高三数学单元练习题：平面向量（Ⅱ）
一、选择题（本大题共12小题，每小题5分，共60分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。） 1．P是△ABC所在平面上一点，若PA?PB?PB?PC?PC?PA，则P是△ABC的（ ） A 外心
B 内心
C 重心
D 垂心
2．下列命题中，一定正确的是
A.a?b?a?b B.若a2?(b?c)，则a?b?a?c
C.a≥|a| D. na?(b?c)?(a?b)?c 3．在四边形ABCD中，AB?BC?0，BC?AD，则四边形 A.直角梯形 B.菱形 C.矩形 D.正方形
4．若向量a=(cos?,sin?)，b=(cos?,sin?)，则a与b一定满足（ ）
A．a与b的夹角等于?－? B．(a＋b)⊥(a－b)
C．a∥b D．a⊥b
ABCD
5．已知向量a≠e，|e|＝1，对任意t∈R，恒有|a－te|≥|a－e|，则 （ ）
A.a⊥e B.e⊥(a－e) C.a⊥(a－e) D.(a＋e)⊥(a－e)
已知向量a≠e，|e|＝1，对任意t∈R，恒有|a－te|≥|a－e|，则 （ ）
A a⊥e B a⊥(a－e) C e⊥(a－e) D (a＋e)⊥(a－e) 6．平面直角坐标系中，O为坐标原点，已知两点A（2，－1），B（－1，3），若点C满足
OC??OA??OB其中0≤?，?≤1，且??? A.4x?3y?5?0（－1≤
?1，则点C的轨迹方程为
x≤2） B. 3x?y?8?0（－1≤x≤2）
122 C. 2x?3y?4?0 D. (x?)?(y?1)?25
27．若|a|?1,|b|?2,c?a?b，且c?a，则向量a与b的夹角为 ( )
A 30° B 60° C 120° D 150° 8．已知向量a?（2cos?，2sin?），b?（3cos?，3sin?），a与b的夹角为60，
则直线
oxcos??ysin??11?0与圆(x?cos?)2?(y?sin?)2?的位置关系是22（ ）
A.相离 B.相交 C.相切 D.随?，?的值而定
9．在△ABC中，已知|AB|?4,|AC|?1,S?ABC?
A．－2
B．2
3,则AB?AC的值为（ ）
D．±2
C．±4
10．点P在平面上作匀速直线运动，速度向量v=（4，－3）（即点P的运动方向与v相同，且每秒移动的距离为|v|个单位.设开始时点P的坐标为（－10，10），则5秒后点P的坐标为( )
A （－2，4） B （10，－5） C （－30，25） D （5，－10） 11．.设∠BAC的平分线AE与BC相交于E，那么有BC??CE,其中?等于 ( ）
A 2 B
11 C －3 D － 2312．为了得到函数y＝sin(2x-
?)的图像,可以将函数y＝cos2x的图像 ( ) 6??A 向右平移个单位长度 B 向左平移个单位长度
63??C 向左平移个单位长度 D向右平移个单位长度
631 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 题号 答案
二、填空题（本大题共4小题，每小题4分，共16分，把答案填在题中横线上．）
13．已知向量OA?(k,12),OB?(4,5),OC?(?k,10)，且A、B、C三点共线，则k=_ __ 14．直角坐标平面xoy中，若定点A(1,2)与动点P(x,y)满足OP?OA?4，则点P的轨迹方程是__________．
15．已知点A(2，0)，B(4，0)，动点P在抛物线y＝－4x运动，则使AP?BP取得最小值的
2
点P的坐标是 ． 16．下列命题中：
①a∥b?存在唯一的实数??R，使得b??a；
②e为单位向量，且a∥e，则a=±|a|·e；③|a?a?a|?|a|3；
④a与b共线，b与c共线，则a与c共线；⑤若a?b?b?c且b?0,则a?c
其中正确命题的序号是 ．
三、解答题（本大题共6小题，共74分．解答应有证明过程或演算步骤） 17．已知△ABC中,∠C＝120°，c=7,a+b=8,求cos(A?B)的值。
