄是秦奋年龄的4倍，问秦奋和妈妈各是多少岁？
9甲、乙两架飞机同时从机场向相反的方向飞行，3小时共飞行3600千米，甲的速度是乙的2倍，求它们的速度各是多少？
7
10．弟弟有课外书20本，哥哥有课外书25本。哥哥给弟弟多少本后，弟弟的
课外书是哥哥的2倍？
11．甲、乙两个粮库原来共存粮170吨，后来从甲库运出30吨，给乙库运进
10吨，这时甲库存粮是乙库存粮的2倍，两个粮库原来各存粮多少吨？
12、建筑工地运来水泥和大沙共300吨，其中运来水泥的重量是大沙的4倍还多20吨，建筑工地运来水泥和大沙各多少吨？
13、学校买来篮球和足球共27个，其中篮球的个数比足球的2倍少3个。学校买来篮球和足球各多少个？
14、师傅和徒弟同时加工320个零件，4小时后全部完工，已知师傅的工作效率是徒弟的3倍，师傅和徒弟每小时各加工多少个零件？
15、小明和小红都是集邮爱好者，小明集了76张邮票，小红集了50张邮票。小明送给小红几张后，小红的邮票数是小明的2倍？
16、甲乙两桶油共重176千克。如果从甲桶中倒入乙桶30千克油，这时乙桶油的重量是甲桶油的3倍。甲、乙两桶原来各有油多少千克？
17、甲、乙、丙三人共存款1620元，已知甲存的钱数是丙的3倍，乙存的钱数是丙的2倍，甲、乙、丙三人各存钱多少元？
8
18、某校三年级上期共有280人，本期又从转来12名男生和4名女生，这时的男生人数比女生人数的2倍少61人，三年级上学期男、女生各有多少人？
19、水果店运来两种水果，其中运来的苹果的筐数比梨多1倍，当苹果卖出80筐，梨卖出20筐后，剩下的苹果和梨的筐数正好相等，水果店运来苹果和梨共有多少筐？
20、参加学校合唱团，舞蹈队和美术组的共有344人，其中参加合唱团的人数是舞蹈队人数的2倍多20人，参加舞蹈队的人数比参加美术组的2倍多10人，参加学校合唱团、舞蹈队和美术组的各有多少人？
21、饲养场养鸡、鸭、鹅共412只，其中养鸡的只数比鸭的2倍多16只，养鸭的只数比鹅的3倍少8只，饲养场养鸡、鸭、鹅各多少只？
22、某校一至四年级的同学参加植树活动，4个年级共各树162棵。二年级种的棵数加上2棵，三年级种的棵数减去2棵，一年级种的棵数乘以2，四年级种的棵数除以2，这时4个年级种的棵数相等。这4个年级各种树多少棵？
23、副食店共有白糖和红糖234千克，白糖的千克数正好是红糖的2倍，副食店有红白糖各多少千克？
24、甲、乙两个油桶共存油160千克，如果把乙桶中的油注入甲桶20千克，这时甲桶存油等于乙桶存油的3倍，甲、乙桶原存油各多少千克？
9
25、小智爸爸的工资是妈妈工资历的2倍，他爸爸从工资中花了180元买了一辆自行车，正是好小智父母工资总和的一半，小智爸爸每月的工资是多少元？
26、副食店的白糖千克数除以红糖千克数正好商3，白糖千克数加上红糖千克数再加上商，得数是163。问白糖和红糖各多少千克？
27、李师傅每天生产零件1000个，张师傅每天生产的零件是李师傅的2倍。两位师傅每天生产的零件中，合格的是不合格的90倍，两位师傅每天生产合格零件共多少个？
28、永丰村原有水田320公顷，旱田180公顷。把多少公顷旱田改造成水田，就能使水田的公顷数比旱田的公顷数多3倍？
第四讲 差倍问题
前面讲了应用线段图分析“和倍”应用题，这种方法使分析的问题具体、形象，使我们能比较顺利地解答此类应用题，下面我们再来研究与“和倍”问题有相似之处的“差倍”应用题。
“差倍问题”就是已知两个数的差和它们的倍数关系，求这两个数。 差倍问题的解题思路与和倍问题一样，先要在题目中找到1倍量，再画图确定解题方法，被除数的数量和除数的倍数关系要相对应，相除后得到的结果是一倍量，然后求出另一个数，最后再写出验算和答题。
例1：甲班的图书本数比乙班多80本，甲班的图书本数是乙班的3倍，甲班和
乙班各有图书多少本？
例2：菜站运来的白菜是萝卜的3倍，卖出白菜1800千克，萝卜300千克，剩
下的两种蔬菜的重量相等，菜站运来的白菜和萝卜各是多少千克？
例3：有两根同样长的绳子，第一根截去12米，第二根接上14米，这时第二
根长度是第一根长的3倍，两根绳子原来各长多少米？
10
例4：三（1）班与三（2）班原有图书数一样多，后来，三（1）班又买来新
书74本，三（2）班从本班书中拿出96本送给一年级小同学，这时，三（1）班图书是三（2）班的3倍，求两班原有图书各多少本？
例5：两块同样长的花布，第一块卖出31米，第二块卖出19米后，第二块是
第一块的4倍，求每块花布原有多少米？
例6：路灯队第一天比第二天多运进电线杆120根，第一天运进的根数是第二
天运进根数的3倍，两天各运进电线杆多少根？
例7：甲仓所存大米是乙仓的3倍，从甲仓运走8500千克，从乙仓运走500千
克，两仓所剩的大米千克数相等。问各仓原存大米多少千克？
例8：有两桶重量相等的油，甲桶取出12千克，乙桶加入14千克，这时乙桶
油的重量是甲桶油重量的3倍。两桶油原来各有多少千克？
例9：有甲乙两个人数相等的车间，由于工作需要，从甲车间调120人到乙车间，这时乙车间的人数正好是甲车间人数的4倍，求每个车间原有多少人？
例10：一台彩电的价钱是一台冰箱价钱的3倍，买一台彩电比三台冰箱多用2800
元。一台彩电和一台冰箱各多少元？
例11：水果店运来一批桔子和香蕉，每筐的重量都是45千克，运来的桔子是
香蕉的4倍，其中香蕉比桔子少30筐。水果店运来桔子、香蕉各多少千克？
11
例12：学校买来的白粉笔比彩色粉笔多15箱，白粉笔的箱数比彩色粉笔的4
倍还多3箱，学校买来白粉笔和彩色粉笔各多少箱？
例13：有大、小两个书架，大书架上书的本数是小书架的3倍，如果从大书架
