22.本题主要考查函数最大（最小）值的概念、利用导数研究函数的单调性等基础知识，同时考查推理论证、分类讨论、分析问题和解决问题等综合解题能力。满分14分。

?x3?3x?3a,(x?a)?3x2?3,(x?a)（I）因为f?x???3，所以f'?x???2，

?x?3x?3a,(x?a)?3x?3,(x?a)由于?1?x?1，

（i）当a??1时，有x?a，故f?x??x3?3x?3a，

此时f?x?在??1,1?上是增函数，因此M?a??f?1??4?3a，m?a??f??1???4?3a，

M?a??m?a??4?3a???4?3a??8

（ii）当?1?a?1时，

若x??a,1?，f?x??x?3x?3a，在?a,1?上是增函数，

3若x???1,a?，f?x??x?3x?3a，在??1,a?上是减函数，

3所以m?a??maxf??1?,f?1?，m?a??f?a??a，由于f?1??f??1???6a?2，

3??因此，当?1?a?11时，M?a??m?a???a3?3a?4，当?a?1时，33M?a??m?a???a3?3a?2，

3（iii）当a?1时，有x?a，故f?x??x?3x?3a，此时f?x?在??1,1?上是减函数，

因此M?a??f??1??2?3a，m?a??f?1???2?3a，故

M?a??m?a??2?3a??2?3a??4，综上8,?a??1?????a3?3a?4,??1?a?1????3???M?a??m?a???；

??a3?3a?2,?1?a?1?????3??4,?a?1????x3?3x?3a?b,(x?a)（II）令h?x??f?x??b，则h?x???3，

x?3x?3a?b,(x?a)??3x2?3,(x?a)h'?x???2，

?3x?3,(x?a)/

因为??f?x??b???4，对x???1,1?恒成立，即?2?h?x??2对x???1,1?恒成立，

2所以由（I）知，

（i）当a??1时，h?x?在??1,1?上是增函数，h?x?在??1,1?上的最大值是

2，且4?3a?b?2，h?1??4?3a?b，最小值是h??1???4?3a?b，则?4?3a?b??矛盾；

（ii）当?1?a?1时，h?x?在??1,1?上的最大值是h?1??4?3a?b，最小值是3h?a??a3?b，所以a3?b??2，4?3a?b?2，从而?2?a3?3a?3a?b?6a?2且

0?a?1?1?，令t?a???2?a3?3a，则t'?a??3?3a2?0，t?a?在?0,?上是增函数，3?3?故t?a??t?0???2，因此?2?3a?b?0， （iii）当

1?a?1时，h?x?在??1,1?上的最大值是h??1??3a?b?2，最小值是328h?a??a3?b，所以a3?b??2，3a?b?2?2，解得??3a?b?0，

27（iv）当a?1时，h?x?在??1,1?上的最大值是h??1??3a?b?2，最小值是

h?1???2?3a?b，所以3a?b?2?2，?2?3a?b??2，解得3a?b?0，综上3a?b的取值范围?2?3a?b?0.

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