河北科技师范学院物理专业试用
量子力学补充习题集
数理系物理教研室 二OO五年八月
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第一章 量子力学的实验基础
1-1 求证：﹙1﹚当波长较短(频率较高)。温度较低时，普朗克公式简化为维恩公式；﹙2﹚当波长较长(频率较低)，温度较高时，普朗克公式简化为瑞利—金斯公式。
-2-1?，问这相1-2 单位时间内太阳辐射到地球上每单位面积的能量为1324J.m.s，假设太阳平均辐射波长是5500A当于多少光子？
1-3 一个质点弹性系统，质量m=1.0kg，弹性系数k=20N.m。这系统的振幅为0.01m。若此系统遵从普朗克量子化条件，问量子数n为何？若n变为n+1，则能量改变的百分比有多大？
?和2450A?的光照射某金属的表面，遏止电势差分别为0.66v与1.26v。设电子电荷及光速均1-4 用波长为2790A-1
已知，试确定普朗克常数的数值和此金属的脱出功。
?的光投射到铝表面，试问：1-5 从铝中移出一个电子需要4.2ev能量，今有波长为2000A（1）由此发射出来的光
电子的最大动能是多少？（2）铝的红限波长是多少？
1-6 康普顿实验得到，当x光被氢元素中的电子散射后，其波长要发生改变，令λ为x光原来的波长，??为散射后的波长。试用光量子假说推出其波长改变量与散射角的关系为????????量，θ为散射光子动量与入射方向的夹角（散射角）
1-7 根据相对论，能量守恒定律及动量守恒定律，讨论光子与电子之间的碰撞：（1）证明处于静止的自由电子是不能吸收光子的；（2）证明处于运动状态的自由电子也是不能吸收光子的。
1-8 能量为15ev的光子被氢原子中处于第一玻尔轨道的电子吸收而形成一光电子。问此光电子远离质子时的速度为多大？它的德布罗意波长是多少？
1-9 两个光子在一定条件下可以转化为正负电子对，如果两个光子的能量相等，问要实现这种转化光子的波长最大是多少？
1-10 试证明在椭圆轨道情况下，德布罗意波长在电子轨道上波长的数目等于整数。
?2?）所衍射。在什么温度下He原子的衍射才是明显的。 1-11 讨论受热He原子束为简单立方晶格（d?4??mcsin2?2 其中m为电子质
第二章 波函数和薛定谔方程
2-1 设粒子的波函数为?(x,y,z)，求在（x,x?dx）范围内发现粒子的几率。
2-2 设在球坐标系中粒子的波函数可表为：?(?,?,?)。试表出在球壳（?,??d?）中找到粒子的几率。 2-3 沿直线运动的粒子的波函数?(x)?1?ix1?ix2。（1）试将ψ归一化。（2）画出几率分布曲线。（3）在何处最易
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发现粒子，而该处的几率密度为何？
?it??Axe??xe2(x?0)2-4 作一维运动的粒子处在?(x,t)??的状态中，其中λ＞0。（1）将此波函数归一化，试说
?0(x?0)?明如其在t=0时刻归一化了，那么在以后的任何时刻都是归一化的。（2）粒子的几率分布函数为何？ 2-5 判断下列波函数所描写的状态是否定态？（1）?1(x,t)?u(x)e（2）?2(x,t)?u(x)e?iE1?tix?i?Et?v(x)e?iE?tix?i?Et
?iE?t?u(x)e?iE2?t,(E1?E2)（3）?3(x,t)?u(x)e1reikr?u(x)e
2-6 由下列定态波函数计算几率流密度：（1）?1? （2）?2?1re?ikr从所得的结果说明?1表示向外传
播的球面波，?2表示向内（向原点）传播的球面波
2-7如在势能U(r)上加一常数，则其薛定谔方程的定态解将如何变化？试说明此变化后为何不能观察到（选择无穷远处的U为零）。
2-8 设体系的波函数为?(x,t)?Ae?ax是怎样的函数？
??????2*2-9 设?1(r,t)和?2(r,t)是薛定谔方程i??????U(r)?的两个解，证明??1?2dt与时间无关。
?t2m22??i?t，式中A，a和w为常数。为使此波函数满足方程（2.2-15），U(x)应
第三章 简单体系定态薛定谔方程的解
3-1 设粒子在无限深方势阱中运，能量的量子数为n，试求：（1）距势阱的左壁1/4宽度内发现粒子的几率是多少？（2）n取何值在此处找到粒子的几率最大？（3）当n??时，这个几率的极限是多少？这个结果说明了什么问题？
?，试求：3-2 设原子或分子中的电子可以粗略地看作是一维无限深势阱中的粒子，并设势阱宽度为1A（1）两个
最低能级间的间隔；（2）电子在这两个能级间跃迁时发出的波长。 3-3 试将一维自由粒子的定态波函数eipx/?和e?ipx/?组合成具有确定宇称的波函数。
3-4 对于任意势垒，试证明粒子的反射系数R与透射系数T满足R+T=1， （取E＞U0）
3-5 一束粒子入射在一窄势垒（k2a??1）上，如其垒高U0为粒子动能的二倍时，证明在此情况下粒子几乎完全透射过势垒。