上取出150本放到小书架上，这时，两个书架上书的本数相等。大、小书架上原来各有多少本书？
例14：有甲乙两筐苹果。甲筐苹果的重量是乙筐的3倍，如果从甲筐取出24
千克，从乙筐取出6千克，两筐剩下的重量相等。甲、乙两筐原来各有苹果多少千克？
例15：师傅和徒弟加工同样多的一批零件，师傅加工了62个，徒弟加工了38
个，这个，徒弟剩下的个数是师傅剩下个数的4倍，这一批零件有多少个？
例16：有两根铁丝，第一根长18米，第二根长10米。两根铁丝用去同样长的
一段后，第一根剩下的长度是第二根3倍，两根铁丝各剩下多少米？
例17：姐姐和妹妹各有若干本课外书，如果姐姐给妹妹4本，姐妹俩的书同样
多，如果妹妹给姐姐3本，姐姐的本数是妹妹的3倍，姐妹俩原来各有多少本？
练习四
1、一只大象的体重比一头牛重4500千克，又知大象的重量是一头牛的10倍，
12
一只大象和一头牛的重量各是多少千克？
2、果园里的桃树比杏树多90棵，桃树的棵数是杏树的3倍，桃树和杏树各有多少棵？
3、有两块布，第一块长74米，第二块长50米，两块布各剪去同样长的一块布后，剩下的第一块米数是第二块的3倍，问每块布各剪去多少米？
4、甲、乙两校教师的人数相等，由于工作需要，从甲校调30人到乙校去，这时乙校都是人数正好是甲校教师人数的3倍，求甲、乙两校教师人数正好是甲校教师人数的3倍，求甲、乙两校原有教师各多少人？
5、两筐重量相同的苹果，从甲筐取出7千克，乙筐加入19千克，这时乙筐是甲筐苹果的3倍，问两筐原有苹果多少千克？
6、甲、乙两个数，如果甲数加上320就等于乙数了，如果乙数加上460就等于甲数的3倍，两个数各是多少？
7、有两块同样长的布，第一块卖出25米，第二块卖出14米，剩下的布第二块是第一块的2倍，求每块布原有多少米？
8、大小两个仓库各存粮食若干吨，已知大仓库存粮比小仓库多496吨，又知大仓库存粮是小仓库的3倍，问大小仓库各存粮多少吨？ 9、养鸡专业户养的公鸡比母鸡少279只，养的母鸡是公鸡的4倍，问养的公鸡、母鸡共多少只？
13
10、一个车间原有男工人数比女工多55人。如果调走女工5人，那么男工人数正好是女工的3倍。问原来有男工多少人？
11、两根同样长的电线，第一根用去46米，第二根用去19米，结果所剩的米数，第二根是第一根的4倍。两根电线原来各长多少米？
12、甲乙两个数，如果甲数加上50，就等于乙数；如果乙数加上350，就等于甲数的3倍。甲乙两个数各是多少？
13、有大小两个整百数，大数是小数的4倍，这两个数最高位上数的差是6，问这两个整百数各是多少？
14、学校组织同学样去博物院参观。第一天参观的人数比第二天多240人，已知第一天参观的人数是第二天的3倍。两天去参观的各有多少人？ 15、果园里种了一批苹果树和梨树。种的苹果树的棵树比梨树的2倍多120棵，已知苹果树的棵数比梨树多380棵。果园里种苹果树、梨树各多少棵？
16、一个粮食仓库运来的面粉比玉米多450千克，运来的大米比面粉多360千克，运来大米的重量是玉米的4倍少90千克。粮食内运来大米、面粉、玉粉各多少千克？
17、同样大的两只油桶装满了油，如果从甲桶倒出364千克，从乙桶倒出228千克，这时乙桶中所剩的油的重量是甲桶中所剩重量的2倍，这两只油桶原来各能装油多少千克？
14
18、学校图书馆故事书的本数是科技书的5倍。故事书借走52本，又买来科技书124本，这时两种书的本数相等。学校图书馆原来有故事书、科技书各多少本？
19、有甲、乙两桶水。甲桶水的重量是乙桶的4倍，如果从甲桶倒入乙桶36千克水，这时两桶水的重量相等。甲、乙两桶原来各有水多少千克？
20、甲、乙两个仓库各存水泥若干袋。甲仓库的袋数是乙仓库的3倍，如果从甲仓库运出100袋放入乙仓库后，甲仓库还比乙仓库多60袋。甲、乙两个仓库原来各有水泥多少袋？
21、有两块花布，第一块比第二块多6米，两块花布各用去2米后，第一块花布的长度是第二块的3倍。两块花布原来各有多少米？ 22、今年妈妈的年龄是儿子年龄的5倍多6岁，妈妈有8年前和儿子在12年后的年龄相等。妈妈今年多少岁？
23、某工厂有三个车间。第一车间人数比第二车间多24人，第二车间人数比第三车间少2人，第一车间的人数是第三车间的2倍多8人。三个车间各有多少人？
24、有两筐桔子，如果从第一筐中拿出12个放入第二筐，那么两筐桔子的个数
同样多。如果从第二筐中拿出19个放入第一筐，第一筐桔子的个数就相当于第二筐的2倍，两筐桔子原来各有多少个？
15
25、某人到商店买两件商品。他把其中一件商品标价上个位上的零忽略了，要付给收款员324元，收款员指出了他的错误，并让他照价付了540元。你能算了这件商品的价钱是多少元吗？
第五讲 和差问题
已知两个数的和与两个数的差，求这两个数各是多少的应用题，叫做和差问题。为了解答这种应用题，首先要弄清两个数相差多少的不同叙述方式，有些题目明确给了两个数的差，而有些应用题把两个数的差“暗藏”起来，我们管暗藏的差叫“暗差”。
例1某校五年级和六年级共有324人。六年级的人数比五年级多46人，这个学校五、六年级各有多少人？
例2 甲、乙两个书架共有书480本。如果从甲书架中取出40本放入乙书架中，
这时两个书架上书的本数正好相等。甲乙两个书架原来各有多少本书？
例3 纺织厂第一车间和第二车间共有工人48人，如果从第一车间调出8人到
第二车间，第一车间的人数比第二车间还多2人。两个车间原来各有多少人？
例4 甲、乙两个修路队4天共修路264米，又知甲队每天比乙队多修6米。
甲、乙两个修路队每天各修多少米？
例5甲、乙两桶油共重62千克，如果从乙桶倒出12千克油，甲桶比乙桶多10
千克。甲、乙两桶原来各有油多少千克?
