n＋122

32＝1，a4a6－a2，所以a2 017a2 019－5＝3×8－5＝－1，…，由此可知anan＋2－an＋1＝(－1)2 017＋1＝1，故选A. a22 018＝(－1)

考点3 渗透古代数学名著

[典型例题]

(1)(2019·湖南省五市十校联考)《算法统宗》是中国古代数学名著，由明代数学家

程大位所著，该书完善了珠算口诀，确立了算盘用法，完成了由筹算到珠算的彻底转变，对我国民间普及珠算和数学知识起到了很大的作用．如图所示程序框图的算法思路源于该书中的“李白沽酒”问题，执行该程序框图，若输入a的值为4，则输出的m的值为( )

A．19 C．67

B．35 D．131

(2)《数书九章》中对已知三角形三边长求三角形面积的求法填补了我国数学史中的一个空白，虽与著名的海伦公式形式上有所不同，但实质完全等价，由此可以看出我国古代已经具有很高的数学水平，其求法是“以小斜幂，并大斜幂，减中斜幂，余半之，自乘于上；以小斜幂乘大斜幂，减上，余四约之，为实；一为从隅，开平方得积”．把以上这段文字用数学公式表示，即S＝

1?22?c2＋a2－b2?2?

ca－4?2???(S，a，b，c分别表示三角形的面积、大斜、

中斜、小斜)．现有周长为42＋25的△ABC满足sin A∶sin B∶sin C＝(2＋1)∶5∶(2－1)，试用上面给出的数学公式计算△ABC的面积为( )

A.3 C.5

B．23 D．25

【解析】 (1)由题意，执行程序框图，可得a＝4，m＝5，i＝1，m＝7， 满足条件i≤4，执行循环体，i＝2，m＝11， 满足条件i≤4，执行循环体，i＝3，m＝19， 满足条件i≤4，执行循环体，i＝4，m＝35，

满足条件i≤4，执行循环体，i＝5，m＝67，

此时，不满足条件i≤4，退出循环体，输出m的值为67，故选C. (2)因为sin A∶sin B∶sin C＝(2＋1)∶5∶(2－1)， 则由正弦定理得a∶b∶c＝(2＋1)∶5∶(2－1)． 设a＝(2＋1)x，b＝5x，c＝(2－1)x， 又周长为42＋25，

所以42＋25＝(2＋1)x＋5x＋(2－1)x， 解得x＝2. 所以S＝

1?222×（2＋1）2＋22×（2－1）2－20?2??22

×?4×（2－1）×（2＋1）－??? 4?2???＝3.故选A. 【答案】 (1)C (2)A ■ 规律方法

中国古代数学取得了极其辉煌的成就，出现了刘徽、祖冲之等伟大的数学家，以及《九章算术》等经典的数学传世之作，这些中国古代数学名著是我们的丰富宝库，继新课程改革以来，高考题中出现了一些以古代名著为命题背景的试题，涉及的有《九章算术》、《数书九章》、《算法统宗》等．从某种意义上讲，这些试题的价值实际上已远远超出了试题本身．

[对点训练]

1．《九章算术》中有这样一个问题：“今有圆堢壔，周四丈八尺，高一丈一尺．问积几何？术曰：周自相乘，以高乘之，十二而一．”这里所说的圆堢壔就是圆柱体，它的体积为1

“周自相乘，以高乘之，十二而一”，意思是圆柱体的体积为V＝×底面圆的周长的平方12×高，由此可推得圆周率π的取值为( )

A．3 C．3.14

B．3.1 D．3.2

解析：选A.设圆柱体的底面半径为r，高为h，由圆柱的体积公式得，体积为V＝πr2h.11

由题意知V＝×(2πr)2×h，所以πr2h＝×(2πr)2×h，解得π＝3.故选A.

1212

2．《周髀算经》中给出了弦图，所谓弦图是由四个全等的直角三角形和中间一个小正方

形拼成的一个大的正方形，如图所示，若图中直角三角形两锐角分别为α，β，且小正方形与大正方形的面积之比为4∶9，则cos(α－β)的值为( )

5A. 92C. 3

4B. 9D．0

解析：选A.设大正方形的边长为1，由小正方形与大正方形的面积之比为4∶9，可得22

小正方形的边长为，则cos α－sin α＝，①

33

2

sin β－cos β＝.②

3

π

由题意可得α＋β＝，所以cos α＝sin β，sin α＝cos β.

2

4

①×②，可得＝cos αsin β＋sin αcos β－cos αcos β－sin αsin β＝sin2β＋cos2β－cos(α

95

－β)＝1－cos(α－β)，所以cos(α－β)＝.故选A.

9

[练典型习题·提数学素养] 一、选择题

1．我国古代数学著作《九章算术》中有一衰分问题：今有北乡八千一百人，西乡七千四百八十八人，南乡六千九百一十二人，凡三乡，发役三百人，则北乡遣( )

A．104人 C．112人

B．108人 D．120人

解析：选B.由题设可知这是一个分层抽样的问题，其中北乡可抽取的人数为8 1008 100

300×＝300×＝108.故选B.

22 5008 100＋7 488＋6 912

2．如图，半径为1的圆形古币内有一阴影区域，在圆内随机撒一大把豆子，共n颗，其中，落在阴影区域内的豆子共m颗，则阴影区域的面积约为( )

mA. nmπC.

n

nB. mnπD. m

SSm

解析：选C.设阴影区域的面积为S，由几何概型概率计算公式可得＝＝，

π×12πnmπ

所以S＝，故选C.

n

3．将元代著名数学家朱世杰的《四元玉鉴》中的一首诗改编如下：“我有一壶酒，携着游春走，遇店添一倍，逢友饮一斗，店友经三处，没了壶中酒，借问此壶中，当原多少酒？”用程序框图表示如图，用x表示壶中原有酒的量，可知最终输出的x＝0，则一开始输入的x的值为( )

3

A. 4C．4

15B. 167D. 8

解析：选D.这是一道函数与程序框图相结合的题，当i＝1时，酒量为2x－1； 当i＝2时，酒量为2(2x－1)－1＝4x－3； 当i＝3时，酒量为2(4x－3)－1＝8x－7； 当i＝4时，酒量为0， 即2(4x－3)－1＝0， 7

解得x＝.

8故选D.

4．大衍数列，来源于《乾坤谱》中对易传“大衍之数五十”的推论．主要用于解释中国传统文化中的太极衍生原理．数列中的每一项，都代表太极衍生过程中，曾经经历过的两