第一章 集合、关系与函数 习题答案

1、用列举法表示下列集合。

（1）{x|x是小于20的正偶数}={2，4，6，8，10，12，14，16，18}

2

（2）{x|x是整数，x＜80}={0，±1，±2，±3，±4，±5，±6，±7，±8} （3）{x|x=3k，k是小于10的素数}={6,9,15,21}

（4）{x|x是能整除30的正整数}={1，2，3，5，6，10，15，30}

（5）{x|x是小于30的素数}={2，3，5，7，11，13，17，19，23，29}

2、用特征法表示下列集合。

（1）{1，3，5，…，99}={x|x是正奇数，x≤99}

2

（2）{1，4，9，16，25}={x|x=k,k是正整数，k≤5}

（3）{5，10，15，…，100}={x|x=5k,k是正整数，k≤20}

?1（4）{1，3，2，5，3，7，4}={x|x=k2，k是正整数，k≤7} 2223、设A，B，C是集合，确定下列命题是否正确，并说明理由。 （1）如果A∈B,B?C,则A?C。

? 。 解：不正确。例如，A={a}，B={{a},b}，C={{a},b }。易见A∈B,B?C但A C（2）如果A∈B,B?C,则A∈C。

解：正确。因为B?C，所以B中元素都属于C，而A∈B，所以A∈C。 （3）如果A?B,B∈C,则A∈C。

解：不正确。例如，A={a}，B={a,b}，C={{a,b}}。易见A?B,B∈C但A?C。 （4）如果A?B,B∈C,则A?C。

? 。 解：不正确。例如，A={a}，B={a,b}，C={{a,b}}。易见A?B,B∈C但A C

4、确定下列命题是否正确。

（1）??? 正确。 （2）?∈? 错误。 （3）??{?} 正确。 （4）?∈{?} 正确。

5、设A，B，C是集合。

（1）如果A?B,B?C,是否必有A?C？

解：不一定。例如，A={a}，B={b},C={{a}}。易见A?B,B?C,但A∈C。 （2）如果A∈B,B?C,是否必有A?C？

解：不一定。例如，A={a}，B={{a}},C={{a}}。易见A∈B,B?C,但A∈C。 （3）如果A?B,B?C,是否必有A?C？

解：不一定。例如，A={a}，B={a,b},C={{a}}。易见A?B,B?C,但A∈C。

6、求下列集合的幂集。 （1）{1，2，3，4，5} 解：P({1，2，3，4，5})

={?,{1},{2},{3},{4},{5},{1,2},{1,3},{1,4},{1,5},{2,3},{2,4},{2,5},{3,4},{3,5},{4,5},{1,2,3}, {1,2,4},{1,2,5},{1,3,4},{1,3,5},{1,4,5},{2,3,4},{2,3,5},{2,4,5},{3,4,5},{1,2,3,4},{1,2,3,5}, {1,2,4,5},{1,3,4,5},{2,3,4,5},{1，2，3，4，5} } （2）{a，b，{a,b}}

解：P({a，b，{a,b}})={?,{a},{b},{{a,b}},{a,b},{a,{a,b}},{b,{a,b}},{ a，b，{a,b}}} （3）? 解：P(?)={?}

（4）{?} 解：P({?})={?,{?}}

（5）{?,{?}} 解：P({?,{?}})={?,{?},{{?}},{?,{?}}}

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7、设A={a},求P(P(A))。 解：P(A)={?，{a}}，

P(P(A))={ ?，{?}，{{a}}，{?，{a}}}

8、设Z+是正整数集，A，B，C是Z+

的子集，且：

A={i|i2

＜50}={1，2，3，4，5，6，7}

B={i|i能整除30}={1，2，3，5，6，10，15，30} C={1,3,5,7} 求下列集合。

（1）A∪C={1，2，3，4，5，6，7}

（2）A∪(B∩C)={1，2，3，4，5，6，7} （3）C-(A∩B)={7}

（4）(B∩C)-(A∪B)={1,3,5}-{1，2，3，4，5，6，7, 10，15，30}={}= ? （5）A⊕C=(A-C)∪(C-A)={2,4,6}∪{}={2,4,6}

9、给定正整数集Z+

的子集： A={x|x＜12} B={x|x≤8}

C={x|x=2k,k∈Z+

}

D={x|x=3k,k∈Z+

}

试用A，B，C，D的运算表示下列集合。

（1）{2，4，6，8}=B∩C （2）{1，3，5，7}=B-C （3）{3，6，9}=A∩D （4）{10}=A∩C-B

（5）{x|x是大于12的奇数}=C-A

10、证明下列各等式。 （1）A∩(B?A)= ?