??U0,x?0U(x)?3-6 用以下一维势场模型：来研究金属电子的发射，求E>0时的透射系数D。 ?0,x?0?—3—
?0,x?03-7一势垒的势能为U(x)?? 式中U0，A，a均为正数。试估算A 3-8 对于谐振子的基态ψ0（x），计算粒子在经典振幅以下出现的几率。 3-9 对于谐振子的第一激发态ψ1，（1）求振子出现几率最大的位置；（2）求经典振幅A；（3）计算振子在经典振幅以外出现的几率。 ??,x?0?3-10 设质点为m的粒子在下列势阱中运动，U(x)??1求粒子的能级和波函数。 22m?x,x?0??213-11 将一维谐振子置于额外的均匀力场中，势能成为U(x)?m?2x2?ax，求能级的变化。 2?U1(x?0)?3-12 粒子在势能为U(x)??0(0?x?a) 的势场中运动（U1＜U2），在U1，U2＞E下，求解粒子的能级和波函 ?U(x?a)?2数。 3-13 给定U（x）=–U0δ(x)，求束缚态能级。 第四章 态叠加原理及力学量的算符表示 4-1 下列算符哪些是线性的？为什么？ (1) 3x2ddx22 (2) ( ) (3) 2 n?dx (4) ?i?1 ?(u?v)?R?u?R?v R?(cu)?cR?u ，?具有下列性质：4-2 线性算符R式中C是复数。下列算符哪些是线性的？ R?u?u （3）?u??u??u,??常数（2）B?u?u （4）D（1）AC2*dudx??u(x)??u?1/u（6）L （5）E?e0?pxu(x)dx ?B?)是否厄米算符？ ?,B?都是厄米算符，但A??B?A?B?，试问：??B?A4-3 若A（1）(A?B?)是否厄米算符？ ??B?A（2）i(A4-4 证明下列算符哪些是厄米算符： ddx,iddx,4ddx22,iddx22 ??)??A? （2）(A?B?? ?)??B??A4-5 （1）证明(A??? ??r?x（2）L4-6试判断下述二算符的线性厄米性，（1）xp?p??d/dx的情况下，A?不可能有两个以上的逆。又问，算符A??1是什么样的算符？ 4-7 试证明任意一个算符A—4— ?x?x)2的本征值。 ?x?x的本征函数和本征值。进而求(p4-8 对于一维运动，求p?有属于本征值为?的本征函数?，且有：k??L?M?和L??和U?M??也是?M??M?L??1，证明V?L4-9 若算符k?的本征函数，对应的本征值分别是??1和??1。 k??x24-10 试求能使e为算符 ddx22?Bx的本征函数的?值是什么？此本征函数的本征值是什么？ 2?的一个本征值，那么?2为A?2的一个本征值。一般情况下，设f(?)为?的多项式，则4-11 如果?为线性算符A?)的一个本征值。试证明之。 f(?)便为f(A4-12 试证明线性算符的有理函数也是线性算符。 ?)改变一个常数C时，即U(r?)?U(r?)?C时，粒子的波函数与时间无关的那部分改变否？能4-13 当势能U(r量本征值改变否？ 4-14 一维谐振子的势能U(x)?12m?x，处于?(x)?(?/2?)221/2e122??x222(2?x?1)的状态中，其中 ??m?/?，问：（1）它的能量有没有确定值？若有，则确定值是多少？ （2）它的动量有没有确定值？ 4-15 在时间t=0时，一个线性谐振子处于用下列波函数所描写的状态： ?(x,0)?15?0(x)?12?2(x)?C3?3(x) 式中?n(x)是振子的第n个时间无关本征函数。（a）试求C3的数 值。（b）写出在t时的波函数。（c）在t=0时振子的能量平均值是什么？在t=1秒时的呢？ 4-16 证明公式（4.6-8）----(4.6-12) 4-17 证明公式（4.6-6），(4.6-13)，(4.6-14) ?满足下列对易规则：???????n???n??n?1（n为正整数）?,?????1，求证：?????n?4-18 如果算符?。 4-19 参考矢量情况下的斯密特正交化步骤，试阐述由属于同一本征值而并一定正交的本征函数构成正交函数的方法。 4-20 有两个归一化的但不是正交的波函数?1及?2，??1*?2dt??（实数），0???1，试将?1及?2进行叠加组成两个正交归一化的函数?1及?2。 4-21 证明一维谐振子不管处于哪一个定态，它的动量都没有确定值。 4-22 电子在原子大小范围（数量级为10-10m）内运动，试用测不准关系估计电子的最小能量。 —5— 2 4-23 质量为m，速度为v，能量为E=1/2mv的粒子沿x轴方向运动，其位置测量的误差为?x，设?t??x/v， 试由测不准关系?x??p?12?，导出能量和时间的测不准关系?E??t?12? 4-24 求证力学量x与F( px)的测不准关系((?x)2?(?F)2)1/2??2?F?px ???F?F????,F?i??,F??i?4-25 设F(x,p)是x，p的多项式，证明p ，x ?p?x????????,1?,p?2,r?24-26 计算：?p??r??????r??21???2?,?p,?,?p,? 