例6同学们积极参加学校美术、书法和航模兴趣小组。其中参加美术和书法小组
16
的有86人，参加美术和航模小组的有80人，参加书法和航模小组的有90人。参加美术、书法和航模小组的各有多少人？
例7建筑工地运来水泥、石子和细沙三种建筑材料共300吨，已知运来的水泥比石子多50吨，运来的石子比细沙多20吨。工地运来水泥、石子和细沙各多少吨？
例8 两筐水果共重150千克，第一筐比第二筐多8千克，两筐水果各多少千克？
例9今年小强7岁，爸爸35岁，当两人年龄和是58岁时，两人年龄各多少岁？
例10 小明期末考试时语文和数学的平均分数是94分，数学比语文多8分， 问语文和数学各得了几分？
例11 甲乙两校共有864人，为了照顾学生就近入学，从甲校调入乙校32名同学，这样甲校学生还比乙校多48人，问甲、乙两校原来各有学生多少人？
练习五
1、两个连续的奇数之和是100，求这两个奇数
2、师傅和徒弟一共生产160个零件，师傅比徒弟多生产了40个，师傅和徒弟各生产了多少个零件？
3、粮仓运来面粉和大米共4820千克，面粉比大米多20袋，每袋重50千克。粮仓运来面粉、大米各多少千克？
17
4、两筐苹果共有180个，从乙筐中拿出15个放入甲筐，这时两筐苹果的个数相等。甲乙两筐原来各有苹果多少个？
5、甲乙两桶油共重196千克，从甲桶往乙桶倒10千克后，还比乙桶多2千克。甲桶和乙桶原来各有油多少千克？
6、两块花布共有24米，第一块用去3米，第二块用去2米，这时第一块比第二块还多3米，两块花布原来各有多少米？
7、学校为失学儿童捐款，一班和二班捐款384元，二班和三班捐款420元，一班和三班捐款378元。三个班各捐款多少元？
8、光明农场三块地共816公亩。第一块比第二块少48公亩，第二块比第三块多54公亩。三块地各有多少公亩？
9、小强和爸爸、妈妈今年的年龄和是90岁，已知爸爸比妈妈大5岁。妈妈比小强大26岁。今年小强和爸爸、妈妈的年龄各是多少岁？
10、小明、小红和小芳一共做了72道数学题，小明比小红多做了8道题，小芳做的比小明和小芳做的总数少12题。三人各做了多少道题？ 11、果园里有桃树和梨树共150棵，桃树比梨树多20棵，两种果树各有多少棵？
18
12、甲、乙两桶油共重30千克，如果把甲桶中6千克油倒入乙桶，那么两桶油
重量相等，问甲、乙两桶原有多少油？
13、用锡和铝制在500千克的合金，铝的重量比锡多100千克，锡和铝各是多
少千克？
14、某工厂去年与今年的平均产值为96万元，今年比去年多10万元，今年与
去年的产值各是多少万元？
15、甲、乙两个学校共有1245人，如果从甲校调20人去乙校后，甲校比乙校
还多5人，两校原有学生各有多少人？ 16、三个物体平均重量是31千克，甲物体比乙、丙两个物体重量之和轻1千克，乙物体比丙物体重量的2倍还重2千克，三个物体各重多少千克？ 17、甲、乙两个工程队共有1980人，甲队为了支援乙队，抽出285人加入乙队，这时乙队人数还比甲队少24人，求甲、乙两队原有工人多少人？
18、四年级有3个班，如果把甲班的1名学生调整到乙班，两班人数相等；如
果把乙班1名学生调到丙班，丙班比乙班多2人，问甲班和丙班哪班人数多？多几人？
第六讲 年龄问题
19
年龄问题是小学数学中常见的一类问题，例如：已知两个人或若干个人的年龄，求他们年龄之间的某种数量关系等等，年龄问题又往往是和倍、差倍、和差等问题的综合，它有一定的难度，因此解题时需抓住其特点。
年龄问题的主要特点是：大小年龄差是个不变的量，而年龄的倍数却年年不同，我们可以抓住差不变这个特点，再根据大小年龄之间的倍数关系与年龄之和等条件，解答这类应用题。解答年龄问题的一般方法是：
几年后年龄＝大小年龄差÷倍数差－小年龄， 几年前年龄＝小年龄－大小年龄差÷倍数差。
例1：今年小刚和小强的年龄和是25岁，四年后，小刚比小强大3岁。今年小
刚和小强各多少岁？
例2：爸爸今年34岁，小明今年6岁。当小明几岁时爸爸的年龄正好是他年龄
的3倍？
例3：小龙今年4岁，爸爸今年36岁。几年后爸爸的年龄是小龙年龄的3倍？
例4：姐姐今年22，妹妹今年15岁。几年前，姐姐的年龄是妹妹的2倍？
例5：妈妈今年的年龄是女儿年龄的2倍，女儿10年后的年龄和妈妈16年前
的年龄一样大，今年妈妈和女儿的年龄各是多少岁？
例6：哥哥与弟弟四年后的年龄和是29岁，弟弟今年的年龄正好等于两人的年
龄差，哥哥和弟弟今年各是多少岁？
例7：小强今年11岁，哥哥今年16岁，当兄弟两人年龄的和是47岁时，小强
与哥哥的年龄各是多少岁？
例8：甲5年前的年龄与乙7年后的年龄相等，甲4年后与乙3年前的年龄和
是43岁。甲、乙今年各是多少岁？
20
例9：小军今年8岁，她爸爸今年34岁。小军多少岁时，爸爸的年龄正好是她
的3倍？
例10：奶奶今年64岁，孙女今年13岁。多少年后奶奶的年龄等于孙女年龄的
4倍？
例11：姐姐今年13岁，弟弟今年9岁，当姐弟俩岁数的和是40岁时，两人
各应该是多少岁？
例12：父亲今年49岁，女儿今年23岁。几年前父亲的岁数是女儿的3倍？
例13． 在一个家庭里，现在所有成员的年龄加在一起是73岁.家庭成员中有父
亲、母亲、一个女儿和一个儿子.父亲比母亲大3岁，女儿比儿子大2岁.四年前家庭里所有的人的年龄总和是58岁.现在家里的每个成员各是多少岁？
例14． 10年前吴昊的年龄是他儿子年龄的7倍.15年后，吴昊的年龄是他儿子
的2倍.现在父子俩人的年龄各是多少岁？
例15 甲对乙说：“我在你这么大岁数的时候，你的岁数是我今年岁数的一半.”
乙对甲说：“我到你这么大岁数的时候，你的岁数是我今年岁数的2倍减7.”问：甲、乙二人现在各多少岁？
练习六
1、今年兄弟两人的年龄和是26岁，三年后，哥哥比弟弟大4岁。今年兄弟两人各多少岁？
2、今年姐姐的年龄是妹妹的2倍，两年后姐姐比妹妹大6岁。今年 姐姐和妹
21
妹各是多少岁？
3、小刚今年4岁，爸爸今年34岁。几年后爸爸的年龄是小刚年龄的4倍？
4、父亲今年40岁，儿子今年16岁。几年前父亲的年龄正好是儿子的3倍？
5、小芳今年8岁，妈妈今年38岁，妈妈多少岁时是小芳年龄的3倍？
6、小明今年14岁，爸爸今年41岁，几年前爸爸的年龄比小明大3倍？
7、今年哥哥的年龄是弟弟年龄的3倍，3年前哥哥的年龄等于3年后弟弟的年龄，今年哥哥和弟弟各多少岁？
8、甲6年前的年龄等于乙8年后的年龄，甲今年的年龄是乙今年年龄的3倍。今年甲、乙的年龄各是多少？
9、今年小红与妈妈年龄的和是64岁，妈妈的年龄比小红的3倍小8岁。今年小红与妈妈的年龄各是多少岁？
10、姐姐5年前的年龄与弟弟7年后的年龄相等，姐姐4年后的年龄与弟弟3年前的年龄和是35岁。今年姐、弟两人各多少岁？
11、妈妈10年前的年龄是女儿年龄的7倍，妈妈15年后的年龄是女儿年龄的2倍。今年妈妈和女儿各多少岁？
22
12、今年哥哥的年龄是弟弟年龄的4倍，24年后，哥哥的年龄比弟弟的年龄的2倍少16岁，今年哥哥和弟弟各多少岁？
