数学参考答案及评分意见 一、选择题

1-5: DACBD 6-10: CBABA 11、12：CA 二、填空题

13. ??2,3? 14. 9 15. 24 16.4?22 三、解答题

17. 解：根据题意画出相应的图形，如图所示，过C作CD?AD，

由题意得：AB?20?153?53 (海里) 60∵?A?30?，?CBD?60? ∴?BCA?30?，

则?ABC为等腰三角形，所以BC?53. 在?BCD中，

∵?CBD?60?，CD?AD，BC?53 ∴CD?15 2则该船向北继续航行，船与小岛的最小距离为7.5海里.

18. 解：设任取一张，抽得一等奖、二等奖、三等奖、不中奖的事件分别为A，B，C，D，它们是互斥事件. 由条件可得P(D)?15，P(B?C)?P(B)?P(C)?， 212511??， 12212（Ⅰ）由对立事件的概率公式知

P?A??1?P?B?C?D??1?P?B?C??P?D??1?所以任取一张，中一等奖的概率为（Ⅱ）∵P(A?B)?∴P(B)?1； 121，而P?A?B??P?A??P?B? 4111??， 412651，∴P(C)? 1241所以任取一张，中三等奖的概率为.

4又P?B?C??P?B??P?C??19. 解:（Ⅰ）设等差数列的首项为a1，公差为d，

?a1?2d?7.由题意有?

2a?10d?26,?1解得a1?3，d?2，

则an?a1??n?1?d?3?2?n?1??2n?1，

3??2n?1??n?a1?an?n????nn?2

Sn????22（Ⅱ）因为bn?Snn(n?2)??n?2， nn又bn?1?bn?n?3??n?2??1， 所以，数列?bn?为等差数列.

20. 解:（Ⅰ）由题可知，第1组：0.050?第2组的频数为0.350?100?35人， 第3组的频数为

5，得n?100 n30?0.300. 100即①处的数据为35，②处的数据为0.300.

（Ⅱ）因为第3，4，5组共有60名学生，

所以利用分层抽样，在60名学生中抽取6名学生，每组分别为：

30?6?3人； 6020第4组：?6?2人；

6010第5组：?6?1人.

60第3组：

所以第3，4，5组分别抽取3人，2人，1人.

设第3组的3位同学为A1，A2，A3，第4组的2位同学为B1，B2，第5组的1位同学为C，

则从6位同学中抽两位同学的可能有A1A2，A1A3，A1B1，A1B2，A1C，A2A3，A2B1，A2B2，A2C，A3B1，

A3B2，A3C，B1B2，B1C，B2C共15种；

其中第4组的两位同学至少有一位同学被选中的有：A1B1，A1B2，A2B1，A2B2，A3B1，A3B2，B1B2，B1C，

B2C共9种可能.

所以第4组的两位同学至少有一位同学被选中的概率P?21. 解:（Ⅰ）已知3a?2csinA 由正弦定理得3sinA?2sinCsinA，

93?. 155因为?ABC为锐角三角形， 所以sinC?故C?3， 2?3.

（Ⅱ）因为S?ABC?所以ab?6， 又c?133absinC?， 227，C?22?3，由余弦定理c?a?b?2abcosC，

222得7?a?b?ab，

所以7??a?b??3ab??a?b??18 所以?a?b??25 则a?b?5.

22. 解:（Ⅰ）因为函数f(x)?x?3x的对称轴为x?所以f(x)?x?3x在x??0,1?上单调递减，

222223，且开口向上， 2所以f(x)min?f?1??1?3??2， ∴m??2.

（Ⅱ）根据题意，由（Ⅰ）可得m??2， 即2x?4y?2?0， 所以x?2y?1. 所以x?2y?1. ∵x?0，y?0

则

1111??(?)(x?2y) xyxy2yx?) xy?(3??3?2x2y ?yx?3?22