。 r??r???和A?,B?,B?,C??0,B??0，试计算：?不可对易，A?,C??c?及B?可对易，即A?，但C4-27 设算符A?????????,B?,e?,?A?,f(B??,?A?)? 。其中n为正整数，?为参变量，f为任何可以表示为正幂级数的函数。 ?An??B?和A?,B?,B?,C??0,B??0，试证Glauber公式：?不可对易，A?,C??c?及B?可对易，即A?但C4-28 设算符Ae??B?A?????eee?A?B??1/2C?eee?B?A?1/2C 。 ????B?e?B??B??1B??1B??? （提示：?,A?,B?,A?B?,B?,A?e??B?A4-29 证明：eA考虑f(?)?e?BA按λ展开，??2!?????3!???????然后令=1） ?,B?n,B?n?1A?,B?,B?,B?,B?与A?对易，证明A?n?nB?n?1A? ， A??nA? 4-30 设A???????????,B?,B?与A?对易，4-31 设A证明ee?A?B?e??B?,B??1A?A2?? （提示：考虑f(?)?e??Ae??Be??B?)??(A证明dfd??,B?f ，??A??然后积分） 4-32 证明下列几个关于厄米算符的定理：（1）在任何定态下，厄米算符的平均值都是实数。（2）在任何态下。平均值均为实数的算符必为厄米算符。 4-33 证明几个关于一维定态薛定谔方程的定理：（1）对于一维方程（2.2—3.4），如果?1和?2是属于同一个本征值E的两个独立的解，则?1(x)?2(x)??2(x)?1(x)?C(常数)。 (2)对于一维束缚态，所有能级都是非简并的。 (3)对于一维定态问题，如果U(x)为x的偶函数，则任何一个束缚态?E(x)都有一定的宇称性。 4-34 用测不准关系估计原子核中核子（质子和中子）的动能的数量级。曾经设想电子也是原子核的构成单元之一，试利用测不准关系判断这个设想是否正确。 ''—6— ?的任何一个本征束缚态?,E，证明公式4-35 对于Hnn?H????En???中的任何一个常数，其中?为包含在H（?，m,等等）。 p24-36 对于一维谐振子，证明U?2m 4-37 质量为m的粒子在中心势场U(r)?cln（2）任何两个能级的间隔与质量m无关。 rr0中运动，证明：（1）对所有的束缚态v2相同，并求出v2。 2?,p?,L?,L?,L?2,x,y,z ??p?，下列力学量中哪些是守恒量？H?????2/2m?AL4-38 给定H,p,p,p,Lxyzxyzz?,B?,B?，但A??0，则一般说来，体系的能级是简并的。 4-39 证明定理：设体系有两个守恒量A??4-40 在一维无限深势阱中，已知阱宽为a，试用测不准关系估算零点能。 第五章 表象理论 ???(x?(x??x ，p?x??i??,p?x)?F(x,?i??,p?x,F?,p?x)（1）在x表象中的表示为：x)；5-1 试证明算符x ，F ?x?x??i?（2）在P表象中的表示为：x??(x?x?px ，F?,p?x)?F(i? ，p,px) ?p?p?5-2 求线性谐振子哈密顿量表象中的矩阵元。 5-3 求一维无限深势阱中粒子的坐标和动量在能量表象中的矩阵元。 5-4 求连续性方程 ?i?j?(???2m*??t?(x,t)???j?0的矩阵表示。其中?(x,t)??*(x,t)?(x,t) ， *?????) ?B??0，求：??B?A?,B?,B?满足A?的矩阵表示。?2?B?2?1，且A5-5 设厄米算符A（1）在A表象中，算符A（2） ?,B?的矩阵表示。?的?的本征值和本征函数。在B表象中，算符A（3）在A表象中，算符B（4）在B表象中算符A本征值和本征函数。（5）由A表象到B表象的么正变换矩阵S 。 5-6 已知二阶矩阵A,B满足下列关系：A?0,AA中求矩阵A，B。 5-7 证明：det(S?12??AA?1,B?A?A，试证明B??2?B，并且在B表象 AS)?detA Tr(AB)?Tr(BA) Tr(ABC)?Tr(CAB)?Tr(BCA)，由此说明矩阵的det 及Tr不因表象而异，或者说矩阵的本征值之和以及本征值之积不因表象而异。 —7— 5-8 设矩阵A的本征值为Ai'(i?1,2,?)，令B?eA，其本征值为Bi'(i?1,2?)，证明Bi'?eAi，由此证明 detB?eTrA' 。 5-9 设任何一个厄米矩阵能用一个么正变换对角化。由此证明，两个厄米矩阵能用同一个么正变换对角化的充要条件是它们彼此对易。 5-10 证明若三个厄米矩阵A，B和C有如下对易关系，AB=BA，AC=CA，BC≠CB， 则A的本征值必有简并。 ?2p??5-11 设H??U(r)，证明求和规则?(En?Ek)Xnk2mn2??2/2m ???(r?,p?)为厄米算符，证明在能量表象中下式成立：5-12 设F?