点睛：研究两个直角三角形边角关系时，需从公共边出发，结合已知条件列出等量关系，进而求得未知量. 15.设

为正实数，且

，则

的最小值为________.

【答案】 【解析】 ∵ ∴∴∴又∵∴当且仅当∴

16.已知数列

为公差不为零的等差数列，且，则

【答案】【解析】

分析：先根据等比中项性质得到等差数列公差与首项关系，再求等比数列公比，进而得等比数列通项公式，解出，最后根据分组求和法得结果. 详解：设数列

公差为，则

因此

，

中的项组成的数列

恰为等比数列，其中

时，即的最小值为.

时

取得最小值，

；

,令

， ，

，

________.

从而

点睛：本题采用分组转化法求和，将原数列转化为一个等差数列与一个等比数列的和. 分组转化法求和的常见类型主要有分段型（如

），符号型（如

），周期型 （如

）

三、解答题（本大题共6小题，共70分）

17.等比数列 （1）求数列（2）若

中，已知的通项公式； 分别为等差数列

；（2）

的第项和第.

项，求数列

的通项公式及前项和.

.

【答案】（1）【解析】

分析：(1)先根据等比数列通项公式列出公比与首项的方程组，解得公比与首项，代入通项公式即得结果，（2）先根据等差数列通项公式列出公差与首项的方程组，解得公差与首项，代入通项公式即得数列通项公式，代入求和公式即得. 详解： (1)设

的公比为，由已知得

，则

，解得

，所以，设，且数列

.

点睛：在解决等差、等比数列的运算问题时，有两个处理思路,一是利用基本量,将多元问题简化为首项与公差（公比）问题,虽有一定量的运算,但思路简洁,目标明确;二是利用等差、等比数列的性质,性质是两种数列基本规律的深刻体现，是解决等差、等比数列问题既快捷又方便的工具，应有意识地去应用. 18.在（1）若（2）若【答案】

中，角

的对边分别为，求

的面积

的形状

，且

成等差数列

.

，解得

，的

(2)由(1)得的公差为，则有前项和

成等比数列，试判断

【解析】

试题分析：（1）在解决三角形的问题中，面积公式

最常用，因为公

式中既有边又有角，容易和正弦定理、余弦定理联系起来；在求面积时注意角优先；（2）在判断三角形的形状时，一般将将已知条件中的边角关系利用正弦定理或余弦定理转化为角角关系或边边关系，再利用三角变换或代数式恒等变形（因式分解，配方等）求解，注意等式两边的公因式不要约掉，要移项提公因式，否者会漏解

试题解析：（1）由A，B，C成等差数列，有2B=A+C（1） 因为A，B，C为△ABC的内角，所以A+B+C=π．（2） 得B=

b2=a2+c2-2accosB 所以（所以

（2）由a，b，c成等比数列，有b2=ac（4） 由余弦定理及（3），可得b2=a2+c2-2accosB=a2+c2-ac 再由（4），得a2+c2-ac=ac， 即（a-c）2=0 因此a=c 从而A=C（5）

由（2）（3）（5），得A=B=C=所以△ABC为等边三角形．

考点：等差数列和等比数列的性质，三角形形状的判断，余弦定理的应用．

19.正三棱柱

中，是

上一点，若

．

解得

或

（舍去）

（）若底面边长为，侧棱长为，求该正三棱柱的表面积、体积． （）求证：

平面

．

【答案】（）【解析】 试题分析：

，（）见解析

（1）由等边三角形、矩形的面积公式可得柱体的表面积；由体积公式可得柱体的体积。（2）由题意可证得点D为BC的中点，连平面

．

，交

于点，则点O为

的中点，连接

，可得

，从而可证得

试题解析： （）在正三棱柱∵ ∴

的边长为，

，

，

．

中，

为等边三角形，

∴正三棱柱的表面面积体积

（）证明： ∵

，

，

∴ 点D为BC的中点。

连接，交于点，则点为的中点。