13、兄弟俩今年的年龄和是30岁，当哥哥像弟弟现在这样大时，弟弟的年龄恰好是哥哥年龄的一半，哥哥今年几岁？
14、赵、田、钱、李、吴五位老师，赵老师比田老师大4岁，钱老师比赵老师大3岁，李老师比赵老师小3岁，吴老师比钱老师小2岁，这五位老师的年龄加在一起是122岁，问：五位老师各是多少岁？
15、哥哥6年前的岁数等于弟弟8年后的岁数，哥哥5年后与弟弟3年前的年龄和是38岁，求兄弟二人今年各几岁？
16、母女的年龄和是64岁，女儿年龄的3倍比母亲大8岁，求母女二人的年龄各是多少岁？
17、哥哥今年比小丽大12岁，8年前哥哥的年龄是小丽的4倍，今年二人各几岁？
18、爷爷今年72岁，孙子今年12岁，几年后爷爷的年龄是孙子的5倍？几年前爷爷的年龄是孙子的13倍？
19、小浩今年16岁，妈妈今年46岁。小浩多少岁时，妈妈的年龄是小浩年龄的4倍？
23
20、小浩今年16岁，奶奶今年80岁。奶奶多少岁时，正好是小浩年龄的9倍？
21、小浩今年16岁，爸爸今年47岁。多少年后爸爸的年龄正好是小浩年龄的2倍？
22、小浩今年16岁，姐姐今年21岁。当姐弟俩岁数的和是65岁时，两人各是多少岁？
23、小浩今年16岁，爷爷今年81岁。几年前爷爷的岁数是小浩的6倍？
24、小浩打苍蝇60只，小军打苍蝇12只。如果两个人都再打等量的苍蝇，则小浩所打的苍蝇等于小军所打的4倍，再打的苍蝇是多少只？
第七讲：图解法
把应用题中的已知条件和问题用画图的形式表示出来，使问题的内容具体形象，便于我们理解题意，分析题目中的数量关系，以便迅速地找到解题的方法，叫做图示法。
例1 甲乙两个修路队各修同样长的一段路。甲队修了54米，乙队修了78米。
这时甲队剩下的米数是乙队的3倍。两段路原来各长多少米？
例2 有花布和白布各一块，已知花布比白布多9米。当白布用去3米之后，
花布比白布多的米数正好是白布剩下米数的一半。花布和白布原来各有多少米？
24
例3 有三筐苹果。已知第一筐苹果的重量是第二筐重量的一半，第二筐比第
三筐少18千克，第三筐苹果的重量是第一筐的5倍。三筐苹果的重量共有多少千克？
例4 开学前，学校买了5箱白粉笔和3箱彩色粉笔，共用去525元。已知每
箱彩色粉笔比每箱白粉笔贵55元。每箱彩色粉笔和每箱白粉笔各多少元？
例5 三·一班有46名同学，全部参加了学校课外活动兴趣小组。其中参加合
唱队的有34人，参加鼓号队的有25人，两个队都参加的有多少人？
例6 三·二班在期末考试中有28人语文成绩获得了优秀，有32人数学成绩
获得优秀，其中语文、数学都获得优秀的有16人，另外还有4人语文、数学都没有获得优秀。三·二班共有学生多少人？
例7 一块长方形土地，从长边截去10米长的一块种蔬菜，剩下的地准备种小
麦，正好是一个正方形。已知小麦地的周长是96米，原来长方形土地的周长多少米？
例8 一个正方形苗圃的周长是40米，如果边长增加4米，面积增加多少平方
米？
例9 有一块长24分米，宽12分米的三合板。木工师傅沿着长边靠近中点处
（不挨着中点）据掉一块边长是5分米的正方形，求剩余部分的周长是多少？
25
例10 南、北村分别在一条南北公路的两端，而东、西村正好分别在一条东西
公路的两头。甲从西村向东村走，每分行80米，西村离交叉点1200米。乙从南村向北村走，每分行100米，甲、乙同时出发，甲比乙早到交叉点1分，求出发后18分时，乙超过交叉点多少米？
例11 三年级一班有42人，全班都订了杂志。订了“少年文艺”的有38人，
订“少年科学画报”的有24人。两种杂志都订的多少人？
练习七
1．有两块同样长的布，第一块用去32米，第二块用去20米。结果所剩的米数第二块是第一块的3倍，两块布原来各长多少米？
2．副食店里原有的白糖比红塘多200千克，当卖出红塘50千克时，白糖比红塘多的千克数正好是红塘所剩千克数的一半，原来有白糖和红塘各多少千克？
3．用96元买了同样的3件上衣和4条裤子，又知3件上衣的总价比3条裤子的总价贵33元，求上衣和裤子的单价？ 4．一块长方形玻璃，从长边截去2分米宽的一块，剩下的玻璃只好是个正方形，它的周长是16分米，问原来玻璃的周长是多少分米？
5．三（1）班同学参加学校运动会，参加田赛的有26人，参加径赛的有30人，以上这两项都参加的有12人，这两项都没参加的有4人，问全班有学生多少人？
6．甲在南北的路上，由南向北行进；乙在东西的路上，由西向示行进。甲出发的地点在两条路交叉点南1120米，乙从交叉点出发。两人同时开始行进，4分后甲、乙两人所在的位置与交叉点等远（这时甲仍在交叉点南）；再经过
26
52分后，两人所在的位置又距交叉点等远（这时甲已在交叉点北）。问甲、乙二人每分各行多少米？
7．甲、乙两个书架上有相同本数的书。如果从甲书架中取出30本书，从乙架中取出12本书，乙书架中剩下的本数相当于甲书架的4倍。甲、乙两个书架中原来各有书多少本？
8．机床厂第一车间有31人，第二车间有23人。因工作需要，要使第一车间的人数是第二车间的2倍，应从第二车间调多少人到第一车间？
9．小明三天读完一本74页的故事书，第一天比第二天少读5页，第二天比第三天少读7页。小明第一天读了多少页？
10．四个人的年龄之和是77岁，最小的10岁，最小的与最大的两人的年龄和
比另外两人的年龄和大7岁。最大的年龄是多少岁？
11．三年级一班的同学订《中国少年报》的有34人，订《小学生学习报》的有
38人，其中两种报纸都订的有28人。三年级一班有学生多少人？
12．养鸡专业户养了240只鸡，其中有90只小鸡，有180只母鸡，35只公鸡。
其中养的小母鸡有多少只？ 13．一块边长15分米的正方形木板，沿着它的一条边在中间锯掉一块长5分米的正方形，剩下木板的周长是多少分米？
14．一块长方形地，如果长增加4米，宽增加3米，面积都比原来增加48平方
米。这块长方形地的面积是多少平方米？
27
第八讲 鸡兔同笼问题
例1：（古典题）鸡兔同笼，头共46，足共128，鸡兔各几只？
例2：鸡与兔共有100只，鸡的脚比兔的脚多80只，问鸡与兔各多少只？
例3：红英小学三年级有3个班共135人，二班比一班多5人，三班比二班少7
人，三个班各有多少人？
例4 老师带了41名同学去北海公园划船，共租了10条船，每条大船坐6人，
每条小船坐4人，问大船、小船各租几条？
例5：有蜘蛛、蜻蜓、蝉三种动物共18只，共有腿118条，翅膀20对（蜘蛛8
条腿；蜻蜓6条腿，两对翅膀；蝉6条腿，一对翅膀），求蜻蜓有多少只？
练习八
１．小华用二元五角钱买了面值二角和一角的同上邮票共１7张， 问两种邮票
各买多少张？
2．有鸡兔共20只，脚44只，鸡兔各几只？
3．松鼠妈妈采松子，晴天每天可采20个，雨天每天可采12个，它一连几天采
了112个松子，平均每天采14个，问这几天当中有几天有雨？
28
4．蜘蛛有8条腿，蝴蝶有6条腿和2对翅膀，蝉有6条腿和一对翅膀，现有这三种动物共21只，共140条腿和23对翅膀，问蜘蛛、蝴蝶、蝉各有几只？