(En?Ek)Fnkn?2?12?,H?,F?k kF????5-13 对于线性谐振子，设态矢量v??Cn?0n?v?vv，试证明v中n态的成份为n满足aCn2?nn!ne?n?a???a?a??，其中n?a???v 2?0??的矩阵分别为：L?2?1?和L?的共同表象中，算符L?2及L5-14 设已知在L?xyzx2??0?02?Ly???i2??0?i0i1010??1?，0??0???i?，求它们的本征值和归一化的本征函数。最后将矩阵Lx及Ly对角化。 0??第六章 角动量初步 ?是厄米算符 6-1 分别用球坐标和直角坐标证明Lz6-2 试证明：?(r,?,?)?f(r)sin?e?,L?有无确定值。 态时，Lxy3i3??的共同本征函数，并求相应的本征值。说明当体系处于此状?2和L为Lz6-3 设体系处在??C1Y11?C2Y10的状态中，试：（1）将此波函数归一化；（2）求力学量L2的测量值及相应的几率；（3）求力学量Lz的可能值及相应的几率；（4）Lx和Ly的可能值及相应的几率。 —8— ?的共同表象中，算符L的矩阵表示为L??2和L6-4 设在Lyyz?02???i2??0?i0i0???i?，求它的本征值和归一化的本0??征函数，并将它表示成Yl m的线性叠加。 6-5 求粒子处在态Yl m时，轨道角动量的x分量和y分量的平均值Lx和Ly，并证明 (?Lx)2?(?Ly)2??2(l?l?m) 22?的本征态Yl m，求证轨道角动量沿与z轴成θ角方向上的分量的平均值为m?cos?了。 6-6 设体系处于Lz?得到的值为??，求测量6-7 设体系处于某一状态，在该状态中测量力学量L2 得到的值是2?2，测量力学量Lz力学量Lx和Ly的可能值。 6-8 求L2 ，Lx的共同本征函数，限定L2?2?2。 6-9 对于Y11 求Lx的取值及相应的几率。 ??????22????)x ??x?L?i?(r?L)x?(L?r6-10 试证明：（1）Lx??????22????) ??（2）Lpx?pxL?i?(p?L)x?(L?px????????????2??????L?)??L?? ??L??2i?p? （2）i?(p?L?p,p6-11 证明： （1）p?L?p??????????1??2???2???2221?22?2?r6-12 证明：L?rp?(r?p)?i?r?p，进而证明 p?2L??2?rrr?r2 ?2,L?）的共同本征态Y(?,?)，计算L和L的平均值，以及?L,?L，验证测不准关系。 6-13 对于（Lxyxlmyz26-14 粒子处于状态??C(x?y?2z)e??r2?的平均值；（2）L（3）,??0，C为归一化常数。求（1）L 的取值；z（4）Lx 的可能值及相应的几率。 Lz??的几率； ?2,L?）的共同本征态Yl m ，记为lm，证明6-15 将（L?zm00?rr2lm??m?Y?r002rYlmd??1 ?的矩阵。指出从l?0到?2,L?）的共同本征矢作为基矢，写出表示轨道角动量算符L?2,L?,L?和L6-16 运用（Lyzz?l?2的矩阵元。 ?2和J?是对角的，即以jm作为基矢的表象中，对j?1的体系写出J?和J?矩阵。 6-17 （1）在Jz??2?,J?,J?的矩阵。 （2）对于（1）中的体系导出Jxyz6-18 （1）已知j?12?2和J?矩阵(见上题)，试求通过变换S?1JS使J?对角化的么正?的表象中的J的体系在Jxzxx—9— 2?J?,J?和J?2的矩阵。 ?是对角的表象中，写出J矩阵S （2）在Jyzx?2,J?,J?2(j?6-19 对于J11z221??????的平方?(m?1)的共同本征态jmj?1,m?1，求)，JJ?J?J2z1122122222的 平均值及J的取值几率分布。（j1?0） ???''?????与J?之和,求证：6-20 设J?J1?J代表两个角动量J（1）jmJjm?1z122?,J?数m是对角化的。（提示：利用J?0） z1?''?（2）jmJjm?1?'?jm?' 。?,J??） （提示：利用Jjm?1J???J1?z1?1?mm?1'?jm?'，即J?对量子jmJ1z1zmm2??????（3）当j?j?1时，jmJ1jm?0 '''6-21 证明（1）cos?Ylm?[(l?m?1)(l?m?1)(2l?1)(2l?3)11]2Yl?1,m?[(l?m)(l?m)(2l?1)(2l?1)1]2Yl?1,m 1（2）sin?Ylm?(?)e{[i?(l?m?2)(l?m?1)(2l?1)(2l?3)]2Yl?1,m?1?[(l?m)(l?m?1)(2l?1)(2l?1)]2Yl?1,m?1} 第七章 中心力场 7-1 对于库仑场证明U?2E,T?E，其中E是总能量。 pr27-2 中心力场U(r)中的经典粒子的哈密顿量为H?2??L222?r1???U(r)，其中Pr?r?P，当过渡到量子力 r学时，Pr要换为Pr?算符？ ??111????1??(r?P?P?r)??i?(?r)，试问?i??r?P是否厄米算符？