?x，0

11.(2017·山东)设f(x)＝?

?2?x－1?，x≥1，

A.2 B.4 C.6 D.8 答案 C

?1?若f(a)＝f(a＋1)，则f??等于( )

?a?

解析 若0＜a＜1，由f(a)＝f(a＋1)，得a＝2(a＋1－1)， 1 ?1?∴a＝，∴f??＝f(4)＝2×(4－1)＝6.

4?a?

若a≥1，由f(a)＝f(a＋1)，得2(a－1)＝2(a＋1－1)，无解.

?1?综上，f??＝6.

a??

故选C.

??x＋4x＋3，x≤0，

12.已知函数f(x)＝?

?3－x，x＞0，?

2

则方程f(x)＋1＝0的实根的个数为( )

A.0 B.1 C.2 D.3 答案 C

解析 依题意得当x≤0时，x＋4x＋3＋1＝0， 解得x＝－2；当x＞0时，3－x＋1＝0，得x＝4. 因此原方程的实根的个数是2.

1??ax2－x－，x≤1，

413.已知函数f(x)＝?

??logax－1，x＞1( )

2

是R上的单调函数，则实数a的取值范围是

?11?A.?，?

?42??1?C.?0，? ?2?

答案 B

?11?B.?，? ?42??1?D.?，1? ?2?

解析 由对数函数的定义，可得a＞0，且a≠1.

12

又函数f(x)在R上单调，而二次函数y＝ax－x－的图象开口向上，

4所以函数f(x)在R上单调递减，

5

?1?≥1，故有?2a1

a×1－1－≥log1－1，??4

2

0＜a＜1，

a

11

解得≤a≤.

42

2??，x≥2，14.已知函数f(x)＝?x???x－1?3，x＜2，数k的取值范围是( )

A.(－1，1) B.(0，1) C.(0，1] D.(－1，0) 答案 B

2

解析 由题意知，函数f(x)＝在[2，＋∞)上是减函数，且0＜f(x)≤1，f(x)＝(x－1)3在(－

若关于x的方程f(x)＝k有两个不同的实根，则实

x∞，2)上是增函数，且f(x)＜1，若关于x的方程f(x)＝k有两个不同的实根，则0＜k＜1.

??x＋1，x≤0，15.(2017·全国Ⅲ)设函数f(x)＝?x??2，x>0，

1? ?则满足f(x)＋f?x－?>1的x的取值范

?2?

围是___.

1??－答案 ?，＋∞? ?4?

11

解析 由题意知，可对不等式分x≤0，0＜x≤，x＞三段讨论.

221

当x≤0时，原不等式为x＋1＋x＋＞1，

21

解得x＞－，

41

∴－＜x≤0.

4

11x当0＜x≤时，原不等式为2＋x＋＞1，显然成立.

22

x－1x当x＞时，原不等式为2＋22＞1，显然成立.

2

1?1?综上可知，x的取值范围是?－，＋∞?. ?4?

考点四 基本初等函数的综合应用

要点重组 函数y＝a和y＝logax(a＞0，a≠1)互为反函数，它们的图象关于直线y＝x对

6

x称.

方法技巧 基本初等函数与不等式的交汇问题是高考的热点，突破此类问题在于准确把握函数的图象和性质.

16.已知函数f(x)＝e－1，g(x)＝－x＋4x－3，若存在f(a)＝g(b)，则实数b的取值范围为( ) A.[1，3]

C.[2－2，2＋2] 答案 D

解析 函数f(x)＝e－1的值域为(－1，＋∞)，g(x)＝－x＋4x－3的值域为(－∞，1]，若存在f(a)＝g(b)，则需g(b)＞－1，即－b＋4b－3＞－1，所以b－4b＋2＜0，解得2－2＜

2

2

x2

B.(1，3)

D.(2－2，2＋2)

x2

b＜2＋2.

17.已知定义在R上的函数f(x)＝2

|x－m|

－1(m为实数)为偶函数.记a＝f(log0.53)，b＝

f(log25)，c＝f(2m)，则a，b，c的大小关系为( )

A.a＜b＜c B.a＜c＜b C.c＜a＜b D.c＜b＜a 答案 C 解析 由f(x)＝2

x|x－m|

－1是偶函数，得m＝0，则f(x)＝2－1.当x∈[0，＋∞)时，f(x)＝

|x|

2－1单调递增，

又a＝f(log0.53)＝f(|log0.53|)＝f(log23)，c＝f(0)，且0＜log23＜log25，则f(0)＜f(log23)＜f(log25)， 即c＜a＜b，故选C.

?1?x?1?xx18.设a，b，c分别是方程2＝log1x，??＝log12x，??＝log2x的实数根，则( )

?2??2?

22A.c＜b＜a C.b＜a＜c 答案 C

B.a＜b＜c D.c＜a＜b

?1?b?1?ca解析 因为2＝log1a＞0，所以0＜a＜1.因为??＝log12b＝－b＞0，所以b＜0.因为???2??2?

22＝log2c＞0，所以1＜c＜2.所以b＜0＜a＜1＜c.

??x，x＜0，

19.已知f(x)＝?

logx，x＞0，??

121＋x

则f(x)≥－2的解集是( )

1??A.?－∞，－?∪[4，＋∞) 3??

7

1??B.?－∞，－?∪(0，4] 3??

?1?C.?－，0?∪[4，＋∞)

?3??1?D.?－，0?∪(0，4] ?3?

答案 B

1＋x1

解析 当x＜0时，f(x)≥－2，即≥－2，可转化为1＋x≤－2x，得x≤－；当x＞0

x3时，f(x)≥－2，即log1x≥－2，可转化为log1x≥log14，解得0＜x≤4.

2221??综上可知不等式的解集为?－∞，－?∪(0，4]. 3??

??log2x，x>0，

20.已知函数f(x)＝?x?3，x≤0，?

且关于x的方程f(x)＋x－a＝0有且只有一个实根，则

实数a的取值范围是________. 答案 (1，＋∞)

解析 画出函数y＝f(x)与y＝a－x的图象如图所示，所以a>1.

ax＋b1.函数f(x)＝2的图象如图所示，则下列结论成立的是( )

?x＋c?

A.a>0，b>0，c<0 B.a<0，b>0，c>0 C.a<0，b>0，c<0 D.a<0，b<0，c<0 答案 C

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