1222

则有m＋(－m＋6)＝10，

212±489

解得m＝，

5

12＋48912－489

∴点Q 的横坐标为或，设点M的横坐标为a，

5512＋48912－489＋6＋655a＋0a＋0

则有＝或＝，

222242＋48942－489∴a＝或.

55又∵点P从点(－10，0)开始运动，

92＋48992－489

∴满足条件的t的值为或.

55

如图4中，当点Q与C重合时，M点的横坐标为6，此时t＝16，

图4

92＋48992－89

综上所述，满足条件的t的值为0或16或或.

55类型四

【例4】 (1)(4，0)

(2)当点Q在原点O时，AQ＝6， 1

∴AP＝AQ＝3，∴t＝3÷3＝1.

2①当0＜t≤1时，如图1，令x＝0，

图1

∴y＝4，∴B(0，4)，∴OB＝4. ∵A(6，0)，∴OA＝6，

OBPD2

在Rt△AOB中，tan∠OAB＝＝＝，

OA3t3由运动知AP＝3t，∴P(6－3t，0)， ∴Q(6－6t，0)，∴PQ＝AP＝3t. ∵四边形PQMN是正方形， ∴MN∥OA，PN＝PQ＝3t，

PDPD2

在Rt△APD中，tan∠OAB＝＝＝，

AP3t3∴PD＝2t，∴DN＝t. ∵MN∥OA，∴∠DCN＝∠OAB， DNt2

∴tan∠DCN＝＝＝，

CNCN33∴CN＝t，

2

133322

∴S＝S正方形PQMN－S△CDN＝(3t)－t×t＝t.

224

43

②当1＜t≤时，如图2，同①的方法得DN＝t，CN＝t，

32

图2

13392

∴S＝S矩形OENP－S△CDN＝3t×(6－3t)－t×t＝－t＋18t.

224

412

③当＜t≤2时，如图3，S＝S梯形OBDP＝(2t＋4)(6－3t)＝－3t＋12.

32

图3

(3)如图4，由运动知P(6－3t，0)，Q(6－6t，0)，

图4

∴M(6－6t，3t)．

∵T是正方形PQMN的对角线交点， 93

∴T(6－t，t)，

22

1

∴点T是直线y＝－x＋2上的一段线段，(－3≤x＜6)．

3同理，点N是直线AG：y＝－x＋6上的一段线段，(0≤x≤6)， ∴G(0，6)，∴OG＝6. ∵A(6，0)，∴AB＝62.

∵T是正方形PQMN的对角线的交点， ∴TN＝TP，∴OT＋TP＝OT＋TN，

∴点O，T，N在同一条直线上，且ON⊥AG时，OT＋TN最小，即OT＋TN最小． 11

∵S△OAG＝OA·OG＝AG·ON，

22OA·OG

∴ON＝＝32，

AG即OT＋PT的最小值为32. 变式训练

4．解：(1)如图，连结BP.

在Rt△ACB中，∵AC＝BC＝4，∠C＝90°，∴AB＝42. ∵点B在线段PQ的垂直平分线上， ∴BP＝BQ.

∵AQ＝2t，CP＝t，∴BQ＝42－2t，PB＝4＋t， ∴(42－2t)＝16＋t，解得t＝8－43或8＋43(舍去)，

2

2

2

2

2

∴t＝(8－43)s时，点B在线段PQ的垂直平分线上．

(2)①如图，当PQ＝QA时，易知△APQ是等腰直角三角形，∠AQP＝90°，

4

则有PA＝2AQ，∴4－t＝2·2t，解得t＝.

3

②如图，当AP＝PQ时，易知△APQ是等腰直角三角形，∠APQ＝90°，

则有AQ＝2AP，∴2t＝2(4－t)，解得t＝2.

4

综上所述，t＝ s或2 s时，△APQ是以PQ为腰的等腰三角形．

3

(3)如图，连结QC，作QE⊥AC于E，作QF⊥BC于F.则QE＝AE，QF＝EC，可得QE＋QF＝AE＋EC＝AC＝4，

111

∴S＝S△QNC＋S△PCQ＝CN·QF＋PC·QE＝t(QE＋QF)＝2t(0＜t＜4)． 222