Pr是否厄米2rr?r?rr7-3 设氢原子处于状态?(r,?,?)?12R21(r)Y10(?,?)?32?2及L的可R21(r)Y1?1(?,?)，试求氢原子的能量，Lz能值及其几率，并由此求出它们的平均值。 7-4 某类氢原子的波函数表示如下（r以a0为单位）：??281?Z3/2(6?Zr)Zre?Zr/3cos? （1）通过对?的考察，求量子数n,l和m的数值。（2）从?产生具有相同n,l值，但磁量子数等于m?1的另一个本征函数。（3）当Z?1时，求为?所规定的状态中某电子的最可几r值。 —10— 7-5 氢原子处于基态?(r,?,?)?1?30ra0e，试求（1）r的平均值；（2）最可几半径。 ?a7-6 试证明：处于1S，2P和3d 态的氢原子的电子在离原子核距离分别为a0 ,4a0 和9a0 的球壳内被发现的几率最大（a0 为第一玻尔轨道半径） 7-7 氢原子处于基态，（1）求距核二倍玻尔轨道半径以外发现电子的几率。（2）如果我们画一个球面，使得在此球面内发现电子的几率为90% ，那么这个球面的半径是多少？ 7-8 如坐标轴绕z轴旋转一个α角，试问氢原子波函数的角度部分Ylm(?,?)将如何变化？此种变化是否观察到？ 7-9 试求出在Y10及Y21态下，电子按角度的分布几率取极大值和极小值的?角。 7-10 试证明：L?6?,Lz???的氢原子中的电子在??45和135方向上被发现的几率最大。 00 ?,L?2,L?的共同本征态，??R(r)Y(?,?)，求相应的电流密度和磁矩。 7-11 原子中的电子束缚态，作为Hlmz7-12 求出氢原子基态波函数在动量表象中的表示。 7-13 由于发生原子核的?衰变，原子核的电荷突然由Ze?(Z?1)e 。对于衰变前处于原子Z的K层（1S层）的电子，在原子核衰变后仍旧处于原子（Z+1）的K层的几率等于多少？ 7-14 粒子在半径为a，高度为h的圆筒中运动，在筒中粒子是自由的，在筒壁及筒外势能为无限大，求粒子的能量本征值及本征函数。 7-15 单价原子中的价电子（最外层电子）所受原子实（原子核及内层电子）的作用可近似表示为U(r)??esr2??esa0r22,(0????1)，式中es?e4??0，a0为玻尔半径，求价电子的能级，并与氢原子能级 相比较。 7-16 对于类氢原子（核电荷Ze）l?n?1(nr?0)的状态，计算：（1）最可几半径rn （2）平均半径r（3）涨落?r，并将它和r相比较。 7-17 讨论二维氢原子，其中的电子为库仑力束缚于原子核，并限制在一个平面中运动。（1）试求此体系的本征函数和能量本征值。（2）试解释玻尔虽然假设一个平面轨道求解氢原子问题，为什么还能够得与实验一致的能量。 7-18 三维各向同性谐振子势U（r）如下：U(r)?能级和波函数，并讨论能级的简并情况。 7-19 一个电子被限制在一块电介质（无限大）平面的上方（x>0）运动。介质的介电常数为? ，不可穿透。按电像法可求出静电势为U(x)??12m?r ，式中m为粒子质量，?是常数。试求该体系的 22?x,??e24(??1??1)?0，试求电子的能级（E<0）。 —11— 第八章自旋 ?8-1 设电子处于?状态，求S与Z轴的夹角。 ?2,S??0,(??x,y,z) 8-2 证明S??的本征值分别为S??/2和??/2的本征函数用它们展开。 8-3 ?和?组成正交归一完全系，试将Sxx?2的本征函数，但不是S?的本征函数。 8-4 试证明?和?是Sxx?x??y??z?i 。 8-5 试证明???8-6在“自旋”向下态?中，求Sx和Sy的涨落?Sx，?Sy以及?Sx?Sy 。 ?的本征值和本征函数（取S表象）8-7 求S。 yz?x,??y和??z 的归一化本征函数；??n??1 ，并求相应的本征函数；8-8 （1）在?x表象中求?（2）证明?n???（3）在?n?1态内，求?x?1,?x??1及?z?1,?z??1的几率。 8-9 设电子自旋Z分量为?/2 ，问沿着与Z轴成?角的z'轴方向上，自旋取?/2及??/2的几率为多少？求此方向上自旋分量的平均值。 ??的三个分量均反对易的非零二维矩阵。 8-10 证明不存在和?8-11 测得一电子自旋Z分量为?/2 。再测Sx ，可能得何值，各值的几率为多少？平均值为何？ 8-12 设?为常数，证明e?zi???zsin? ?cos??i???????????????????对易的任何矢量算符，证明(???A?8-13 设A,B为和?)?A?B?i??(A?B) 8-14 化简e?zi????e??z?i?? ，??x,y ，?为常数。 0?? i??e?8-15 证明e?i??z?e?i????0?????eB???x ，设t=0时，电子自旋“向8-16 定域电子受到均匀磁场B的作用，B指向x轴方向，磁作用势为H2?c上”，即Sz??2，求t>0时电子自旋Sz??2??的几率和S的平均值。 ??和??表示粒子1和2的泡利算符，试求?????