5．体育老师买了运动服上衣和裤子共21件，共用了439元，其中上衣每件24元，裤子每件19元，问老师买上衣和裤子各多少件？
6．鸡、兔共笼，鸡比兔多26只，足数共274只，问鸡、兔各几只？
第九讲：假设法
“假设”是一种重要的数学思想。列方程解应用题，把未知数设为X；有关倍数应用题，常常假定一个数量为“1倍”或“1”份；解答分数、百分数应用题，把一个数量假定为单位“1”。这些都是假设法的广泛应用。我国古代的“鸡兔同笼”、“百僧分馍”等问题，都是用假设法解答的典型应用题。
例1 在一个停车场上，现有的车辆数是24辆。其中汽车是4个轮子，摩托车
是3个轮子，这些车共有86个轮子。那么，三轮摩托车有多少辆？
例2 某车站售出汽车月票若干张。每张学生票6元，每张成人票14元；售出
的学生票比成人票多700张，售出的成人票比学生票多6200张。问售出的成人票与学生票各多少张？
例3甲、乙两个小朋友各有糖若干粒。如果乙给甲16粒，甲的糖就是乙的2
倍；如果甲给乙9粒，乙的糖就是甲的3倍。求甲、乙两人原有糖各有多少粒？
例4在春季植树活动中，少先队把96棵树苗分给一、二、三中队栽，已知一中
队比二中队少栽12棵，三中队比二中队多栽18棵，三个中队各栽多少棵？
29
例5某水果批发店运进140筐苹果，比桔子的筐数的2倍少40筐，求运进桔子
多少筐？
例6某校三、四年级的学生共有432人，其中三年级的人数是四年级的2倍少33人，求两个年级各有多少人？
例7学校买回4个篮球和5个排球，一共用了185元，一个篮球比一个排球贵
8元，问每个篮球和排球各是多少元？
例8学校组织学生春游，到了公园，三（1）班的学生去划船，全班46人，一
共租了10只船，其中大船坐6人，小船坐4人，问大船和小船各几只？
例9甲、乙两人进行数学比赛，约定算对一题得10分，错一题扣3分，甲和乙
各算了10题，共得122分，已知甲比乙多得26分。问甲和乙各算对了多少道题？
例10三堆煤共重100吨。已知第二堆比第一堆多7吨，第三堆的重量比第一堆
的2倍少2吨。三堆煤各有多少吨？
练习九
1．果园里有梨树78棵，比桃树棵数的2倍少18棵。桃树有多少棵？
2．粮店运来大米和面粉共168袋，其中大米的袋数比面粉的袋数的3倍少4袋。运来大米和面粉各多少袋？
3．建筑工人分为甲、乙两队，如果甲队调出150人转入乙队，那么两队人数相等；如果乙队调出100人转入甲队，甲队人数就是乙队的3倍。甲、乙两队原来各有多少人？
30
4．儿童玩具厂生产了红、黄、白3种颜色的小汽车共400辆，其中红色的是黄色的4倍，白色的比黄色的多40辆。3种颜色的小汽车各生活了多少辆？
5．买5张桌子和10把椅子，共用400元，买1张桌子和2把椅子的价钱正好相等，求每张桌子和每把椅子的价格。
第十讲 盈亏问题
解盈亏问题，常常用到比较法。
例1：三年级一班少先队员参加学校搬砖劳动，如果每人搬4块砖，还剩7块；
如果每人搬5块，则少2块砖，这个班少先队有几个人？要搬的砖共有多少块？
例2：妈妈买回一筐苹果，按计划吃的天数算了一下，如果每天吃4个，要多
出48个苹果；如果每天吃6个，则又少5个苹果，那么妈妈买回的苹果有多少个？计划吃多少天？
例3：学校规定上午8时到校，小明去上学，如果每分钟走60米，可提早10
分钟到校；如果每分钟走50米，可提早8分钟到校，求小明几时几分离家刚好8时到校？由家到学校的路程是多少？
例4：学校为新生分配宿舍，每个房间住3人，则多出23人；每个房间住5人，
由空出3个房间，问宿舍有多少间？新生有多少人？
例5：少先队员去植树，如果每人种5棵，还有3棵没人种；如果其中2人各
种4棵，其余的人各种6棵，这些树苗正好种完，问有多少先队员 参加植树，一共种多少树苗？
31
例6：红山小学学生乘汽车到香山春游，如果每车坐65人，则有5人不能乘上
车；如果每车多坐5人，恰多余了一辆车，问一共有几辆汽车，有多少学生？
练习十
1、阿姨给幼儿园小朋友分饼干，如果每人分3块，则多出16块饼干；如果每人分5块，那么就缺4块饼干，问有多少小朋友，有多少块饼干？
2、某校同学排队上操，如果每行站9人，则多37人；如果每行站12人，则少
20人，一共有多少学生？
3、小强由家里到学校，如果每分钟走50米，上课就要迟到3分钟；如果每分钟走60米，就可以比上课时间提前2分钟到校，小强家到学校的路程是多少米？
4、少先队员参加绿化植树，他们准备栽的苹果树苗是梨树苗的2倍，如果每人栽3棵梨树苗，还余2棵；如果每人栽7棵苹果树苗，要少6棵，问有多少少先队员？他们准备栽多少棵苹果树和梨树？
5、学校进行大扫除，分配若干人擦玻璃，其中两人各擦4 块，其余各擦5块，则余12块；若每人擦6块，则正好擦完，求擦玻璃的人数及玻璃的块数？
6． 幼儿园购回一批苹果，如果每班分6千克，则多出7千克，如果每班分8
千克，则差11千克。问幼儿园有几个班？这批苹果有多少千克？
7．三（2）班学生在“学赖宁，做好事”的活动中，为学校基建搬砖。如果每
32
人搬4块砖，则还多37块；如果每人搬6块砖，则还差43块。问三（2）班有学生多少人？要搬的砖一共有多少块？
8．为了奖励数学竞赛的优胜者，学校买回一些书。如果每人发了9本则少25本，如果每人发6本则少7本。问得奖的学生有几人？买回的图书有多少本？
9．学校分配学生宿舍，如果每个房间住12人，则有34人没房住；如果每个房间住14人，则空出世个房间。问学生宿舍有多少间？住宿学生有多少人？
10．课外活动跳绳比赛，其中2组各借跳绳4根，其余的组各借5根，这样分配到最后还多12根；如果每组借6根，这样恰好借完，求有多少个组参加比赛？跳绳共有多少根？
11．少先队员帮助乡里植树，其中有3个人各分树苗4棵，其余的每人分3棵，这样最后还多树苗11棵；如果1人先分3棵，其余的每人5棵，则树苗恰好分完，求少先队员有多少人？共有多少棵树苗？
12．为绿化校园，学校运回一批树苗。派六（1）班几名男生去搬。如果每人搬5棵，还剩下10棵；如果每人搬7棵，就差4棵。六（1）班派几名男生去搬树？学校运回树苗共有多少棵？
13．学校举行广播操比赛，每班挑选部分学生参加。五（2）班参赛的学生，如
果每行站8人，则多7人；如果每行站14人，则有一行少5人。问排也了多少行？五（2）班参加广播比赛有多少人？
33
14．生物小组的同学制作树叶标本。老师拿出一些树叶发给学生。如果每人发14片，则缺19片；如果每人发12片，则缺11片。生物小组有多少人？共有多少片树叶？
15．张大爷推着一筐鱼去集市，用塑料袋分装着卖。如果每袋装3条，则多出15条；如果每袋装5条，则多出3条。张大爷有几个塑料袋？共有多少条鱼？
16．暑期里，学校组织师生去韶山参观，安排住宿时，每个房间住3人，则多出20人，如果每个房间住5人，恰恰安排满。问房间和师生各有多少？
17．光明村组织村民到荒坡上植树。其中有5人各植4棵，余下的各值3棵，
最后还多26棵；如果其中3人每人植3棵，余下的人各植5棵，最后余下3棵。参加植树的有多少人？共要植多少棵树？
18．学校组织同学们去东湖游玩。如果在5条船上每船坐3人，其余的4人坐
