随机过程复习题二

1．以T1表示泊松过程{N(t),t?0}中事件首次发生的时刻，则对于s?t，求条件概率P{T1?s|N(t)?1}

2．设{N(t), t?0}是强度为?的泊松过程，N(t)表示到时刻t为止事件A发生的次数，则对任意0?s?t，求EN(t),DN(t),cov(N(t),N(s)).

3．设某公交车站从早晨5时至晚上21时有车发出．从5时至8时乘客的平均到达率呈现性增加，5时乘客的平均到达率为200人/小时，8时乘客的平均到达率为1400人/小时；8时至18时乘客的平均到达率不变；18时至21时乘客的平均到达率线性减少，到21时为200人/小时．假定在不相重叠的时间间隔内到达车站的乘客数相互独立． 求（1）12时至14时恰有2000名乘客到车站的概率； （2）这两小时内到车站的乘客平均数．

4．假定某天文台观测到的流星流是一个泊松过程，据以往资料统计为每小时平均观察到3颗流星. 试求

（1）在上午8点到12点期间，该天文台没有观察到流星的概率.

（2）下午（12点以后）该天文台观察到第一颗流星的时间的分布函数.

5．某商场为调查顾客到来的客源情况，考察了男女顾客来商场的人数。假设男女顾客到达商场的人数分别独立地服从每分钟1人与每分钟2人的泊松过程。 (1) 试计算(0,t]时间内到达商场顾客的总人数服从的分布；

(2) 在已知t时刻已有50人到达的前提下，问其中有20位男性顾客的概率有多大，平均有多少位男性顾客？

6．将两个红球四个白球分别放入甲、乙两个盒子里. 每次从两个盒子中各取一球交换，以Xn 表示第n次交换后甲盒中的红球数，则{Xn , n =0,1,2，…}是状态空间为I={0,1,2}的时齐马尔可夫链.

（1） 写出其一步转移概率矩阵.（2）求其平稳分布.

(?0,?1,?2)?(251515,8,1). （5分）

7. 设明天是否有雨仅与今天的天气有关，而与过去的天气无关. 又设今天下雨时明天也下雨的概率为0.7，今天无雨时明天有雨的概率为0.4. 记有雨天气为状态0，无雨天气为状态1, 求今天有雨的条件下，这之后第四天仍有雨的概率.

8．我国某种商品在国外销售情况共有连续24个季度的数据（其中1表示畅销，2表示滞销）1,1,2,1,2,2,1,1,1,2,1,2,1,1,2,2,1,1,2,1,2,1,1,1

如果该商品销售情况近似满足时齐性与马尔可夫性.

（1） 试确定销售状态的一步转移概率矩阵.

（2） 如果现在是畅销，是预测这之后第四个季度的销售状况. （3） 如果影响销售的所有因素不变，试预测长期的销售状况.