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光的衍射（附答案）

一． 填空题

1. 波长λ = 500 nm（1 nm = 10?9 m）的单色光垂直照射到宽度a = mm的单缝上，单缝后面放置一凸透镜，在凸透镜的焦平面上放置一屏幕，用以观测衍射条纹．今测得屏幕上中央明条纹之间的距离为d = 12 mm，则凸透镜的焦距 f 为3 m． 2. 在单缝夫琅禾费衍射实验中，设第一级暗纹的衍射角很小，若钠黄光（λ1 ≈

?9

589 nm）中央明纹宽度为 mm，则λ2 ≈ 442 nm（1 nm = 10m）的蓝紫色光的中央明纹宽度为 mm． 3. 平行单色光垂直入射在缝宽为a = mm的单缝上，缝后有焦距为f = 400 mm的凸透镜，在其焦平面上放置观察屏幕．现测得屏幕上中央明纹两侧的两个第三级暗纹之间的距离为8 mm，则入射光的波长为500 nm（或5×10?4mm）． 4. 当一衍射光栅的不透光部分的宽度b与透光缝宽度a满足关系 b = 3a 时，衍射光谱中第±4, ±8, …级谱线缺级． 5. 一毫米内有500条刻痕的平面透射光栅，用平行钠光束与光栅平面法线成30°角入射，在屏幕上最多能看到第5级光谱． 6. 用波长为λ的单色平行红光垂直照射在光栅常数d = 2 μm（1 μm = 10?6 m）的光栅上，用焦距f = m的透镜将光聚在屏上，测得第一级谱线与透镜主焦点的距离l = m，则可知该入射的红光波长λ=或633nm． 7. 一会聚透镜，直径为3 cm，焦距为20 cm．照射光波长550nm．为了可以分辨，两个远处的点状物体对透镜中心的张角必须不小于×10?5rad．这时在透镜焦平面上两个衍射图样中心间的距离不小于μm． 8. 钠黄光双线的两个波长分别是 nm和 nm（1 nm = 10?9 m），若平面衍射光栅能够在第二级光谱中分辨这两条谱线，光栅的缝数至少是500． 9. 用平行的白光垂直入射在平面透射光栅上，波长为λ1 = 440 nm的第3级光谱线将与波长为λ2 =660 nm的第2级光谱线重叠（1 nm = 10?9 m）． 10. X射线入射到晶格常数为d的晶体中，可能发生布拉格衍射的最大波长为2d．

二． 计算题

11. 在某个单缝衍射实验中，光源发出的光含有两种波长λ1和λ2，垂直入射于单缝上．假如λ1的第一级衍射极小与λ2的第二级衍射极小相重合，试问：(1) 这两种波长之间有何关系(2) 在这两种波长的光所形成的衍射图样中，是否还有其它极小相重合

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解：(1) 由单缝衍射暗纹公式得

a sinθ1 = 1 λ1 a sinθ2 = 2 λ2

由题意可知 θ1 = θ2, sinθ1 = sinθ2 代入上式可得 λ1 = 2 λ2

(2) a sinθ1 = k1 λ1 =2 k1 λ2 (k1=1, 2, …)

sinθ1 = 2 k1 λ2 / a a sinθ2 = k2 λ2 (k2=1, 2, …) sinθ2 = 2 k2 λ2 / a

若k2 = 2 k1，则θ1 = θ2，即λ1的任一k1级极小都有λ2的2 k1级极小与之重合．

12. 在单缝的夫琅禾费衍射中，缝宽a = mm，平行光垂直如射在单缝上，波长λ= 500 nm，会聚透镜的焦距f = m．求中央亮纹旁的第一个亮纹的宽度Δx． 解：单缝衍射第1个暗纹条件和位置坐标x1为

a sinθ1 = λ x1 = f tanθ1 ≈ f sinθ1 ≈ f λ / a (∵θ1很小)

单缝衍射第2个暗纹条件和位置坐标x2为

a sinθ2 = 2 λ

x2 = f tanθ2 ≈ f sinθ2 ≈ 2 f λ / a (∵θ2很小)