一船，则有5人无船可乘；如果在4条船上每船坐6人，其余的3人坐一船，则最后空着一条船无人乘。船有多少条？这生有多少人？ 19．“六一”儿童节，为了奖励优秀队员，三（1）班买回一批铅笔。如果每人分2支，则多3支；如果每人分3支，则差9支。要奖励的优秀队员有几人？买回的铅笔有多少支？
34
第十一讲 逻辑推理问题
在有些问题中，条件和结论中不出现任何数和数字，也不出现任何图形，因而，它既不是一个算术问题，也不是一个几何问题。逻辑推理问题和我们常见的数学题不同，解答时不需要或很少用到计算。而要求我们根据题目中给出的已知条件，通过分析和判断，得出正确合理的结论。这一讲就同学们在生活和学习中常遇到的一些实际问题来谈谈逻辑推理的方法。
例1：在一桩谋杀案中，有两个嫌疑犯甲和乙，另有四个证人正有受讯问。
第一个证人说：“我只知道甲是无罪的。” 第二个证人说：“我只知道乙是无罪的。” 第三个证人说：“前面两个证词中至少有一个是真的。” 第四个证人说：“我可以肯定第三个证人的证词是假的。”
通过调查研究，已证实第四个证人说了实话，请你分析一下，凶手是谁？
例2：某车间新调来三名青年工人，车间赵主任问他们三人的年龄。
小刘说：“我22岁，比小陈小2岁，比小李大1岁。” 小陈说：“我不是年龄最小的，小李和我差3岁，小李是25岁。” 小李说：“我比小刘年岁小，小刘23岁，小陈比小刘大3岁。”
这三位青年工人在他们每人说的三句话中，都有一句是错的。请你帮助赵主任分析出他们三人各是多少岁？
例3：四个人打桥牌，某人手中有13张牌，
四种花色样样都有，四种花色的张数互不相同。
红桃和方块共5张，红桃与黑桃共6张，有两张将牌（主牌）。 试问这副牌以什么花色的牌为主牌？
例4：有三个盒子，甲盒装了两个1克的砝码，乙盒装了两个2克的砝码，丙盒装了一个1克、一个2克的砝码。每只盒子外面所贴的标明砝码重量的标签都是错的。聪明的小明只从一个盒子里取出一个砝码，放到天平上称了一下，
35
就把所有标签都改正过来了。你知道这是为什么吗？
例5：丁丁、光光和园园三位小朋友分别出生在上海、北京和广州三个城市中。
已知：（1）丁丁从未到过上海；
（2）上海出生的小朋友不叫光光； （3）光光不出生在广州。
问：三个小朋友各出生在哪里？
例6：甲、乙、丙三位老师分别教语文、数学、外语课。已知：
（1）每个老师只教一门课； （2）甲上课全用汉语；
（3）外语老师是一个学生的哥哥；
（4）丙是一位女教师，她比数学老师活泼。 请问：三位老师各上什么课？
例7：图中有三个六面体，每一个六面体上A、B、C、D、E、F六个字母的排
列顺序完全相同。判断图中A、B、C三个字母的对面各是什么字母。 E A C
B C A F D E 36
（1） （2） （3）
例8：甲、乙、丙、丁四位同学进行一百米赛跑。赛后，甲、乙、丙三位同学
说了以下几句话，丁没有说话。甲：丙第一名，我第三名；乙：我第一名，丁第四名；丙：丁第二名，我第三名。比赛成绩公布后，发现他们都只说对了一半，你能说出他们的名次是如何排列的吗？
例9：爸爸给小明甲、乙、丙三个纸盒，盒子里分别装有“两个红球”，“两个
白球”和“一个白球一个红球”。爸爸告诉小明盒子上的标签全部贴错了（即盒内装的球全部与标签不符）。聪明的小明只从一个盒子里取出一个球，就对三个盒子装的球进行了正确的判断。你知道小明是从哪只盒子里取的球？
例10：甲、乙、丙、丁与小华五个人参加乒乓球比赛，每两个都要赛一盘。
到现在为止， 甲已经赛了四盘， 乙赛了三盘，
丙赛了两盘， 丁赛了一盘。
问小华已经赛了几盘？
37
例11 在一次国际交往活动中，甲、乙、丙、丁四位朋友进行交谈，使用了中、
英、法、日四种语言，并知道有如下的情况：
（1）甲、乙、丙都会讲两种语言，而丁只会讲一种语言； （2）有一种语言，四人中有三人会讲；
（3）甲会讲日语，丁不会讲日语，乙不会讲英语；
（4）甲与丙、丙与丁不能直接交谈，乙与丙可以直接交谈； （5）没有人既会讲日语，又会讲法语。 问：甲乙丙丁四人各会讲什么语言？
练习十一
1、小王、小张和小李原来是邻居，后来当了医生、教师和战士。 只知道：小李比战士年纪大，小王和教师比小张年龄小。 请同学们想一想：谁是医生，谁是教师，谁是战士？
2、一位法官在审理一起盗窃案中，对涉及到的四名嫌疑犯甲、乙、丙、丁进行了审问。四人分别供述如下： 甲说：“罪犯在乙、丙、丁三人之中。” 乙说：“我没有做案，是丙偷的。” 丙说：“在甲和丁中间有一人是罪犯。” 丁说：“乙说的是事实。”
经过充分的调查，主宰这四人中有两人说了真话，另外两人说的是假话。 同学们，请你做一名公正的法官，对此案进行裁决，确认谁是罪犯？
38
3、某地质学院的学生对一种矿石进行观察和鉴别： 甲判断：不是铁，也不是钢。 乙判断：不是铁，而是锡。 丙判断：不是锡，而是铁。
经化验证明：有一个人的判断完全正确，有一个说对了一半，而另一个完全说错了。你知道三人中谁是对的，谁是错的，谁是只对一半的吗？
4、有一正方体，每个面分别写有汉字数、学、奥、林、匹、克。有三名同学从不同角度观察的结果如图所示。问这个正方体的每一个汉字的对面各是什么字？
匹 林 数
奥 数 学 匹 学 克
（a） （b） （c）
5、数学竞赛后，小明、小华和小强各获得一枚奖牌，其中一人得金牌，一人得银牌，一人得铜牌。 老师猜测：“小明得金牌，
小华不得金牌， 小强不得铜牌。”
结果老师只猜对了一个，那么谁得金牌，谁得银牌，谁得铜牌？
39
6、三年级三个班级举行数学竞赛。
小明猜想比赛的结果是：2班第一名，1班第二名，3班第三名； 小华猜想的比赛名次是：1班，2班，3班。 比赛结果只有小华猜的2班第二名是对的。 问比赛的名次如何排列？
7、期末考试，小明、小刚、小王三个人取得了数学、语文、外语三门课前三名的全部名次，而且每个人分别有一个第一，第二和第三。已知小明取得数学第一，小刚取得语文第二。请在下列表中填出他们各科的名次。
名 姓 次 小明 小刚 小王 名 科 目 1 数学 2 语文 外语
8、图中四个相同的正方体按相同的顺序在上面写数字1～6， 1 然后加图叠加，问1、2、3的对面分别是什么数字？ 2 3
4 1
5 1
2 4
9、甲、乙、丙、丁四人进行游泳比赛。赛前名次众说不一。 有的说：甲第二名，丁第三名。 有的说：甲第一名，丁第二名。 有的说：丙第二名，丁第四名。
实际上，上面三种说法各对了一半。问甲、乙、丙、丁各是第几名。
40
10、老师拿来五顶帽子，两顶红的，三顶白的，他让甲、乙、丙三位同学按 甲、乙、丙的顺序排成一路纵队，并闭上眼睛，然后分别给他们戴上一顶，同时将余下的藏起来。当他们睁开眼睛后，乙和丙都判断不出自己戴的什么帽子，而站在最前面的甲依此判断出了自己帽子的颜色。
11、A、B、C、D四个篮球队一起进行比赛，每两队都要赛一场，到现在为止，A已赛了3场，B赛了2场，D赛了1场。问C赛了几场？
