如图，作PQ⊥BC于点Q，作QR⊥BD于点R，连接PR，则PQ∥AB，QR∥CD. 因为PQ⊥BD，且PQ∩QR＝Q，所以BD⊥平面PQR，所以BD⊥PR，即PR为△PBD中BD边上的高．

CPxPQx

设AB＝BD＝CD＝1，则＝＝，即PQ＝.

AC3133－x3－xQRBQAP

又＝＝＝，所以QR＝， 1BCAC33所以PR＝

PQ2＋QR2＝

2

3－x?233?x?＋?＝2x2－23x＋3，所以f(x)＝??36?3??3?

2x2－2

6

3x＋3＝

6

2

?x－3?＋3，故选A.

2?4?

13．杨辉三角又称“贾宪三角”，是因为贾宪约在公元11世纪首先使用“贾宪三角”进行高次开方运算，而1261年杨辉在《详解九章算法》一书中，辑录了贾宪三角形数表，并称之为“开方作法本源”图．下列数表的构造思路就源于杨辉三角．该表由若干行数字组成，从第二行起，每一行中的数字均等于其“肩上”两数之和，表中最后一行仅有一个数，则这个数是( )

A．2 017×22 016 C．2 017×22 015

B．2 018×22 015 D．2 018×22 016

解析：选B.由题意，最后一行为第2 017行，且第1行的最后一个数为2×2－1，第2行的最后一个数为3×20，第3行的最后一个数为4×21…第n行的最后一个数为(n＋1)×2n

－2，则第

2 017行仅有的一个数为2 018×22 015，故选B.

14．(2019·蓉城名校第一次联考)高斯是德国著名的数学家，享有“数学王子”的美誉，以他的名字“高斯”命名的成果达110个，其中的一个成果是：设x∈R，则y＝[x]称为高斯函数，[x]表示不超过x的最大整数，如[1.7]＝1，[－1.2]＝－2，并用{x}表示x的非负纯小数，即{x}＝x－[x]，若方程{x}＝1－kx有且仅有4个实数根，则正实数k的取值范围为( )

11?A.??5，4? 11?C.??4，3? 解析：选D.

11?

B.??5，4? 11?D.??4，3?

根据题意可得函数y＝{x}在x轴正半轴的图象如图所示，函数y＝1－kx为过定点P(0，1)的直线，所以要使方程{x}＝1－kx有且仅有4个实数根且k为正实数，则直线y＝1－kx11?11

应在PA，PB之间以及恰好在PA处，所以－≤－k<－，即k∈??4，3?.故选D. 34

二、填空题 15.

鲁班锁是中国传统的智力玩具，起源于古代汉族建筑中首创的榫卯结构，这种三维的拼插器具内部的凹凸部分(即榫卯结构)啮合，十分巧妙，外观看是严丝合缝的十字立方体，其上下、左右、前后完全对称．从外表上看，六根等长的正四棱柱体分成三组，经90°榫卯起来，如图，若正四棱柱体的高为6，底面正方形的边长为1，现将该鲁班锁放进一个球形容器内，则该球形容器的表面积的最小值为________．(容器壁的厚度忽略不计)

解析：表面积最小的球形容器可以看成长、宽、高分别为1、2、6的长方体的外接球．设41

其半径为R，(2R)2＝62＋22＋12，解得R2＝，所以该球形容器的表面积的最小值为4πR2

4＝41π.

答案：41π

16．《九章算术》是我国古代内容极为丰富的数学名著，其中“勾股”章讲述了“勾股定理”及一些应用．直角三角形的三条边分别称为“勾”“股”“弦”．设F1，F2分别是x22

椭圆＋y＝1的左、右焦点，P是第一象限内该椭圆上的一点，若线段PF2，PF1分别是

4Rt△F1PF2的“勾”“股”，则点P的横坐标为________．

解析：由题意知半焦距c＝3，又PF1⊥PF2，故点P在圆x2＋y2＝3上，设P(x，y)，

22??x＋y＝3，26263?

联立，得?x2得P?.故点P的横坐标为. ，333??2

??4＋y＝1，

26答案：

3

17．公元前6世纪，古希腊的毕达哥拉斯学派研究过正五边形和正十边形的作图方法，发现了黄金分割，其比值约为0.618，这一数值也可以表示为m＝2sin 18°，若m2＋n＝4，则

mn

＝________．

2cos227°－1

解析：由题设n＝4－m2＝4－4sin218°＝4(1－sin218°)＝4cos218°， 2sin 18°4cos218°2·（2sin 18°cos 18°）2sin 36°mn

＝＝＝＝2.

2cos227°－12cos227°－1cos 54°sin 36°答案：2

18．(2019·四川遂宁市模拟)阿波罗尼斯是古希腊著名数学家，与欧几里得、阿基米德被合称为亚历山大时期的数学三巨匠，他对圆锥曲线有深刻而系统的研究，主要研究成果集中在他的代表作《圆锥曲线论》一书，阿波罗

尼斯圆是他的研究成果之一，指的是：已知动点M与两定点A，B的距离之比为λ(λ>0，，0?，B(5，0)的距离λ≠1)，那么点M的轨迹就是阿波罗尼斯圆．如动点M与两定点A??5?3

之比为时的阿波罗尼斯圆为x2＋y2＝9.下面，我们来研究与此相关的一个问题．已知圆O：

51

－，0?，B(1，1)，则2|MA|＋|MB|的最小值为________． x2＋y2＝1上的动点M和定点A??2?

解析：

9

1|OM||OK|

如图，取点K(－2，0)，连接OM，MK.因为|OM|＝1，|OA|＝，|OK|＝2，所以＝2|OA||OM||MK||OM|

＝2.因为∠MOK＝∠AOM，所以△MOK∽△AOM，所以＝＝2，所以|MK|＝2|MA|，

|MA||OA|所以|MB|＋2|MA|＝|MB|＋|MK|，易知|MB|＋|MK|≥|BK|，所以|MB|＋2|MA|＝|MB|＋|MK|的最小值为|BK|的长．因为B(1，1)，K(－2，0)，所以|BK|＝

答案：10

（－2－1）2＋（0－1）2＝10.