..

三、解答题（共6小题，满分74分）

17．（10分）（2008?全国卷Ⅰ）设△ABC的内角A，B，C所对的边长分别为a，b，c，且acosB﹣bcosA=c． （Ⅰ）求

的值；

（Ⅱ）求tan（A﹣B）的最大值．

【分析】本题考查的知识点是正弦定理及两角和与差的正切函数， （Ⅰ）由正弦定理的边角互化，我们可将已知中到sinAcosB=4cosAsinB，再利用弦化切的方法即可求

的值．

，进行转化得

（Ⅱ）由（Ⅰ）的结论，结合角A，B，C为△ABC的内角，我们易得tanA=4tanB＞0，则tan（A﹣B）可化为B）的最大值．

【解答】解：（Ⅰ）在△ABC中，由正弦定理得

，再结合基本不等式即可得到tan（A﹣

，

即sinAcosB=4cosAsinB， 则（Ⅱ）由tanA=4tanB＞0

；

得

当且仅当故当

时，

时，等号成立，

tan（A﹣B）的最大值为．

;..

..

18．（12分）（2008?全国卷Ⅰ）四棱锥A﹣BCDE中，底面BCDE为矩形，侧面ABC⊥底面BCDE，BC=2，（Ⅰ）证明：AD⊥CE；

（Ⅱ）设CE与平面ABE所成的角为45°，求二面角C﹣AD﹣E的大小．

，AB=AC．

【分析】（1）取BC中点F，证明CE⊥面ADF，通过证明线面垂直来达到证明线线垂直的目的．

（2）在面AED内过点E作AD的垂线，垂足为G，由（1）知，CE⊥AD，则∠CGE即为所求二面角的平面角，△CGE中，使用余弦定理求出此角的大小． 【解答】解：（1）取BC中点F，连接DF交CE于点O， ∵AB=AC，∴AF⊥BC．

又面ABC⊥面BCDE，∴AF⊥面BCDE，∴AF⊥CE． 再根据

，可得∠CED=∠FDC．

又∠CDE=90°，∴∠OED+∠ODE=90°，

∴∠DOE=90°，即CE⊥DF，∴CE⊥面ADF，∴CE⊥AD． （2）在面ACD内过C点作AD的垂线，垂足为G． ∵CG⊥AD，CE⊥AD，∴AD⊥面CEG，∴EG⊥AD， 则∠CGE即为所求二面角的平面角． 作CH⊥AB，H为垂足．

∵平面ABC⊥平面BCDE，矩形BCDE中，BE⊥BC，故BE⊥平面ABC，CH?平面ABC，

故BE⊥CH，而AB∩BE=B，故CH⊥平面ABE， ∴∠CEH=45°为CE与平面ABE所成的角． ∵CE=

，∴CH=EH=

．

=

=1，∴AH=AB﹣

直角三角形CBH中，利用勾股定理求得BH=BH=AC﹣1；

;..

..

直角三角形ACH中，由勾股定理求得AC2=CH2+AH2=3+（AC﹣1）2，∴AB=AC=2． 由面ABC⊥面BCDE，矩形BCDE中CD⊥CB，可得CD⊥面ABC， 故△ACD为直角三角形，AD=故CG=

=

=

，DG=，又

则∴

即二面角C﹣AD﹣E的大小

，

．

，

， =

==

， ，

19．（12分）（2010?大纲版Ⅱ）已知函数f（x）=﹣x2+ax+1﹣lnx． （Ⅰ）当a=3时，求函数f（x）的单调递增区间；

（Ⅱ）若f（x）在区间（0，）上是减函数，求实数a的取值范围． 【分析】（1）求单调区间，先求导，令导函数大于等于0即可．

（2）已知f（x）在区间（0，）上是减函数，即f′（x）≤0在区间（0，）上恒成立，然后用分离参数求最值即可．

【解答】解：（Ⅰ）当a=3时，f（x）=﹣x2+3x+1﹣lnx ∴

;..

..

解f′（x）＞0， 即：2x2﹣3x+1＜0

函数f（x）的单调递增区间是

．

（Ⅱ）f′（x）=﹣2x+a﹣， ∵f（x）在∴x∈

上为减函数， 时﹣2x+a﹣≤0恒成立．

即a≤2x+恒成立． 设∵x∈

，则时，

＞4，

∴g′（x）＜0， ∴g（x）在

上递减，

∴g（x）＞g（）=3， ∴a≤3．

20．（12分）（2008?全国卷Ⅰ）已知5只动物中有1只患有某种疾病，需要通过化验血液来确定患病的动物．血液化验结果呈阳性的即为患病动物，呈阴性即没患病．下面是两种化验方法：

方案甲：逐个化验，直到能确定患病动物为止．

方案乙：先任取3只，将它们的血液混在一起化验．若结果呈阳性则表明患病动物为这3只中的1只，然后再逐个化验，直到能确定患病动物为止；若结果呈阴性则在另外2只中任取1只化验．

（Ⅰ）求依方案甲所需化验次数不少于依方案乙所需化验次数的概率； （Ⅱ）ξ表示依方案乙所需化验次数，求ξ的期望．

【分析】（1）由题意得到这两种方案的化验次数，算出在各个次数下的概率，写出化验次数的分布列，求出方案甲所需化验次数不少于依方案乙所需化验次数的

;..