12．学校举行数学比赛，甲、乙、丙、丁、戊五位老师，对一贯刻苦学习的A、B、C、D、E五位同学，事先就作了如下的估计：
老师甲：B第三名，C第五名； 老师乙：E第四名，D第五名； 老师丙：A第一名，E第四名； 老师丁：C第一名，B第二名；
老师戊：A第三名，D第四名。 比赛结束扣，这五名学生果然是前五名，且每一个名次，都有老师猜中了。试求各人的名次。
13． 赵老师不在的时候，有一名同学把拾到的手表放在老师的办公桌上。大家都知道，这是冬冬、丹丹和菲菲三人中的一个人做的好事。教师找他们三人来问：“这是谁做的好事呢？” 冬冬说：“是丹丹干的。”
41
丹丹说：“不是我干的。” 菲菲也说：“不是我干的。”
如果他们三人中，有两人说的是假话，只有一个人说的是真话，你能判断出好事是谁干的吗？
14 有三个颜色分别是红、黄、蓝的盒子，每只盒子外面各有一句话（如下图所示），这三句话中只有一句是真的，你能判断出宝石放在哪个盒子里吗？
黄盒 红盒 蓝盒 宝石在此 宝石不在此 宝石不在黄盒内
第十二讲 用逆推法解还原问题
有些应用题解法的思考，是从应用题所叙述事情的最后结果出发，利用已知条件一步一步倒着分析推理。追根究底，逐步靠拔所求，直到解决问题。这种思考问题的方法，通常我们把它叫做倒推法。有些应用题，数量关系比较复杂，但数量间的因果联系却非常，往往可以从最后的结果出发，根据题意，倒着往回推，从而找到问题的答案，这种特殊的思考方法我们叫做倒推还原法。 例1：一篮李子，第一天从中拿出一半又两个，第二天拿出余下的一半又四个
后，篮子就空了，篮子里原有多少个李子？
例2 一个农妇卖鸡蛋，第一次卖了一篮鸡蛋的一半又3个，第二次卖了剩下
鸡蛋的一半又2个，第三次卖了剩下的一半又1个，最后还剩1个鸡蛋。问篮里原有鸡蛋多少个？
例3 在做一道加法题时，小马虎把个位上的5看作3，把十位上的6看作9，
结果得出的和为210，你能纠正小马虎的错误，找出正确的答案应该是
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多少？
例4 一个数加上7，乘以7，减去7，除以7，结果还是7，你猜猜这个数是多少？
例5 巧克力糖72粒，分给甲、乙、丙三个小朋友。分配完毕时，甲觉得自己
分得太多，就给了乙、丙若粒糖，使他们每人所有的糖的粒数加倍；这时乙又觉得自己分得太多，也拿出些糖给甲与丙，使他们各自所有的糖的粒数加倍；最后，丙又觉得自己分得糖太多，照样给甲、乙一些糖，使他们所有的糖的粒数加倍，这样一来，三人所得到的糖的粒数就相等了，问：原来三人各分得多少粒巧克力糖？
例6一捆电线，第一次用去全长的一半多3米，第二次用去余下的一半少10
米，第三次用去15米，最后还剩7米，这捆电线原有多少米？
例7 袋子里有若干个球，小明每次拿出其中的一半丙放回一个球，一共做了
五次，袋中还有3个球，问：原来袋中有多少个球？
例8 有一个财迷总想使自己的钱成倍增长，一天他在一座桥上碰见一个老人，
老人对他说：“你只要走过这座桥再回来，你身上的钱就会增加一倍，但作为报酬，你每走一个来回要给我32个铜板。”财迷算了算挺合算，就同意了。他走过桥去又走回来，身上的钱果然增加了一倍，他很高兴地给了老人32个铜板。这样走完第五个来回，身上的最后32个铜板都给了老人，一个铜板也没剩下。问：财迷身上原有多少个铜板？
例9 甲、乙、丙三个港口各停小船若干只。第一次从甲港分别开出和乙港、丙
港同样多的船只到乙港和丙港。第二次又从乙港分别开出和甲港、丙港同样多的船只到甲港和丙港。第三次又从丙港开出和甲港、乙港同样多的船
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只分别到甲港和乙港。经如上的移动后，三港停泊的船只都是16只，问：甲、乙、丙三港最初各有小船几只？
例10 小刚、小强、小华和小真共有60本课外书。小刚的书的本数的5倍，小
强的书减去1本，小华的书加上4本，与小真的书的一半都相等。小刚、小强、小华和小真原来各有课外书多少本？
例11 一个粮仓有大米若干袋，第一次运出大米的一半多10袋，第二次运出余
下的一半多10袋，第三次又运出余下的一半多10袋，这时粮仓内还剩下10袋大米，每袋大米重50千克。这个粮仓原来一共有大米多少千克？
练习十二
1．妈妈从市场买回若干营养火腿肠，第一天吃了全部的一半又1根，第二天吃了余下的一半又1根，第三天又吃了余下的一半又1根，恰好吃完，妈妈从市场买回多少根营养火腿肠？
2．有砖26块，兄弟二人争着去挑。弟弟抢在前面，刚摆好砖，哥哥赶到了。哥哥看到弟北挑得太多，就抢过一半，弟弟不服，又从哥哥抢走一半，哥哥不肯，弟弟只好给哥哥5块，这时哥哥比弟弟多挑2块，问最初弟弟准备挑多少块？ 3．甲、乙、丙三人各有铜板若干枚，开始甲把自己的铜钱拿出一部分给了乙丙，使乙丙的铜钱数各增加了一倍；后来乙也照此办理，使甲丙的铜钱数增加了一倍，最后丙也照办理，使甲乙的铜钱各增加了一倍。这时三人的铜钱数都是8枚。问原来甲、乙、丙三人各有多少枚铜钱？
4．水果批发站有苹果若干筐，第一天卖出苹果的一半，第二天运进450筐，第三天又卖出现有苹果的一半又50筐，结果还剩600筐，这个批发站原有苹果多少筐？
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5． 小明爸爸的年龄加上6，除以5，再减去4后，扩大10倍是40。小明的爸
爸今年有多少岁？
6 修路队修一条路，第一天修了全长的一半多20米，第二天修了余下的一半 少15米，第三天修了50米，还剩下30米没有修。这条路的全长是多少米？
7 小芳的书架上有若干本书，她每次拿出其中的一半再放回一本，这样一共拿了四次，书架上还有4本书。小芳书架上原来有多少本书？
8 小伟在计算两位数加法时，把一个加数个位上的6错误地看成了9，把另一个加数十位上的7错误地看成了1，结果所得的和是243。这道题的正确答案应该是多少？
9 一个书架分上、中、下三层，一共放书384本。如果从上层取出与中层同样多的本数放入中层，再从中层取出与下层同样多的本数放入下层，最后又从下层取出与现在上层同样多的本数放入上层，这时三层书架中书的本数相等。这个书架原来上层、中层、下层各放书多少本？
10 有甲、乙、丙三桶油。第一次从甲桶倒一部分给乙、丙两桶，使乙、丙两桶的油增加一倍；第二次从乙桶倒一部分给甲、丙两桶，使甲、丙两桶的油增加一倍；第三次从丙桶倒一部分给甲、乙两桶，使甲、乙两桶的油也增加一倍，这时，三个桶里都有油32千克。甲、乙、丙三桶原来各有油多少千克？
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11 货块原有煤若干吨。第一次运出原有煤的一半，第二次运进450吨，第三次又运出现有煤的一半又50吨，结果剩余煤的2倍是1200吨。货场原有煤多少吨？
12．小明问哥哥今年多大，哥哥回答说：用我的年龄加上3，减去4，除以5，再乘以6是24，就是我今年的年龄。小明的哥哥今年的年龄是多少岁？
