..

概率．

（2）根据上一问乙的化验次数的分布列，利用期望计算公式得到结果． 【解答】解：（Ⅰ）若乙验两次时，有两种可能：

①先验三只结果为阳性，再从中逐个验时，恰好一次验中概率为：

②先验三只结果为阴性，再从其它两只中验出阳性（无论第二次试验中有没有，均可以在第二次结束）

，

∴乙只用两次的概率为

．

若乙验三次时，只有一种可能：

先验三只结果为阳性，再从中逐个验时，恰好二次验中概率为在三次验出时概率为

∴甲种方案的次数不少于乙种次数的概率为：

（Ⅱ）ξ表示依方案乙所需化验次数， ∴ξ的期望为Eξ=2×0.6+3×0.4=2.4．

21．（12分）（2008?全国卷Ⅰ）双曲线的中心为原点O，焦点在x轴上，两条渐近线分别为l1，l2，经过右焦点F垂直于l1的直线分别交l1，l2于A，B两点．已知|

|、|

|、|

|成等差数列，且

与

同向．

（Ⅰ）求双曲线的离心率；

（Ⅱ）设AB被双曲线所截得的线段的长为4，求双曲线的方程．

【分析】（1）由2个向量同向，得到渐近线的夹角范围，求出离心率的范围，再用勾股定理得出直角三角形的2个直角边的长度比，联想到渐近线的夹角，求出渐近线的斜率，进而求出离心率．

（2）利用第（1）的结论，设出双曲线的方程，将AB方程代入，运用根与系数

;..

..

的关系及弦长公式，求出待定系数，即可求出双曲线方程． 【解答】解：（1）设双曲线方程为∴渐近线的倾斜角为（0，∴渐近线斜率为：∵|

|、|

|、|

），

，∴

|成等差数列，∴|OB|+|OA|=2|AB|，

．

，由

，

同向，

∴|AB|2=（|OB|﹣|OA|）（|OB|+|OA|）=（|OB|﹣|OA|）?2|AB|， ∴∴可得：

，

，而在直角三角形OAB中，

，

注意到三角形OAF也为直角三角形，即tan∠AOB=， 而由对称性可知：OA的斜率为k=tan∴

，∴2k2+3k﹣2=0，∴

，

；

∴，∴，∴．

（2）由第（1）知，a=2b，可设双曲线方程为由于AB的倾斜角为（∠AOB）=﹣2，

∴AB的直线方程为 y=﹣2（x﹣∴x1+x2=∴4=

?

，x1?x2=

，

=

?

﹣=1，∴c=b．

+∠AOB，故AB的斜率为tan（+∠AOB ）=﹣cot

b），代入双曲线方程得：15x2﹣32

bx+84b2=0，

，即16=﹣

;..

..

112b2，

∴b2=9，所求双曲线方程为：

22．（12分）（2008?全国卷Ⅰ）设函数f（x）=x﹣xlnx．数列{an}满足0＜a1＜1，an+1=f（an）．

（Ⅰ）证明：函数f（x）在区间（0，1）是增函数； （Ⅱ）证明：an＜an+1＜1； （Ⅲ）设b∈（a1，1），整数

．证明：ak+1＞b．

﹣

=1．

【分析】（1）首先求出函数的导数，然后令f′（x）=0，解出函数的极值点，最后根据导数判断函数在区间（0，1）上的单调性，从而 进行证明．

（2）由题意数列{an}满足0＜a1＜1，an+1=f（an），求出an+1=an﹣anlnan，然后利用归纳法进行证明；

（3）由题意f（x）=x﹣xlnx，an+1=f（an）可得ak+1=ak﹣b﹣ak，然后进行讨论求解．

【解答】解：（Ⅰ）证明：∵f（x）=x﹣xlnx， ∴f′（x）=﹣lnx，

当x∈（0，1）时，f′（x）=﹣lnx＞0 故函数f（x）在区间（0，1）上是增函数；

（Ⅱ）证明：（用数学归纳法） （i）当n=1时，0＜a1＜1，a1lna1＜0， a2=f（a1）=a1﹣a1lna1＞a1，

∵函数f（x）在区间（0，1）是增函数且函数f（x）在x=1处连续， ∴f（x）在区间（0，1]是增函数，

a2=f（a1）=a1﹣a1lna1＜1，即a1＜a2＜1成立， （ⅱ）假设当x=k（k∈N+）时，ak＜ak+1＜1成立，

;..

即0＜a1≤ak＜ak+1＜1，

那么当n=k+1时，由f（x）在区间（0，1]是增函数，0＜a1≤ak＜ak+1＜1， 得f（ak）＜f（ak+1）＜f（1）， 而an+1=f（an），

则ak+1=f（ak），ak+2=f（ak+1），ak+1＜ak+2＜1， 也就是说当n=k+1时，an＜an+1＜1也成立，

根据（ⅰ）、（ⅱ）可得对任意的正整数n，an＜an+1＜1恒成立．

（Ⅲ）证明：由f（x）=x﹣xlnx，an+1=f（an）可得 ak+1=ak﹣aklnak=

，

1）若存在某i≤k2，满足ai≤b3，则由（Ⅱ）知：ak+1﹣b＜ai﹣b≥04， 2）若对任意i≤k6，都有ai＞b，则ak+1=akaklnak=

=

≥a1﹣b1﹣ka1ln=0，

即ak+1＞b成立．

;..

..

﹣