单缝衍射中央亮纹旁第一个亮纹的宽度

Δx1 = x2 ? x1 ≈ f (2 λ / a ? λ / a) = f λ / a=××10?7/×10?4) m

=．

13. 在单缝夫琅禾费衍射中，垂直入射的光有两种波长，λ1 = 400 nm，λ2 = 760 nm（1 nm = 10?9 m）．已知单缝宽度a = ×10?2 cm，透镜焦距f = 50 cm． (1) 求两种光第一级衍射明纹中心间的距离． (2) 若用光栅常数a = ×10-3 cm的光栅替换单缝，其它条件和上一问相同，求两种光第一级主极大之间的距离． 解：(1) 由单缝衍射明纹公式可知

a sinφ1 = (2 k + 1) λ1 = λ1 （取k = 1）

13

a sinφ2 = (2 k + 1) λ2 = λ2

22

1

212

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.

tanφ1 = x1 / f，tanφ2 = x1 / f

由于 sinφ1 ≈ tanφ1，sinφ2 ≈ tanφ2 所以 x1 = f λ1 / a 323

x2 = f λ2 / a 2

则两个第一级明纹之间距为

3

Δx1 = x2 ? x1 = f Δλ / a = cm

2

(2) 由光栅衍射主极大的公式

d sinφ1 = k λ1 = 1 λ1 d sinφ2 = k λ2 = 1 λ2

且有sinφ = tanφ = x / f 所以Δx1 = x2 ? x1 = fΔλ / a = cm

14. 一双缝缝距d = mm，两缝宽度都是a = mm，用波长为λ = 480 nm（1 nm

= 10?9 m）的平行光垂直照射双缝，在双缝后放一焦距f = m的透镜．求：(1) 在透镜焦平面的屏上，双缝干涉条纹的间距l；(2) 在单缝衍射中央亮纹范围内的双缝干涉数目N和相应的级数． 解：双缝干涉条纹

(1) 第k级亮纹条件：d sinθ = k λ

第k级亮条纹位置：x1 = f tanθ1 ≈ f sinθ1 ≈ k f λ / d 相邻两亮纹的间距：

Δx = xk +1 ? xk = (k + 1) f λ / d ? k λ / d = f λ / d = ×

10?3 m = mm

(2) 单缝衍射第一暗纹：a sinθ1 = λ 单缝衍射中央亮纹半宽度：Δx0 = f tanθ1 ≈ f sinθ1 ≈ k f λ

/ d = 12 mm

Δx0 / Δx = 5

∴ 双缝干涉第 ±5级主极大缺级．

∴ 在单缝衍射中央亮纹范围内，双缝干涉亮纹数目N = 9 分别为k = 0, ±1, ±2, ±3, ±4级亮纹

或根据d / a = 5指出双缝干涉缺第 ±5 级主极大，同样可得出结

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论。

15. 用钠光（λ = nm）垂直照射到某光栅上，测得第三级光谱的衍射角为60°．

(1) 若换用另一光源测得其第二级光谱的衍射角为30°，求后一光源发光的波长．

(2) 若以白光（400 nm ~ 760n m）照射在该光栅上，求其第二级光谱的张角． 解：(1) (a+b) sinφ =3λ a+b = 3λ / sinφ，φ = 60° a+b = 2λ' / sinφ'，φ' = 30° 3λ / sinφ = 2λ' / sinφ' λ' = nm

(2) a+b = 3λ / sinφ= nm

φ' = arcsin (2×400 / nm (λ = 400 nm) 2φ'' = arcsin (2×760 / nm (λ = 760 nm) 2白光第二级光谱的张角Δφ = φ'' ? φ' = 25° 22

16. 一束平行光垂直入射到某个光栅上，该光栅有两种波长的光，λ1 = 440 nm，λ2 = 660 nm．实验发现，两种波长的谱线（不计中央明纹）第二次重合于衍射角φ = 60° 的方向上，求此光栅的光栅常数d． 解：由光栅衍射主极大公式得d sinφ1 = k λ1

d sinφ2 = k λ2 sinφ1k1 λ1440 k12 k1

= = = sinφ2 k2 λ2660 k23 k2

当两谱线重合时有φ1 = φ2

k1369

即 k = 2 = 4 = 6 = ???

2

k16

两谱线第二次重合即是 k = 4 ，k1 = 6， k2 = 4

2

由光栅公式可知d sin60° = 6 λ1

6 λ1

∴ d = = ×10?3 mm

sin60°

17. 将一束波长λ = 589 nm（1 nm = 10?9 m）的平行钠光垂直入射在1厘米内有5000条刻痕的平面衍射光栅上，光栅的透光缝宽度a与其间距b相等，求：

(1) 光线垂直入射时，能看到几条谱线是哪几级

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