13．小芳读一本故事书，第一天读了全书的一半少10页，第二天读了余下的一
半多4页，还剩下12页没有读。这本故事书有多少页？
14．草原上有种牧草，每天增长2倍，长到第10天，已长牧草2187平方米。
第6天时，牧草的面积是多少平方米？
15．袋子里有若干个棋子。小华每次拿出其中的一半再放回2个，这样一共做
了五次，袋中还有5个棋子。袋中原来共有多少个棋子？
16．有一篮苹果，每一次取出一半又1个，第二次取出余下的一半又1个，第
三次又取出了余下的一半又1个，这时篮内剩下1个苹果。这篮苹果原来共有多少个？ 17．小玲做一道整数加法题进，把个位上的3看成了5，把十位上的8看成了3，结果和是215。这道题的正确答案应该是多少？
18．有两筐苹果，从第一筐拿出与第二筐同样多的个数放到第一筐；再从第二
筐拿出与现在第一筐同样多的个数放到第一筐，这时两筐苹果的个数都是32个。原来第一筐和第二筐有苹果多少个？
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19．甲、乙、丙三人共有书96本，甲拿出与乙同样多的本数给乙，乙又拿出与丙同样多的本数给丙，丙再拿出与现在甲同样多的个数给甲。这时三人有书的本数正好相等。原来甲、乙丙三人各有多少本书？
第十三讲 抽屉原理
参加数学小组活动共有13人，老师不用调查，就能做出判断，至少有2个同学的生日在同一个月份；黑、白、黄三种颜色的筷子各有很多根，在黑暗处最少拿几根就能保证有一双筷子是同种颜色的？这样的数学问题的解决，是应用了一个十分简单而又非常重要的数学原理。为了更好地说明问题，我们共同研究下面几个题：
1、有3个皮球要放到两个球筐里，想一想，会有几种放法呢？
很显然，不管球放到哪一个球筐，一定有一个球筐里至少放进了2个或2个以上的球。我们虽然无法肯定是哪个球放进了2个或2个以上的球，但是可以肯定，一定有2个或2个以上的球放进了同一个球筐里。 2、有4个苹果，放进三个抽屉里，有几种放法？
请同学们仔细、认真地观察上面的题，结合第1题的结论，你能发现什么规律？你能用自己的语言总结出来吗？
当把4个苹果放到3个抽屉里、把5个苹果放到4个抽屉里、或6个苹果放到5个抽屉里时，不管怎样放，其中总有一个抽屉里放2个或2个以上的苹果。这就是简单的抽屉原则。当然你要是有三个抽屉，给你四个或多于四个苹果，或你有九个抽屉，而给你多于九个苹果，总之，当苹果的个数比抽屉的个数多的时候，不管怎样放，都可以得到同样的结论：至少有一个抽屉要放2个或2个以上的苹果。
这就是抽屉原则的一些具体实例，你看它多么简单，然而正是这样简单的道理，能帮助我们解决一些数学问题。 例1：本节开始提到的数学小组13个人中，至少有两个人出生的月份是相同的，
你知道为什么吗？
友情提醒：运用抽屉原则的关键是恰当地选好抽屉和苹果。
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想一想：
1、某校中年级有367名，老师不用查学生登记表，就能断言：“至少有2名学生在同一天里过生日”。你知道为什么吗？
2、一个生产小组有8个工人，一周中至少有2个工人有相同的休息日，这是为什么呢？ 3、手中有4枚硬分币，至少有2枚或2枚以上的币值是相同的，又是为什么呢？
例2：有红、白、黑三种颜色的玻璃球放在一个口袋里，在黑暗处最少摸出几
个就能保证有一对是同样颜色的玻璃球？
想一想：
1、本节开始提到的问题：黑、白、黄三种颜色的筷子各有多少根，在黑暗处最少拿出几根就能保证有一双筷子是同种颜色的？
2、有很多朵鲜花，要插到10个花瓶里，至少要用多少朵鲜花才能保证有一个花瓶里插有2朵或2朵以上的鲜花？
请同学们看下面两个题：
1、把5个苹果放在2个抽屉里，有几种放法？
2、把7个苹果放在3个抽屉里，有几种放法？
通过上面的排列，你又能发现什么规律吗？
当把5个苹果放在2个抽屉里或把7个苹果放在3个抽屉里，不管怎样放，至少有一个抽屉要放3个或3个以上的苹果。如果把5个苹果放进3个抽屉，或把7个苹果放进4个抽屉能保证至少有一个抽屉里有3个或3个以上的苹果
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吗？请同学们讨论一下，在什么情况下，才会出现至少有一个抽屉里放3个或3个以上的苹果呢？
首先看一下苹果的个数与抽屉个数的关系。 苹果个数 抽屉个数
5 ÷ 3 ＝ 1??2
至少一个抽屉里放2个或2个以上苹果
7 ÷ 4 ＝ 1??3 5 ÷ 2 ＝ 2??1 至少一个抽屉里放3个或3个以上苹果
7 ÷ 3 ＝ 2??1
当苹果的个数比抽屉个数的1倍还多的情况下，就会出现前面的结果：至少有一个抽屉里放2个或2个以上的苹果；
当苹果的个数比抽屉个数的2倍还多的情况下，就会出现至少有一个抽屉里要放3个或3个以上的苹果。
当苹果的个数比抽屉个数的3倍还多的时候，会出现什么情况？那么比4倍还多，比5倍还多的时候，会出现什么情况？
例3：（1）班同学学雷锋做好事，全班40名同学共做好事204件，请说明
一定有一个同学学做了6件或6件以上的好事的道理。
练一练：
（1）在一个学校里，任意挑选出25个人，请你证明在这25人中，至少有个人
属相相同。
（2）三（2）班图书柜里有图书100本，借给班上35名同学，请你说明一定有
一名同学借到3本或3本以上的图书。
（3）幼儿园有50个小朋友，现有玩具240件，把这些玩具分给小朋友，是否一定有人能得到6件或6件以上的玩具？
练习十三
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1、有语文、数学、外语、政治四门课，最少需要几个老师能保证有一个教两门课？
2、红、白、黑、黄、绿五种颜色的球各若干个，最少一次拿多少个就能保证有2个球是同一种颜色的？ 3、“六一”儿童节布置会场，学校把48朵鲜花插在9个花瓶里，其中至少有一个花瓶里插了6朵或6朵以上的鲜花，这是什么道理？ 4、“六一”儿童节布置会场，学校把鲜花插在9个花瓶里，最少要有多少朵鲜花才能保证至少有一个花瓶里有6朵或6朵以上的鲜花？
5、三年级有90人，图书馆里最少要拿出多少本书就能保证至少有一个同学能借到5本或5本以上的图书？
6、手中有1分、2分、5分三种硬分布，最少要拿出几枚后才能保证至少有三枚的币值是相同的？
7、幼儿园大班的老师把61件玩具分给小朋友玩，要使其中至少有一个小朋友分到了3个玩具或3个以上的玩具，那么最多应有几个小朋友？
8、有黑、白、黄三种颜色的筷子各4根，最少拿出几根就能保证有2双颜色各不相同的筷子？（提示：可以设黑、白、黄3个抽屉，再实践一下）
第十四讲：列表法
对有些数量关系较为隐蔽，所求问题有几种答案的应用题。我们可以采用列表的方法，把已知条件和涉及到的数量关系用列表的形式表示出来，使问题
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