一．LMS算法原理
最小均方算法即LMS算法是B.Widrow和Hoff[3][9]于1960年提出来的。由于实现简单且对信道统计特性变化具有稳健性，LMS算法获得了极为广泛的应用。LMS算法是基于最小均方误差准则（MMSE）的维纳滤波器[9]和最陡下降法提出的。在本节中，主要讨论LMS算法。在讨论LMS算法之前，先介绍一下推导LMS算法的准则，即均方误差的概念。
LMS 算法的推导以估计误差平方的集平均或时平均（即均方误差，MSE）为基础。下面先介绍MSE的概念。
设计一个均衡系统如下图所示：
待均衡的信道均衡器weq(n)判决器?(n)?y??d(n)
e(n)图2.1 均衡器的系统结构
图2.1中的均衡器为一FIR横式滤波器，其结构如图2.2所示。其输入矢量为
x(n)??x(n),x(n?1),?,x(n?M?1)? （2.1.1）
T加权矢量（即滤波器抽头系数矢量）为
w??w1,w2,?,wM? （2.1.2）
T可知滤波器的输出
?(n)??wi*x(n?i?1)?wHx(n)?xT(n)w* y（2.1.3）
i?1M?(n)?d(n)?wHx(n) （2.1.4）则有 e(n)?d(n)?y 其中H表示共轭转置。根据最小均方误差准则，最佳的滤波器抽头系数矢量wopt应
f（w）?E?e(n)2? （2.1.5）
使得性能函数—均方误差[9]为最小。式（2.1.5）称为均方误差性能函数。
x(n)z?1x(n?1)x(n?M?1)z?1z?1w1w2wM线性组合器??(n)y
图2.2 时域FIR横式滤波器
在指定的信道条件下，f（w）为各滤波器抽头系数的函数。现在来研究系统处于平稳状态时的情况。将式（2.1.4）代入式（2.1.5）可得
f（w）?E??E??E?e(n)d(n)d(n)222??E?e(n)e(n)?
??wr?(wr)?wRw ??2Re?wr??wRw （2.1.6）
*HH*HxdxdxxHHxdxx其中rxd表示d(n)和x(n)的互相关矢量。Rxx(n)表示x(n)的自相关矩阵。 对（2.1.6）式两端对w求导，并令导数为零，得到：
Rxxw?rxd （2.1.7） 当Rxx为满秩时，从而可得到该横式滤波器抽头系数的最优维纳解为[7][9]：
?1wopt?Rxxrxd （2.1.8）
由式（2.1.8）知Wiener滤波器的抽头系数的直接计算需要矩阵求逆，当M较大时，计算量较大且由于信号和干扰环境的变化常须对求逆过程不断进行。所以常用其它递推求解的方法。
下面我们介绍从最陡下降法来推导LMS算法。根据最陡下降法[7][9]，有： w(n?1)?w(n)???wf(w) （2.1.9） 其中，?wf(w)为f(w)的梯度，而?为常数并被称为步长因子。又因为： ?wf(w)?2Rxxw?2rxd （2.1.10）
为了实现上述迭代算法需要知道梯度?wf(w)的精确值，这就要求输入信号
x(n)和d(n)平稳且其二阶统计特性已知
[7][9]
。这时才能根据信号x(n)和需要信号
d(n)的采样值来估计Rxx和rxd，从而寻找wopt。
为了克服上述困难和减少求解每次迭代的计算量的问题。一种粗略的但是却是十分有效的计算?wf(w)的近似方法是：直接取e(n)作为均方误差
E2?e(n)2?的估计值，即
?f(w)???E ?ww?2e(n)2???we(n)2 （2.1.11）
由式（2.1.4）可得
?we(n)??2e(n)x(n) （2.1.12）
将式（2.1.11）和式（2.1.12）代入式（2.1.9）得
w(n?1)?w(n)?2?e(n)x(n) （2.1.13） 上式就是B.Windrow在60年代初提出的LMS自适应迭代算法。LMS算法的流程归纳如下：
⑴ 初始化：wM?[00?0]T ⑵ 更新：n?1,2,?
?(n) e(n)?d(n)?yw(n?1)?w(n)?2?e(n)x(n)
在第二步中，若取?=常数，则称之为基本LMS算法；若取?=其中??(0,2)，??0，则得到归一化LMS算法。
???x(n)x(n)H,
LMS算法的重要特点是将其期望值近似为瞬时值。故在迭代收敛后，加权矢量不会等于最优的加权矢量，而是在最优加权矢量附近随机性的波动，等效于在最优加权矢量上叠加了一个噪声，也就是说这种近似存在误差。所以，LMS算法又被称为随机梯度法。此法可以被视为最陡下降法的近似。其另一个重要的特点是每次迭代需要M?1次乘法和M次加法，因而运算处理相当简单。
二．仿真图
三．模块参数设置
1.不同的M值，LMS模块参数
M=18 M=24