的本征值和本征函8-17 对于两个自旋为1/2 的粒子体系，以?1212???2的本征值。 数，并求S—12— 8-18 设体系有两个自旋为1/2的非全同粒子组成，粒子1处于S1z??2态，粒子2处于S2x??2态，（1）写出粒 ?2的可能测得值及相应的几率。 子1和粒子2以及体系的波函数，（2）求总自旋S8-19 将两个自旋为1/2的粒子组成的体系置于均匀磁场中，设磁场沿Z轴方向，体系哈密顿量与自旋有关部分 ??a?????，试求体系能级。 ?1z?b??2z?c?为H12????????8-20 两个自旋1/2的定域非全同粒子的哈密顿量为H?AS1?S，t=0时粒子1自旋“向上”（），粒子S?1z22?2自旋“向下”（S2z?），求t>0时（1）粒子1自旋“向上”的几率；（2）粒子1和2自旋均“向上”的几率； 2??（3）总自旋S=1和0的几率；（4）S1和S2的平均值。 ?1R21(r)?28-21 设氢原子的状态是???3??R21(r)?2??e?e?M??L?S的Z分量平均值。 2mm?Y11(?,?)??（1）求L和S的平均值；（2）求zz?Y10(?,?)??总 8-22 若电子处于d态，试问它的总角动量可以取哪些值？这时轨道角动量矢量和自旋角动量矢量之间的夹角是多少？ 8-23 对于三电子体系，求总自旋量子数的取值。 ?x1??x28-24 对于三个电子的自旋函数??x3?x?4:?(1)?(2)?(3):3:3?1/2?1/2(?(1)?(2)?(3)??(1)?(2)?(3)??(1)?(2)?(3))(?(1)?(2)?(3)??(1)?(2)?(3)??(1)?(2)?(3))， :(?(1)?(2)?(3)?x5:6?1/2(?(1)?(2)?(3)??(1)?(2)?(3)?2?(1)?(2)?(3)) ??1/2x:6(?(1)?(2)?(3)??(1)?(2)?(3)?2?(1)?(2)?(3))?6?x7:2?1/2(?(1)?(2)?(3)??(1)?(2)?(3)) ??1/2(?(1)?(2)?(3)??(1)?(2)?(3))?x8:22求(S1?S2?S3)和S1z?S2z?S3z的本征值。其中第一组构成四重态，对电子1，2和3的任意交换都是对称 ???的，第三组对于电子2和3交换为反对称的。 ?2?8-25 讨论三电子体系的自旋函数：（1）证明?(1)?(2)?(3)是S和Sz二者的本征函数，确定相应的本征值。（2） ??(S??S??S?)生成对于S=3/2的全部2S+1个本征函数。运用阶梯算符S（3）确定S=1/2的三电子体系的?1?2?3?本征函数。这样的函数必定有多少组？ —13— 第九章 多粒子系的量子力学 12129-1 两个质量为m的全同粒子，在弹性势场中运动，V1?kx1,V2?2（1）写kx2，忽略粒子间的相互作用。 2?用质心坐标X和相对坐标x出体系的总能量算符及单粒子状态的基态和第一激发态（作为一维问题）。（2）将H表示，讨论质心运动和相对运动的特征。（3）如一个粒子处于基态，一个粒子处于第一激发态，写出体系的对称和反对称的轨道波函数，并用质心坐标和相对坐标表示。 9-2 下列波函数中，哪些是完全对称的？哪些是完全反对称的？ ????（1）f(r1)g(r2)?(1)?(2) ，（2）f(r1)f(r2)??(1)?(2)??(1)?(2)? ????2??(r?r)（3）?f(r1)g(r2)?g(r1)f(r2)???(1)?(2)??(1)?(2)?（4）r12 （5）e??(re121?r2) 9-3 设有一体系由两个自旋量子数为3/2的全同粒子组成。问体系对称的自旋波函数有几个？反对称的自旋波函数有几个？ 9-4 设两个电子在弹性辏力场中运动，每个电子的势能是U(r)?12m?r。如果电子之间的库仑能和U（r）相 22比可以忽略，求当一个电子处在基态，另一个电子处于沿x方向运动的第一激发态时，两电子组成体系的波函数。 9-5 一体系由三个全同的玻色子组成，玻色子之间无相互作用。玻色子只有两个可能的单粒子态。问体系可能的状态有几个？它们的波函数怎样用单粒子波函数构造？ 9-6 考虑由3个玻色子组成的全同粒子体系。限定单粒子状态只能是??,??和??，试写出体系的所有可能状态波函数。 9-7 考虑在无限深势阱（0 9-8 考虑一个由相同粒子组成的两粒子体系，设可能的单粒子态为?1,?2,?3，试求体系的可能态数目。分三种情况讨论：（1）粒子为玻色子（玻色统计），（2）粒子为费米子（费米子统计），（3）粒子为经典粒子（玻尔兹曼统计） 第十章 微扰论与变分法 ?1210-1 假定类氢原子的核不是点电荷，而是半径为r0(r0~10cm)均匀带电小球，试计算类氢原子基态的能量 一级修正。 —14— ???(x?0,x?a)?a3?10-2 一维势阱的宽度为a，其势能函数为U(x)??0(0?x?,a?x?a)，其中k为常数，把此势阱中的粒 44??k(a?x?3a)?4?4子看成是受到微扰的关在盒子中的粒子，求其能量和波函数的一级近似。 