18．设向量OA?(3,1),OB?(?1,2)，向量OC垂直于向量OB，向量BC平行于OA，试求
OD?OA?OC时,OD的坐标．
19．已知M＝(1+cos2x，1)，N＝(1，3sin2x+a)(x，a∈R，a是常数)，且y =OM·ON (O是坐标原点)(1)求y关于x的函数关系式y=f(x)；
(2)若x∈[0，]，f(x)的最大值为4，求a的值，并说明此时f(x)的图象可由y=2sin(x+的图象经过怎样的变换而得到．
20．在平面直角坐标系中,已知An(n,an)、Bn(n,b)Cn1,0) ?n(n、n(?*?2?)6N，满足向量)都在斜率为6的同一条直线上。若AnAn?1与向量BnCn共线，且点Bn(n,bn) (n?N*)a1?6,b1?12。求
(1)数列{an}的通项an (2)数列{
1}的前n项和Tn an21．已知点A、B、C的坐标分别为A（3，0），B（0，3），C（cosα，sinα），α
?(?,3?22)。
2sin2a?sin 2a的值. (1)若|AC|?|CB|，求角α的值； (2)若AC?CB=－1，求
1?tana22．已知向量a?(cos
33xx?x,sinx),b?(cos,?sin),且x?[0,],求 22222(1)a?b及|a?b|;
(2)（理科做）若f(x)?a?b?2?|a?b|的最小值是?3,求?的值; 2
（文科做）求函数f(x)?a?b?|a?b|的最小值。
参考答案
一、1.D 2.B 3.C 4.B 5.B 6.A 7.C 8.A 9.D 10.B 11.C 12.C 二、13.?2 14．x+2y-4=0 315．(0，0) 16．②③
三、17．解：解法1：由正弦定理：2R?c714??， sinCsin120?3143?2sinA?BA?Bcos?8 22代入a?b?8?2R(sinA?sinB)?8??141A?BA?B43?2??cos?8?cos?22273A?B47?1? 249法
2
：
∴
cos(A?B)?2cos2解
由
78 ?sCsAnccA?BA?Biinnn2sc2siocin2222CA?B78A?B43 ∵cos?sin?0，∴??cos?CA?B2227sincos22c?a?bca?b???siBiinsCsA?sBinson∴cos(A?B)?2cos2A?B47?1?（也可由余弦定理求解） 24918．解：设OC?(x,y),OC?OB ，∴OC?OB?0，∴2y?x?0①
又?BC//OA,BC?(x?1,y?2)3(y?2)?(x?1)?0 即：3y?x?7②
x?14,联立①、②得? ∴ OC?(14,7),于是OD?OC?OA?(11,6)． ??y?719．解：(1)y=OM·ON＝1+cos2x+3sin2x+a，得f(x) =1+cos2x+3sin2x+a；
??)+a+1，x∈[0，]。 62??当x＝时，f(x)取最大值a＋3＝4，解得a＝1，f(x) =2sin(2x+)+2。
66?将y =2sin(x+)的图象的每一点的横坐标缩短到原来的一半，纵坐标保持不变，再向上平移
6?2个单位长度可得f(x) =2sin(2x+)+2的图象。
6(2)f(x) =1+cos2x+3sin2x+a化简得f(x) =2sin(2x+
20．解：(1)∵点Bn(n,bn)(n∈N*)都在斜率为6的同一条直线上， ∴
bn?1?bn=6，即
(n?1)?nbn+1-bn=6,
于是数列{bn}是等差数列，故bn=12+6(n-1) =6n+6. ∵AnAn?1??1,an?1?an?,BnCn???1,?bn?,又AnAn?1与BnCn共线. ∴1×(-bn)－(-1)(an+1-an )=0,即an+1-an=bn
∴当n≥2时，an=a1+(a2-a1)+(a3-a2)+ …+(an-an-1)=a1+b1+b2+b3+…+bn-1
=a1+b1(n-1)+3(n-1)(n-2)?3n(n?1)
当n=1时，上式也成立。 所以an=?3n(n?1).