证：A∩(B?A)=A∩(B∩A)= (A∩A)∩B= ?∩B= ? （2）A∪(B-A)=A∪B

证：A∪(B-A)= A∪(B∩A)=(A∪B)∩(A∪A)=(A∪B)∩E=A∪B （3）A∩(A-B)= A-B

证：A∩(A-B)= A∩A∩B= A∩B= A-B （4）(A∩B)∪(A-B)=A

证：(A∩B)∪(A-B)= (A∩B)∪(A∩B)=A∩(B∪B)=A∩E=A （5）(A∩B)-C = (A-C)∩(B-C)

证：(A∩B)-C= A∩B∩C=A∩B∩C∩C= (A∩C)∩(B∩C)=(A-C)∩(B-C) （6）(A-B)-C = (A-C)-B

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证：(A-B)-C=A∩B∩C= (A∩C)∩B=(A-C)-B （7）(A-B)-C = (A-C)-(B-C)

证：(A-C)-(B-C)=(A∩C)∩B?C=(A∩C)∩B?C =(A∩C)∩(B∪C)=(A∩C)∩(B∪C) =(A∩C∩B) (A∩C∩C)= (A∩B∩C)∪? = (A∩B)∩C=(A-B)-C （8）(A∪B) -C = (A-C)∪(B-C)

证：(A-C)∪(B-C)=(A∩C)∪(B∩C)=(A∪B)∩C=(A∪B) -C （9）(A-B)∪(A-C)∪(A∩B∩C) = A

证：(A-B)∪(A-C)∪(A∩B∩C) = (A∩B)∪(A∩C)∪(A∩B∩C) =(A∩(B∪C))∪(A∩(B∩C)) =(A∩(B?C))∪(A∩(B∩C)) =A∩((B?C))∪(B∩C))= A∩E=A 11、12、14、15答案见教材62-64页。 13、证明下列等式。 （1）A∪(A⊕B)=A∪B

证：A∪(A⊕B)= A∪(A-B)∪(B-A)=A∪(A∩B)∪(B∩A)=A∪(B∩A)(吸收律) =（A∪B）∩（A∪A）=（A∪B）∩E= A∪B

（2）(A∪B)⊕(A∩B)=A⊕B

证：(A∪B)⊕(A∩B)= ((A∪B)-(A∩B))∪((A∩B)- (A∪B)) =（(A∪B)∩A?B）∪((A∩B)∩A?B)) =（(A∪B)∩(A∪B)∪((A∩B)∩(A∩B))

=(((A∪B)∩A)∪((A∪B)∩B))∪((A∩A)∩(B∩B)) =(((A∩A)∪(B∩A))∪((A∩B)∪(B∩B)))∪(?∩?) =((?∪(B∩A))∪((A∩B)∪?))∪? =(B∩A)∪(A∩B)=(B-A)∪(A-B)= A⊕B （3）(A∪B)⊕(A-B)=B

证：(A∪B)⊕(A-B)= ((A∪B)-(A∩B))∪((A∩B)- (A∪B))

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=((A∪B)∩A?B)∪((A∩B)∩A?B) =((A∪B)∩(A∪B))∪((A∩B)∩(A∩B)) =((A∩A)∪B)∪((A∩A)∩(B∩B)) =(?∪B)∪(?∩B)=B∪?=B （4）(A∩B)⊕(A-B)=A

证：(A∩B)⊕(A-B)= ((A∩B)-(A∩B))∪((A∩B)- (A∩B)) =((A∩B)∩A?B)∪((A∩B)∩A?B) =((A∩B)∩(A∪B))∪((A∩B)∩(A∪B)) =(A∩(B∩(A∪B)))∪(A∩(B∩(A∪B))) =(A∩B)∪(A∩B)(吸收律) =A∩(B∪B)=A∩E=A

（5）(A∩B)⊕(A∪B)⊕(A-B)=B-A

证：(A∩B)⊕(A∪B)⊕(A-B)=(((A∩B)-(A∪B))∪((A∪B)-(A∩B)))⊕(A-B) =(((A∩B)∩(A∩B))∪((A∪B)∩(A∪B)))⊕(A-B)

=(((A∩A)∩(B∩B))∪(((A∪B)∩A)∪((A∪B)∩B)))⊕(A-B) =((?∩?)∪(((A∩A)∪(B∩A))∪((A∩B)∪(B∩B))))⊕(A-B) =(?∪((?∪(B∩A))∪((A∩B)∪?)))⊕(A-B)

=((B∩A)∪(A∩B))⊕(A-B)= ((B∩A)∪(A∩B))⊕(A∩B) = (((B∩A)∪(A∩B))-(A∩B))∪((A∩B)-((B∩A)∪(A∩B))) = (((B∩A)∪(A∩B))∩(A∪B))∪((A∩B)∩(B?A)?(A?B))

= (((B∩A)∩(A∪B))∪((A∩B)∩(A∪B)))∪((A∩B)∩((B∪A)∩(A∪B))) = ((B∩(A∩(A∪B)))∪(A∩(B∩(A∪B))))∪(A∩(B∩(B∪A))∩(A∪B)) = (B∩A)∪(A∩B∩(A∪B))∪(A∩B∩(A∪B)) = (B∩A)∪(A∩B∩(A∪B))

= (B∩A)∪(A∩((B∩A)∪(B∩B)))

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