10-3 一个电荷为e的线性谐振子，处于均匀的弱电场?中，设?沿x的正方向：（1）求体系的能量的二级近似值；（2）求波函数的一级近似。 ?'的作用，微扰矩阵元为10-4 设体系未受微扰作用时仅有两个能级：E1(0)及E2(0)，现在受到微扰HH12?H21?a,H11?H22?b,a、b都是实数，用微扰公式求能量至二级修正值。 ''''??10-5 一维非线性谐振子的势能为U(x)?量的一级修正。 12kx2?cx3?dx，若把非谐振项看作微扰，试求基态和第一激发态能 4??10-6 一刚性平面转子，转动惯量为I，电偶极矩为D，处在均匀弱电场?中，电场在转子转动平面上，试求能 量到二级修正。 10-7 把正常塞曼效应中磁场引起的附加项看作微扰，试计算碱金属原子能级En l 的一级修正。 ??10-8 耦合谐振子的哈密顿算符为H2?i?1(?i2p2m?12m?xi)??x1x2，其中?为常数。试用微扰法求其第一激发 22态能量的一级修正。 10-9 在类氢原子中，电子与原子核的库仑作用能为U(r)??2zesr2，当原子核的电荷增加e时，库仑能增加 ???H'esr，试用微扰法计算它引起的能量一级修正，并与严格解比较。 '?(x)?U(x)?Ucos10-10 设电子受到晶格的一维周期势U（x）作用，H02?xa，其中a为晶格常数，可将U （x）看作微扰，无微扰时，电子是自由的，波函数为?(x)?L2e为a的N个离子的晶格长度。试求能量的一级修正。 ?1i(kx?Ekt/?)22，Ek??k/2m，L?Na是间距 10-11 设有自由粒子在长度L的一维区域中运动，波函数满足周期性边界条件?(?2L2L2?nLL2)??(L2)，简并的波函数 取为?1(0)?coskx,?(0)2?sinkx,k?,n?0,1?，设粒子还受一个“陷阱”的作用， ?'(x)??Ue?xH02/a2(a??L)，试用简并微扰论计算能量一级修正。 —15— 10-12 一个粒子在一维无限深势阱中运动，U(x,y)??求基态和第一激发态（是二重简并态）的能量修正。 ?E1(0)?a10-13 设在H表象中，H???b?0?0,??,0?x,y?a其它地方?'??xy(0?x,y?a)， ，若加上微扰HbE2(0)??(a,b为实数)，用微扰论求能量修正（到二级近似），并与严??a?格求解比较。 10-14 求氢原子n=3时的斯塔克分裂。 ?'?10-15 一维谐振子受到微扰H?2m?x(??1)的作用，试求能级的一、二级微扰修正，并与精确解比较。 122210-16设粒子在球对称谐振子势阱U(r)????xyz?扰H'试写出能级和能量本征函数。它受到微m?(x?y?z)中运动， 2222?2??xyz222（1）计算基态的能级移动（准确到?），（2）用微扰后的基态(???1)的作用， 2?（一级近似），计算r。 10-17 将由两个自旋为1/2粒子组成的体系置于沿Z方向的均匀磁场中，与自旋有关的哈密顿量为 ??a??b?H1z2z??试就弱磁场(c??a,b)和强磁场(a,b??c)两种情形，用微扰论计算体系的?c?1??2， 能级（二级近似），并与精确解比较。 ?E1(0)???10-18 设在H0表象中，H的矩阵表示为H??0?*?a0E2b(0)*a??b?，试用微扰求能量的二级修正。 (0)?E3?210-19 试用变分法求谐振子的归一化基态波函数和基态能量，设试探波函数为??ce??x，其中c为归一化常数，?为与x无关的变分参数。 ???10-20 设一个非谐振子的哈密顿量为H?2d222mdx??x，设用简谐振子的波函数?0(x)?4??1/4e122??x2为试探 波函数，?为可调参数，求其基态的能量。 10-21 设氢原子的基态试探波函数为?(?,r)?Ne数，求基态能量并与精确解比较。 ?r/a,10-22 设在氘核中质子与中子的作用势可表示为U(r)??U0e??(r/a0)2,a0??/?es，其中N为归一化常数，?为变分参 22U0?32.7Mev,a?2.16fm(10?13cm)， 取质子与中子的相对运动试探波函数为R(r)?Ne??r/2a，试用变分法求氘核的基态能量和基态半径。 10-23 转动惯量为I，电偶极矩为D的平面转子，置于沿x方向的均匀电场?中，哈密顿量为 —16— ???H?2d222Id?，设电场很强，D????2/I求基态能量近似值。设试?D?cos?，?为旋转角（从x轴算起） 探波函数为ce122???2,（提示：对e???积分时，用积分限(??,?)代替(??,?)）。 (??????)。 2210-24 转动惯量为I，电偶极矩为D的空间转子受到沿Z轴方向的均匀电场?作用，其哈密顿量为???H??H?'?L2/2I?D?cos?。?的本征值和本征函数，能级简并度，?'为微扰，求基态（1）求（2）视HHH00?')?，其中?为H?的基态本征函数。试用变能量（准确到二级修正），（3）取试探波函数为?