设函数f?x??x?1?x?a. （1）当a?2时, 解不等式f?x??5；

（2）若存在x0?R,使得f?x0??3,求实数a的取值范围.

淮南二中2017届高三第四次月考

数学试卷（理科）答案

一、选择题（本大题共12个小题，每小题5分，共60分.） 题号 答案 1 A 2 C 3 B 4 B 5 C 6 B 7 A 8 D 9 A 10 B 11 C 12 D 二、填空题（本大题共4小题，每题5分，满分20分．） 13.

319?ln2 14. ? 15. ln2 16. 232三、解答题：（解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤）

17解：（1）an?2n?1(n?N*) -----------------------------3分

bn?2n?1(n?N*)------------------------------------6分

2n?1， n?121352n?1Tn=0?1?2?L?n?1，①

22221352n?32n?11∴ Tn= 1?2?3?L?n?1? ，②

22222n22222n?11① -②得，Tn=1?1?2?L?n?1?

2222n22n?32n?3T=3?，∴=--------------------------------------12分 6?nnn?122?1f(x)?cosxsin(x?)?cos2x?18解（1）64

（2）由（Ⅰ）得cn??------3分

故

3?1sin(2x?)?------------------------------------------------------232y?f(x)周期

T??-----------------------------------------------------------4分

5

2325??则??k??x??k?,(k?Z)

12125??所以y?f(x)单调增区间为[??k?,?k?],(k?Z)-----------6分

12125? (2) 由f(A)?可得A?----------------------------------------8分

46所以cosA＝

3222

. 由余弦定理a＝b＋c－2bccosA， 2

2

2

令???2k??2x?????2k?,(k?Z)

可得1＋3bc＝b＋c≥2bc， 即

bc≤2＋3，且当b＝c时等号成立

----------------------------------------------------10分．

12＋32＋3因此bcsinA≤.所以△ABC面积的最大值为.--------------------------12分

24419解（1） 函数f(x)＝x-2ax-1+a＝－(x－a)＋a－a＋1，对称轴方程为x＝a.

当a＜0时，f(x)min＝f(0)＝a－1， ∴a－1＝-2，∴a＝－1

当0≤a≤1时，f(x)min＝-a＋a－1， ∴-a＋a－1＝-2，∴a－a－1＝0， 1±5∴a＝(舍去)．

2

当a＞1时，f(x)min＝f(1)＝-a，∴a＝2. 综

上

：

2

2

2

2

2

2

a＝2 或a＝－

1.----------------------------------------------------------------------6分 （2）∵g(x)?xxf(x)1f(x) ∴g(x)??x??4

xxx∵g(2)?k?2?0对任意x?[0,1]时恒成立，

1?4?k?2x?0对任意x?[0,1]时恒成立 x2121∴k?(x)?4(x)?1对任意x?[0,1]时恒成立----------------------------8分

22即2?x只需 k??(令t?1?12?)?4()?1? xx22??max11t?[，1] -------------------------------------10分 x?[0,1]，由得

22x312设h(t)?t?4t?1 当t?即x?1时，h(t)取得最大值?

42133∴k?h()??∴k的取值范围为[?,??)------------------------------------------12

244

6

分

x2y22220解：（Ⅰ）设椭圆的方程为2?2?1?a?b?0?，依题意得解得a?4，b?1. 所以椭圆Cabx2?y2?1.------------------------------------------3分 的方程为4（Ⅱ）显然点A(2,0).

（1）当直线l的斜率不存在时，不妨设点P在x轴上方，易得P(1,33),Q(1,?)，22uuuuruuur33M(3,?),N(3,)，所以PMgQN?1. -----------------------------5分

22（2）当直线l的斜率存在时，由题意可设直线l的方程为y?k(x?1)，显然k?0时，不符合题意.

由??y?k(x?1),2222(4k?1)x?8kx?4k?4?0. 得22?x?4y?4?08k24k2?4P(x1,y1),Q(x2,y2),则x1?x2?2,x1x2?2.-------------------7分

4k?14k?1直线AP，AQ的方程分别为：y?y1y2(x?2),y?(x?2)， x1?2x2?2令x?3，则M(3,y1y),N(3,2). 所以. x1?2x2?2uuuury(3?x1)y(3?x2)PM?(3?x1,1)QN?(3?x2,2)-----------------------------------9分

x1?2x2?2uuuuruuury1y2y(3?x1)y2(3?x2)?(3?x1)(3?x2)(1?) QN?(3?x1)(3?x2)?1?所以PMg(x1?2)(x2?2)x1?2x2?2?(3?x1)(3?x2)(1?k2?(x1?1)(x2?1)xx?(x1?x2)?1)?[x1x2?3(x1?x2)?9]?[1?k2?12]

(x1?2)(x2?2)x1x2?2(x1?x2)?44k2?48k2?2?1216k2?5?3k24k2?48k224k?14k?1)?(1?) ?(2?3?2?9)?(1?k?2)?(2224k?48k4k?14k4k?14k?1?2??44k2?14k2?1 7

?16k2?516k2?4?1?116k2?4.-----------------------------------------------11分 因为k2?0，所以16k2?4?4，所以1?16k2?5uuuuruuu16k2?4?54，即PMgQNr?(1,54). 综上所述，uPMuuurguQNuur的取值范围是[1,54).--------------------------------12分 2x221解（1）f(xm?x?x也即x21lnm?x)?x?0即em?x?lnx故m?x?xx2，----------2分令h(x)?lnx?xx2 则h'(x)?1?x?2lnxx3(x?0) 易知h'(1)?0且y?1?x?2lnx在x?(0,??)单调递减 所以当0?x?1时，h'(x)?0当x?1，h'(x)?0， 所以当x=1时，h(x)?lnx?xx2取得最大值h(1)?1故1m?1，即0?m?1-------=-5分 (2) （Ⅰ）g'?x??ex?x2?2x?a?．

因为函数g?x?有两个不同的极值点，即g'?x?有两个不同的零点，

即方程x2?2x?a?0的判别式??4?4a?0，解得a??1.---------------7分 （Ⅱ）由x2?2x?a?0，解得x1??1?a?1，x2??1?a?1． 此时x1?x2??2，x1x2??a.

随着x变化时，g?x?和g'?x?的变化情况如下：

x ???,x1? x1 ?x1,x2? x2 ?x2,??? g'?x? ＋ 0 － 0 ＋ g?x? ↗ 极大值 ↘ 极小值 ↗ 所以x1是函数g?x?的极大值点，x2是函数g?x?的极小值点.

所以g?x1?为极大值，g?x2?为极小值．---------------------------------9分 所以g?xx1?g?x2??e1?x21?a??ex2?x22?a?

8