(?)?N(1??H000分法求基态能级近似值（准确到?2量级），和微扰论结果比较。 10-25 质量为m的粒子在汤川势阱中运动，U(r)??U0e?r/a/ra试估算形成束缚态所需临界U0值，(U0,a?0)， （1）用测不准关系估算，（2）用变分法估算，取试探波函数为?(?,r)?ce??r/2a 。 第十一章 量子跃迁 ?t/?11-1电荷为e的谐振子，在时间t=0时处于基态，t>0时，处于???0e的电场中（?为常数），求谐振子处于 第一激发态的几率。 11-2 一粒子具有电荷为e，在宽度为a的无限深势阱中运动，原来处于基态，在光波照耀下激发跃迁。求其跃迁几率，和跃迁选择定则。 11-3 设在时刻t=0时，氢原子处于基态，以后受到单色光的照射而电离。设单色光的电场可以近似地表示为?0sin?t，?0与?均为常数，电离后电子的波函数近似地以平面波表示。求这单色光的最小频率和在时刻t跃 迁到电离态的几率。 11-4 求线性谐振子偶极跃迁的选择定则。 ?0,11-5 基态氢原子处于平行板电场中，若电场是均匀的且随时间按指数下降，即????t/?,??e当t?0时当t?0时(??0)， 求经过长时间后氢原子处在2p态的几率。 11-6 具有电荷q的离子，在其平衡位置附近作一维简谐运动，在光的照射下发生跃迁。设入射光能量密度（单位频率）为?(?)，波长较长。若离子原来处于基态，求每秒钟跃迁到第一激发态的几率。 11-7 计算氢原子由第一激发态到基态的自发跃迁几率。 11-8 计算氢原子光谱中赖曼系的第一条谱线（2P→1S）的强度。 ??B?11-9 有一自旋1/2 ，磁矩，电荷为零的粒子，置于磁场B中，0?(0,0,B0)，开始时（t=0）,粒子处于自旋 —17— “向下”态，即?z???????1，t>0时，加上沿x方向的弱磁场B1?(B1,0,0)，从而B?B0?B1?(B1,0,B0)，求 粒子在t>0 时的自旋态以及测得自旋“向上”（???z?1）的几率。 ?11-10 氢原子处于基态，受到脉冲电场?(t)??0?(t)的作用，?0为常矢量，试用微扰论求电子跃迁至各激发态的几率以及仍停留在基态的几率。 11-11 根据实验测定，氢原子的2S1/2能级高于2p1/2能级1058MHz （兰姆移动），试求电子在这两个能级间的自发跃迁平均寿命。 11-12 计算氢原子赖曼线系的头两条谱线Ly?(2p?1s)与Ly?(3p?1s)的强度比。 第十二章 散射理论 ?r212-1 粒子受势能为U(r)?的场的散射。求S分波的微分散射截面。 当r?a当r?a?U0,12-2 慢速粒子受到势能为U(r)???0,的场的散射，若E?U0,U0?0，求散射截面。 12-3 只考虑S分波，求慢速粒子受到势能U(r)??/r4的场散射时的散射截面。 12-4 用玻恩近似法求粒子在势能U(r)?U0e??r22场中散射时的散射截面 22s?zes2r??,12-5用玻恩近似法求粒子在势能U(r)??rb?0,?当r?a当r?a场中散射的微分散射截面。式中b?aze 。 12-6用玻恩近似法求粒子在势能U(r)??U0e应用玻恩近似法。 ?ra(a?0)场中散射时的微分散射截面，并讨论在什么条件下可以 212-7 设势场U(r)?U0/r ，用分波法求l分波的相移。 12-8 计及S波，P波及d波情况下，给出截面与散射角?的依赖关系的一般表示式。 12-9用玻恩近似法计算粒子对?势U(r)?U0?(r)的散射截面。截面有何特点？并与低能粒子的散射截面与库仑势的散射截面的特点比较。 12-10 考虑中子束对双原子分子H2 的散射。中子束沿z轴方向入射，两个氢原子核位于x??a处，中子与电子无相互作用，中子与氢原子核（即质子）之间的短程作用为U(r)??U0??(x?a)?(y)?(z)??(x?a)?(y)?(z)?，为简单起见，不考虑反冲。试用玻恩一级近似公式计算散射振幅及微分截面。 —18— ??i?/2??cose???1?2??，12-11 设有两个电子，自旋态分别为x??（1）证明两个单电子处于自旋单态（S=0）?0??与???i?/2?sine?????2??1?1?及三重态（S=1）的几率分别为Wa?(1?cos2) Ws?(1?cos2) ，（2）设有两束这样的极化电子 22221散射，证明q(?)??(3?cos?)q3?(1?cos?)q1?，其中q3与q1分别表示两个电子处于三重态及单态下的散射 4截面。 12-12 质量为m的粒子束被球壳?势场散射，U(r)?U0?(r?a)，在高能近似下，用玻恩近似计算散射振幅和微分截面。 12-13 设有某种球对称的电荷分布，电荷密度记为?(r)，具有下列性质：r??，?(r)迅速趋于0； ??(r)d? ?0；??(r)r2d??A。今有一束质量m，电荷e ，动量p??k的粒子，沿Z轴方向入射，受到此 电荷分布所生静电场作用而发生散射，试用玻恩近似公式计算向前散射（??0）的微分截面。 —19—